*** סיכומי הרצאות על ידי סטודנטים ***

*** סיכומי הרצאות על ידי סטודנטים ***

הודעהעל ידי dcohen » 08:10 17/10/2010

מטרת הקורס

מטרת הקורס "מבוא לפיסיקה מודרנית" היא להשלים לבסס להעמיק ולהרחיב את הפרספקטיבה שיש לסטודנטים על הנושא. זה כולל גם את הנושאים "הרגילים" שאמורים להיות מוצגים בלימודי בית ספר תיכון (גלים, דה ברולי, מבנה החומר), וגם נושאים מתקדמים יותר (ראו פרוט נושאים בהמשך). האתגר העיקרי הוא להסביר את רעיונות היסוד של המכניקה הקוונטית לתלמידים שיש להם השכלה תיכונית בפיסיקה, תוך המנעות משימוש בפורמליזם מתמטי כבד. זה כולל הבהרת מושגים בסיסיים, התיחסות לניסויים מחשבתיים, וניתוח "פראדוקסים". הפוטנציאל היישומי יודגם לא רק באופן המסורתי (האטום של בוהר) אלא גם בהקשרים פיקנטיים (הצפנה קוונטית, מיחשוב קוונטי). ההרצאות סוכמו על ידי הסטודנטים (ראו קישורים בהמשך). מבחינת רמת שליטה של הסטודנטים בחומר היעד היה הבנה ביקורתית ברמה "פסיבית". המרצה ניסה מחד להימנע ממתכונת של הרצאות פופולריות שטחיות שמבוססות על הצגה לא ביקורתית של החומר ברמת "טריוויה". מאידך לא היו תירגולים, וגם לא בחינה, כך שאין הקורס בא להחליף את קורסי הליבה שבהם נדרשת שליטה בחומר ברמה "אקטיבית".


בהמשך שירשור זה אפשר למצוא:
* רשימת נושאים + קישורים לסיכומי הסטודנטים
* גרסא אינטגרטיבית של כל סיכומי הסטודנטים
* לקחי הקורס + פרוט טעויות בניהול הקורס


נושאים שהועברו פרונטלית בהרצאה:

+ חלקיקים ואינטראקציות viewtopic.php?f=136&t=6298
+ ניסוי שני סדקים viewtopic.php?f=136&t=6299
+ הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה viewtopic.php?f=136&t=6300

+ ספין וקיטוב של אלקטרונים ופוטונים. viewtopic.php?f=136&t=6301
+ ניסוי שטרלן גרלך viewtopic.php?f=136&t=6302
+ הצפנה קוונטית viewtopic.php?f=136&t=6306

+ התאור המתמטי של גלים viewtopic.php?f=136&t=6838
+ מצבים קוונטיים של חלקיק במרחב (מערכת פתוחה) viewtopic.php?f=136&t=6701
+ מצבים קוונטיים של חלקיק בבור פוטנציאל viewtopic.php?f=136&t=6308
+ מודל האטום של בוהר viewtopic.php?f=136&t=6309

+ מצבים קוונטיים של אוסצילטור הרמוני viewtopic.php?f=136&t=6662
- הפוטון כחלקיק (דופלר,פוטואלקטרי, קומפטון)
+ אבחנה בין פרמיונים ובוזונים viewtopic.php?f=136&t=6303
- אפקט זימן

+ האם העולם קלאסי - ניסוי מחשבתי של מרמין. viewtopic.php?f=136&t=6304
+ תאור מתמטי של מצב הסינגלט viewtopic.php?f=136&t=6812
+ האם העולם קלאסי - אינשטיין פודולסקי רוזן ואי השיוויון של בל. viewtopic.php?f=136&t=6305
+ מדידה קוונטית, החתול של שרדינגר- viewtopic.php?f=136&t=6741

+ מיחשוב קוונטי (מבוא) - viewtopic.php?f=136&t=6307
+ מיחשוב קוונטי (האלגוריתם) viewtopic.php?f=136&t=6705
+ דינמיקה קוונטית: מעבר מחסומים, מתכות, מוליכים למחצה, דיודות viewtopic.php?f=136&t=6860
+ דינמיקה קוונטית: הסחת אלומה על ידי שדה מגנטי - כוח לורנץ ואפקט אהרונוב בוהם viewtopic.php?f=136&t=6841

+ גרביטציה, משוואות אינשטיין וקוסמולוגיה (חלקי)



נושאים נוספים (סימן שאלה = פתוחים להרשמה, מינוס= עדיין לא הוגש, פלוס = הוגש):

+ התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד viewtopic.php?f=136&t=6924
+ פיזור רתרפורד viewtopic.php?f=136&t=6646
+ מדוע השמיים כחולים viewtopic.php?f=136&t=6957
- סוליטונים viewtopic.php?f=136&t=6958
+ הסבר של נוסחת כוח החיכוך viewtopic.php?f=136&t=6840
? כאוס במכניקה קלאסית, מבוא למכניקה סטטיסטית viewtopic.php?f=136&t=6632
? הידרוסטטיקה, ארכימדס, ברנולי, אוסמוזה. מתח פנים, בועות סבון viewtopic.php?f=136&t=6599
? כוח העילוי ואפקט מגנוס viewtopic.php?f=136&t=6852
+ צירקולציה viewtopic.php?f=136&t=7125
+ פולימרים, אורך של שרשרת viewtopic.php?f=136&t=7075

+ האפקט הפוטואלקטרי viewtopic.php?f=136&t=6518
+ פיזור קומפטון viewtopic.php?f=136&t=6792
+ קרינת גוף שחור viewtopic.php?f=136&t=6521
+ ניסוי פרנק הרץ viewtopic.php?f=136&t=7041
- קרינת X וספקטרום אופטי viewtopic.php?f=136&t=6861
+ ספין, אפקט זימן viewtopic.php?f=136&t=6767
? ספקטרום של מולקולות

? קונדנסצית בוזה אינשטיין
+ סופרנוזליות viewtopic.php?f=136&t=6962
+ סופרמוליכות viewtopic.php?f=136&t=6519
? צמתות גוזפסון
- ליזרים viewtopic.php?f=136&t=6535
? תצפית באינפרא אדום viewtopic.php?f=136&t=6956
+ הדמאה מגנטית viewtopic.php?f=136&t=7042

+ רדיואקטיביות, שרשראות רדיואקטיביות viewtopic.php?f=136&t=6547
? ביקוע והיתוך
+ אנטי חומר viewtopic.php?f=136&t=6790
- המודל הסטנדרטי viewtopic.php?f=136&t=6628

+ עידוש כבידתי viewtopic.php?f=136&t=6637
+ הסחה לאדום גרביטציונית, רדיוס שוורשילד, חורים שחורים viewtopic.php?f=136&t=6530
+ קוסמולוגיה viewtopic.php?f=136&t=6534
+ חומר אפל ואנרגיה אפלה viewtopic.php?f=136&t=6709
+ גרביטציה, גלי גרביטציה viewtopic.php?f=136&t=6555
+ כוכב נויטרון viewtopic.php?f=136&t=6569
dcohen
 
הודעות: 2027
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310

סיכומי הרצאות על ידי סטודנטים - חלק א

הודעהעל ידי dcohen » 06:59 19/11/2010


מבוא לפיסיקה מודרנית - סיכומי נושאים


(עם מספר תיקונים הכרחיים על ידי המרצה)


חלקיקים ואינטרקציות


זולטי ודני חזוב

חלקיקים
במשך שנים רבות המודל המקובל למבנה החומר בצורות הצבירה השונות היה כי הוא בנוי משריגים, מולקולות ואטומים – אשר בגרעינם נמצאים פרוטונים וניוטרונים בהתאם לטבלה המחזורית, וסביבם נמצאים האלקטרונים אשר קושרים את האטומים, המולקולות והשריגים זה לזה. עם התפתחות הפיזיקה המודרנית, התברר כי אותם חלקיקים, הפרוטונים והניוטרונים, גם הם מורכבים מחלקיקים בסיסיים עוד יותר – הקווארקים.
בהמשך באמצעות מאיצי חלקיקים וחקר הקרינה הקוסמית נתגלו חלקיקים נוספים.

קווארקים (quarks)
הקווארק נחזה במקביל ע"י 2 פיזיקאים, יובל נאמן ומאי גל-מאן, וזיכה את גל-מאן בפרס נובל.
ישנם 3 צמדים (דורות) של קווארקים.
צמד הקוורקים הקלים ביותר הם: קווארק "מעלה" (u) שמטענו 2/3 ממטען הפרוטון, וקווארק "מטה" (d) שמטענו 1/3- ממטען הפרוטון. שלשות משני הסוגים הללו יוצרות את הפרוטונים (uud) והניוטרונים (udd).

לפטונים(Leptons)
מקור השם הוא, במילה היוונית "לפטוס", שפירושה "קל". הלפטון המוכר ביותר הוא האלקטרון (לפטון מהדור הראשון) שנתגלה ע"י J.J. Thompson ב1897. לפטונים נוספים הם המיואון והטאו בנוסף קיימים שלושה סוגי ניטרינויים. לכל הלפטונים מטען שלם (1- או 0).

המודל הסטנדרטי
בין חלקיק החומר לא פועלים כוחות ישירים. האינטראקציה מתווכת על ידי שדות כיול (gauge fields). המוכר ביותר הוא השדה האלקטרומגנטי, אותו ניתן לראות כחלק משדה גדול יותר הנקרא electroweak. תיאוריית המודל הסטנדרטי מאחדת את השדות הללו יחד עם החלקיקים היסודיים. הכח הרביעי בטבע – הגרוויטציה נשאר מחוץ לתמונה.
בתיאור הקוונטי, ניתן לראות את העירורים של הכיול כחלקיקים, אשר יוצרים אינטראקציה עם החלקיקים המקוריים. למשל השדה האלקטרומגנטי נוצר מפליטה ובליעה של פוטונים ע"י חלקיק טעון כמו אלקטרון או קווארק. ניתן לראות זאת גם ב"כח החזק" שבו מעורבים גלואונים שנפלטים או נבלעים ע"י קווארקים.

תורת שדות קוונטית (quantum field theory) היא שם לפורמאליזם מתמטי של המכניקה הקוונטית, המאפשר את תיאור החלקיקים ושדות הכיול המופיעים במודל הסטנדרטי.

ביבליוגרפיה
http://en.wikipedia.org/wiki/Quark
http://en.wikipedia.org/wiki/Lepton
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Model


ניסוי שני סדקים


אלעד אילון ונדב הירש

בתחילת המאה ה-19 ניסה הפיסיקאי תומאס יאנג להכריע האם האור הוא חלקיק או גל ע"י ניסוי שני הסדקים.
מהות הניסוי הייתה למעשה לתת לאור לעבור דרך שני חריצים ולהתבונן בתבנית הפגיעה על מרקע כלשהו.
אילו היה האור מורכב מחלקיקים היתה נוצרת תבנית של שני פסים על המרקע ואילו היה האור גל היתה נוצרת תבנית מפוספסת המעידה על תופעת ההתאבכות.
תופעת ההתאבכות היא תופעה המתרחשת בגלים כאשר בנקודת המדידה נפגשים שני גלים באותה התדירות מסתכמת עוצמתם (אמפליטודה).
תוצאות הניסוי היו מפתיעות שכן על גבי המרקע הופיעה תבנית מפוספסת המתאימה להתאבכות שני גלים.
כתוצאה מכך במהלך המאה ה-19 רווחה האמונה כי האור הוא גל.

נמצא גם הקשר בין הפרמטרים הניסוי והוא נתון בנוסחא הבאה:


כאשר משתני הניסוי הם :
- אורך הגל המוקרן
x - המרחק בין מרכזי פסי האור (שיאי הגל המוקרן)
d - המרחק בין הסדקים
L - המרחק בין הלוח המחורץ ללוח ההטלה

בעצם הוכח מעל לכל ספק כי לאור יש התנהגות גלית, בעיקר בגלל שהפרמטרים הגיאומטריים שתוארו לעיל משנים את תוצאות הניסוי עם כל שינוי קל בהם.

במהלך המאה ה-20 הומצאה השפופרת הקתודית, מכשיר המאפשר "לירות" אלקטרונים ולהאיצם לעבר כיוון מסויים הניתן לשליטה.
המכשיר הנ"ל אפשר שליטה טובה יותר בפרמטרי הניסוי כגון רוחב האלומה, מהירות החלקיק, כמות האלקטרונים הנורים ליחידת זמן.
בניסוי הדומה לניסוי יאנג ניסו לבדוק את התנהגות האלקטרונים ע"י שימוש בשפופרת הקתודית.
בחלק הראשון של הניסוי שוגרו האלקטרונים לעבר המסך דרך חריץ יחיד.
והתוצאה היתה פס יחיד המעיד על התנהגות חלקיקית.
בחלקו השני של הניסוי נפתח החריץ הנוסף וגם דרכו זרמו אלקטרונים.
ניבוי תוצאת הניסוי היה הצגה של שני קווים בהתאם לתאוריית החלקיק שהודגמה בחלק הראשון של הניסוי אולם באופן מפתיע נמצא כי שוב נצפתה תבנית מפוספסת המעידה על התאבכות גלית.
התוצאה היתה מפתיעה ולכן על מנת לעמוד על הדקויות הוחלט להאיץ לעבר המרקע אלקטרון בודד בכל פעם.
גם כאן היתה אותה התוצאה, אולם, היא התקבלה באופן סופי רק לאחר מדגם גדול של אלקטרונים.
ניסיון נוסף היה ע"י הרכבת גלאי על גבי אחד החריצים. בעזרת הגלאי הצליחו לראות באיזה חריץ הוא עובר אך באופן מפתיע נעלמה תופעת ההתאבכות והופיעו על המרקע שני פסים המעידים על התנהגות חלקיקית.

פועל יוצא מכך היה כי לאלקטרון ישנה דואליות חלקיק-גל כלומר הוא מתנהג כמו חלקיק בזמן שצופים עליו אך פוגע במרקע ע"פ תופעת ההתאבכות הגלית אם אין מסתכלים עליו לאורך מסלולו.
הפגיעות נעשות באופן סטטיסטי - יותר באיזורים המועדים להתאבכות הבונה מאשר באיזורים המועדים להתאבכות ההורסת (זה נבדק ע"י הניסוי בו יורים אלקטרון בודד בכל פעם ומסמנים את מיקום פגיעתו, לאחר אוסף גדול של אלקטרונים שסומנו פגיעותיהם אפשר לראות את התבנית הגלית).

ההסבר הפיסיקלי שניתן לתופעה הזו הוא כי האלקטרון, כמו גם הפוטון וכמו כל חלקיק קוונטי מתנהגים במהלך מסלולם באופן מוזר – הם עוברים בשני מקומות בו זמנית כל עוד אין צופים בהם.

מצורפים שלושה קישורים להדגמות של הניסוי
אחד הוא הדגמה תיאורית בעזרת גרפיקה ממוחשבת –
http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/QuantumMechCohen/EXTRA/DoubleSlitExperimentMovie.wmv

השני הוא הקלטה (והרצה מהירה בזמן) של ניסוי שפופרת קתודית היורה אלקטרון בודד בכל פעם כאשר על המרקע נצרבות נקודות הפגיעה לצורך מעקב בזמן –
http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/QMECH/InrfVideo.flv

השלישי הוא קישור להסבר של הניסוי והשלכותיו בוויקיפדיה -
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%99_%D7%A9%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A1%D7%93%D7%A7%D7%99%D7%9D



הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה


אנה גכטר
ביבי קרפל
אמתי דגני

מהירות

מהירות הינה מידה לתיאור קצב תנועתו של גוף במרחב, המסומנת על ידי האות V בעלת כיוון וגודל.
יחידות המהירות הן



נניח שיש לנו אלומה של אלקטרונים. את מהירותם ניתן למדוד בשיטה של גלגל מסתובב, באמצעות מכשיר השולח אלומת אלקטרונים על קיר העוברת דרך שני
דיסקים בעלי חור יחיד בכל אחד. על מנת לחשב את מהירות האלקטרונים נסובב את הדיסקים ולאט לאט נאיץ אחד מהם עד שנגיע למצב שבו האלומה עוברת
באופן רציף ולפי המרחק של הדיסקים וקצב הסיבוב ניתן לקבוע מהי מהירות האלקטרונים.

במקרה הפרטי של פוטונים (חלקיקים בעלי מסה 0), קיימות שיטות שונות למדידת המהירות. בשנת 1849 פיסיקאי בשם פיזו (Fizeau) ביצע ניסוי שבו שלח קרן
אור בין הרווח בין שתי שיניים בגלגל שיניים מסתובב, דרך מראות, לאורך חמישה מייל ובחזרה לאותו גלגל שיניים.

תמונה

פיזו הצליח לסובב את הגלגל מהר מספיק עד שהקרן חזרה עד אליו ונתקעה בשן הגלגל במקום לעבור שוב דרך החריץ. ע"י מדידת מהירות הגלגל ואורך
המסלול הצליח פיזו לחשב את מהירות האור כ-313,300 ק"מ לשניה. בסופו של דבר חושבה מהירות האור בדיוק גדול יותר לערך של 299,792,458 מטר/שניה.


תנע בקוונטים

תנע של חלקיקים ניתן למדוד ע"י ניסוי שני הסדקים – מעבירים אלומת חלקיקים דרך שני סדקים צמודים. על המסך מעבר לסדקים נוצרת תמונת התאבכות,
ועם מדידת המרחקים בין נקודות השיא ומידיעת המרחק בין הסדקים ועד למסך ניתן לחשב את אורך גל דה-ברולי (De-Broglie) של החלקיק וממנו את התנע,
לפי הנוסחה



במכניקה קוונטית, תנע נקרא בשם "מספר הגל", וקיים כמקדם במשוואת הגלים.

יחס הדיספרסיה

את הקשר בין מהירות לבין תנע ניתן למדוד באופן ניסיוני ולבטא איתו יחס הנקרא "יחס הדיספרסיה". לאלקטרונים ניתן לתת תנע גדול כרצוננו על ידי הפעלת כח
חשמלי לפרק זמן מתאים. התנע שהאלקטרונים יקבלו יהיה שווה לכח המופעל כפול משך הפעלת הכח. התוצאה הנסיונית נראית כמו בציור.

תמונה

היא מתוארת באמצעות יחס הדיספרסיה



את היחס מקובל לרשום כך:



באשר:



במהירויות נמוכות (לא יחסותיות), היחס הינו בקרוב קו לינארי.



יחס זה מגדיר את המסה ואת היחידות שלה.

מסה

בעבר מסה הוגדרה ע"י שימוש במאזניים (מסת הכבידה – מסה גרביטציונית) הנמדדת כפונקציה של כח המשיכה. עם התקדמות הפיסיקה החלו להשתמש
יותר בהגדרה של מסה אינרציאלית המוגדרת על ידי תוצאת התנגשות של שני גופים. לשם כך נבחר גוף שרירותי במשקל 1kg כמסת הייחוס על מנת שניתן
יהיה למצוא את מסת שאר הגופים ע"י ביצוע התנגשות בו.





במכניקה קוונטית המסה מוגדרת כפרמטר ביחס הדיספרסיה שהוסבר לעיל. מהסתכלות בנוסחא אנו רואים שהיחידות שלה הן:



אם אנו רוצים לקבל את המסה ביחידות הקלאסיות של ק"ג עלינו להשתמש בנוסחת ההמרה הבאה:



מקורות:
1. תנע במכניקת קוונטים - http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum#M ... _mechanics
2. מידע מתומצת על מכינקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIV ... qmech.html
3. סיכומי הרצאה במכניקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/qmc_ARC.pdf
4. איך מדדו את מהירות האור - http://news.nana10.co.il/Article/?ArticleID=157635




ספין וקיטוב של אלקטרונים



אמיר זיו
דן כהן

ראשית, נתאר את קיטוב האור כאשר נתייחס לאור לפי התיאור הקלאסי שלו, כאל גל. על-פי התיאור הגלי, הקרינה האלקטרו-מגנטית הינה התקדמות של הפרעה מחזורית-הרמונית (תנודות) בשדה החשמלי והמגנטי. לצורך פישוט תיאור תופעת הקיטוב, נתייחס לגל האלקטרו-מגנטי כהתקדמות תנודות של השדה החשמלי בלבד.

תמונה
תיאור גל אלקטרו מגנטי

אולם, אם למשל נאיר מסך, נוכל לגלות בניסוי כי האור מגיע בקוונטות (מנות) קטנות, כך שאם נחבר רמקול קטן למסך נוכל ממש לשמוע טיקטוק. כלומר, נקבל פגיעות קצובות במקום בו היינו מצפים לפגיעה גלית רציפה במסך. אותן קוונטות נקראות פוטונים.
מכאן נובע שלאור (ולגלים האלקטרומגנטיים בכלל) יש "זהות חצויה", וניתן להתייחס אליו כאל אלומה של חלקיקים (בדיוק כמו אלומה של אלקטרונים למשל) או כאל התקדמות גל. כלומר, ניתן להסביר חלק מהתופעות של האור באמצעות המודל הגלי בלבד ואילו תופעות אחרות ניתן לתאר באמצעות המודל החלקיקי בלבד. לפיכך, רק מודל המציע דואליות גל-חלקיק יוכל לתאר את כל התופעות של האור. קיטוב האור אליו נמשיך להתייחס בהמשך, היא דוגמא לתכונה גלית שלו.
כפי שציינו, לצורך פישוט תיאור תופעת הקיטוב נתייחס לגל האור כהתקדמות תנודות של שדה חשמלי. ניתן להעביר את האור במקטב, שיהיה מאונך לכיוון התנועה. כתוצאה מכך, השדה החשמלי שיהיה בכיוון המקטב יעבור דרכו והשדה שלא יהיה בכיוונו "יתקע". כך נקבל גל אור ובו שדה חשמלי הנע בכיוון אחד בלבד (מקוטב). אם נעביר את האור במקטב נוסף, עם כיוון השונה ב-90 מעלות, תחסם סופית תנועת הגל, כפי שניתן לראות בתרשים הבא:

תמונה
אור עובר דרך מקטבים

לאחר שעבר את המקטב הראשון, ממשיך השדה החשמלי לנוע רק בכיוון אחד(אנכי או אופקי). לאחר מכן, הושם מוקטב נוסף בזווית השונה ב-90 מעלות מהקטב הראשון והאור נעצר. אם למשל, נסובב את המקטבים ב-180 מעלות, נקבל בדיוק את אותה התוצאה.
במסגרת הסיכום לא נתייחס לאופן המדויק בו פועל המקטב. הנקודה החשובה היא שניתן לקטב את האור, וכי ניתן להסביר תופעה זו באמצעות המודל הגלי של האור.
ניתן להסיט את המקטב בזווית כלשהי, לאו דווקא 90 מעלות. כלומר, אם נתחיל להטות את המקטב ממצב של 90 מעלות בהדרגה, לכיוון 0 מעלות, נגלה כי כמות הפוטונים יורדת בהתאמה. תופעה זו מעלה תמיהה, שכן לפי ההיגיון, אם נסיט את המקטב אפילו באלפית המעלה, הפוטונים לא יוכלו לעבור את המקטב. תופעה זו מוסברת באמצעות האקסיומה של מכניקת הקוונטים לפיה חלקיק יכול להימצא בכמה מיקומים בו זמנית. סכום כל המיקומים המדויקים שבהם יכול להימצא חלקיק נקרא סופרפוזיציה. ההתסברות של כיוון השדה החשמלי בקיטוב אור, תלויה בזווית ההטייה. כלומר:



כך שניתן להסביר את תופעת הקיטוב כסופרפוזיציה של הזווית בה נמצא השדה החשמלי אשר מרכיב את הגל האלקטרו-מגנטי, קרי, סופרפוזיציה של הפוטון (חלקיק). לכן, כל עוד אנחנו לא מודדים את מצב הפוטון, הוא נמצא בו זמנית בכל המצבים האפשריים. מבחינה הסתברותית: ככל שהזווית של הפוטון (השדה החשמלי) קרובה לזווית המקטב, כך גדל הסיכוי של הפוטון לעבור את המקטב.

קיטוב של אלקטרון:

קיטוב האלקטרון שונה מקיטוב הפוטון. על מנת להסביר את קיטוב האלקטרון נסביר בקצרה את ניסוי שטרלן-גרלך:
בניסוי, נורתה אלומת אלקטרונים אל תוך שדה מגנטי לא אחיד. לפי מה שהיה ידוע עד אותה שעה, ההטייה שהם היו אמורים לקבל מהשפעת השדה המגנטי יכלה לקבל רצף של ערכים התלויים בתנע הזוויתי של האלקטרונים (כלומר התנע הזוויתי יכול לקבל רצף של ערכים). אם כי בניסוי ההתפלגות הייתה אחרת:

תמונה
ניסוי שטרלן גרלך

הקימור הירוק מתאר את מה שציפו לראות בניסוי, ואילו הקימורים הכחולים משקפים את התוצאות בפועל. האלקטרונים קוטבו לשתי אפשרויות למעלה (up) ולמטה (down). אם נסובב את השדה המגנטי ב-180 מעלות, ה-up יהפוך ל-down ולהיפך.
אם נוסיף מקטב נוסף (שדה מגנטי נוסף) באותו כיוון כמו המקטב הראשון ש"יקלוט" את החלקיקים שקוטבו up , אז הם ימשיכו ללא הפרעה, אך אם נהפוך את המקטב ב-180 מעלות אף חלקיק לא ימשיך.
בניגוד לפוטונים, האלקטרונים קוטבו בהפרש של 180 מעלות ולא 90, כלומר לכאורה הקיטוב לא היה אורתוגונלי.
מכאן ניתן לומר שהקיטוב היא תכונה בסיסית של חלקיק והיא תלויה בספין. ספין הוא ערך המסייע לנו לחשב התנהגות סטטיסטית של חלקיק. לא נגדיר במדויק מהו הספין במסגרת סיכום זה. בעקבות הניסוי התגלה כי לאלקטרון ספין 2\1 (ולפוטון ספין 1).
נניח ולא נמדוד את האלקטרון (לא נשים מסך בשביל למדוד את התפלגות החלקיקים), לא נדע למעשה שפיצלנו את האלומה. קרי, האלקטרון היה מצוי במצב סופרפוזיציה של up ו-down. בדומה לסופרפוזיציה של קיטוב הפוטון, אלא שהפעם ההפרש הוא של 180 מעלות. לכן נביע את הקיטוב של האלקטרון בצורה הבאה:



כלומר שבמקרה של אלקטרון, קיטוב של 180 מעלות מוגדר כאורתוגונלי. קיטוב בזווית כלשהי גורם לסופרפוזיציה של האלקטרון.

לסיכום: את תופעת קיטוב האור ניתן להסביר כתופעה גלית. אך כאשר מתיחסים לאור כאל אלומה של חלקיקים (פוטונים) יש לייחס לכל פוטון דרגת חופש פנימית הנקראת "ספין1". מצבי קיטוב של פוטון (במאונך לכיוון התנועה) הם אורתוגונליים אם הם נבדלים ב-90 מעלות. גם לאלקטרונים יש קיטוב, אבל מסוג "ספין 1/2". מצבי קיטוב של ספין 1/2 הם אורתוגונליים אם הם נבדלים ב-180 מעלות.

לקריאה נוספת:
1. הסבר מקיף על תופעת קיטוב האור: http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/polarization.html
2. משפט ספין-סטטיסטיקה: http://en.wikipedia.org/wiki/Spin-statistics_theorem
3. ערך על הצפנה קוונטית בו מוסברת תופעת הסופרפוזיציה של פוטון (בחלקו הראשון של הערך): http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%A6%D7%A4%D7%A0%D7%94_%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%AA

הערה של המרצה:
פוטון בניגוד לאלקטרון ניתן לקטב "קיטוב לינארי" (כמוסבר למעלה) רק במאונך לכיוון תנועתו: אם התנועה בכיוון Z אז הקיטוב יכול להיות במישור XY. זה קשור לכך שהפוטון נע במהירות האור, ואין מערכת יחוס שבה הוא שרוי במנוחה. פרט לקיטוב הלינארי (שהוסבר למעלה) הפוטון יכול להיות גם במצבי קיטוב אחרים שנקראים "בורגיים" או "מעגליים" או באופן כללי יותר "אליפטיים", אבל הגדרה מדויקת של מצבי קיטוב אלה דורשת הבנה מתמטית מלאה של המושג "ספין1".

מקורות:
1. ויקיפדיה עברית.
2. ויקיפדיה אנגלית.



ניסוי שטרלן גרלך


עדן ותומר

ניסוי שטרן גלרך בוצע בפרנקפורט גרמניה על ידי אוטו שטרן ו-וולטר גרלך. מטרת הניסוי היתה לבדוק האם המומנט המגנטי של אטום כסף הוא מקוונטת. הניסוי נערך בעזרת מכשיר היורה אלומת אטומי כסף דרך מגנט שיוצר שדה לא אחיד. השדה הבלתי אחיד נוצר על ידי כך שקוטב אחד של "מגנט פרסה" רחב יותר מהקוטב השני שלו. האטומים עוברים במרחב שבין שני הקטבים. ההסחה שלהם פרופורציונלית למצב הקיטוב של המומנט המגנטי. לאחר מכן האטומים פגעו בגלאי ועל ידי כך נקבע ההתפלגות של מצב הקיטוב. תוצאת הניסוי היתה שההתפלגות התרכזה סביב שני ערכים שווים והפוכי סימן. מכאן אנו מסיקים שלחלקיקים יש "ספין 1/2". זה גם מה שקורה עם אלקטרונים. את מצב הקיטוב הכללי אפשר לרשום כסופרפוזיציה:



באשר




לדוגמה



שימו לב שההסתברות למדוד ספין UP היא
וההסתברות למדוד ספין DOWN היא

אפשר להגדיר ניסוי מתוחכם יותר כדלהלן. נארגן את השדה המגנטי כך שהאלומה מתפצלת ולאחר מכן מתאחדת חזרה. אם כאשר החלקיק עובר דרך המכשיר הוא לא עושה אינטראקציה עם הסביבה (זה אומר אם לא "מסתכלים" עליו) אז הוא יוצא באותו מצב שבו הוא נכנס. במקרה כזה אומרים שהחלקיק עובר "בו זמנית" בשני מסלולים כמו בניסוי שני סדקים.

אם חוסמים את אחד מהשני המסלולים מקבלים "פילטר" שמעביר מצב קיטוב אחד בלבד. אם יש לנו אלומת חלקיקים עם מצב קיטוב אז רק 50% יעברו דרך פילטר שמוצב אנכית בכיוון ציר Z, אבל 100% יעברו דרך פילטר שמוצב אופקית בכיוון ציר X.

אם "מסתכלים" על החלקיק כשהוא עובר דרך המכשיר, אבל לא חוסמים את תנועתו, אז מה שמתקבל ביציאה זו תערובת של מצבי ספין. לדוגמה, אם יש לנו אלומת חלקיקים עם מצב קיטוב ואנו מודדים את הקיטוב בכיוון האנכי, אז ביציאה תהיה לנו תערובת של 50% מצב UP עם 50% מצב DOWN. במילים אחרות האלומה שתצא תהיה לא מקוטבת. את זה אפשר לודא על ידי כך ששמים מכשיר מדידה נוסף ורואים שאין קיטוב בשום כיוון מדידה.

אנו רואים שהתנהגות החלקיקים זהה בניסוי שטרן-גרלך ובניסוי שני הסדקים. כאשר אין אינטרקציה החלקיק יכול להמצא בכמה מקומות בו זמנית, אולם כאשר כן יש אינטרקציה (מסתכלים עליו) הוא נאלץ לבחור במסלול יחיד. אפשר גם לשים בטור שלושה פילטרים ולהווכח שכללי הסופרפוזיציה "פועלים" בדומה למה שאנו מכירים לגבי קיטוב של אור (אבל כמובן יש לזכור שכאן כיווני הקיטוב האורטוגונליים הם 180 מעלות).

מצורפים שני קישורים:

תמונת תוצאות הניסוי - פיצול האלומה
http://plato.stanford.edu/entries/physi ... ure13.html

הדמיית הניסוי עם עד 3 מכשירי שטרן - גרלך
(יש ללחוץ על הכפתור הירוק Run now בכדי להתחיל את ההדמיה)
http://phet.colorado.edu/en/simulation/stern-gerlach



הצפנה קוונטית



לידור פוליצר ושי לוי

הקדמה: מהי הצפנה
הצפנה היא הסתרת מידע באמצעות קוד שנבחר על ידי שני צדדים או יותר כדי למנוע ממידע להיות גלוי לכל.
סוגי ההצפנה הקיימים לרוב הם מתמטיים המתבססים על אלגוריתמים מורכבים.

הצפנה קוונטית
הצפנה קוונטית היא שימוש בתכונות הקיטוב של פוטונים או אלקטרונים על מנת ליצור קוד אשר משמש להצפנת מידע.

איך זה עובד ומה העקרונות מאחורי הרעיון?
נגדיר שני אנשים, אליס ובוב שמעוניינים להגדיר בינהם קוד באמצעות הצפנה קוונטית ואדם שלישי המנסה לצותת - איב.
ההסבר המובא בסיכום זה מתייחס לקיטוב אלקטרונים לפי ניסוי שטרלן גרלך.
כמו שראינו, בניסוי שטרלן גרלך גילינו שקיטוב של אלקטרון מתייחס לספין 1/2 כאשר אפשרויות הקיטוב הן או up/down כשהמקטב במצב אנכי,
או left/right כשהמקטב במצב אופקי.


אליס משגרת לבוב אלקטרון שמקוטב באופן שרירותי לפי בחירתה. בוב במקביל מבצע מדידות אקראיות של האלקטרונים המתקבלים כאשר מצב המקטב שלו נבחר גם הוא באופן שרירותי.
אם המקטבים במצבים זהים המדידות יהיו זהות אצל שניהם (מכיוון שהספין של האלקטרון זהה). במידה והמקטבים אינם זהים אז המדידות יהיו שונות.

להלן טבלה לדוגמא של תוצאות מדידות הדדיות :

תמונה

הסבר:
אם המדידות זהות בכיוון אנכי אז נבחרת ספרה 1 לקוד.
אם המדידות זהות בכיוון אופקי אז נבחרת הספרה 0 לקוד.
אם המדידות אינן זהות הן נזנחות.
אליס ובוב חוזרים על התהליך מספר פעמים.
בסוף התהליך הם יוצרים קשר באמצעות ערוץ תקשורת רגיל, לדוגמא טלפון, ומעדכנים אחד את השני איזה שדר נשלח על-ידי אליס,
באיזה מצב היה המקטב של כל אחד ואיזה שדר התקבל על ידי בוב. השדרים שלא יתקבלו זהים נזנחים ובעזרת השדרים שהתקבלו מגדירים את הקוד.

על ידי כך אליס ובוב בונים צופן שנבחר לחלוטין באופן אקראי.
כעת, נניח שאיב מעוניינת לעלות על השדר. איב תנסה לגלות את השדר שאליס שולחת לבוב על ידי הצבת מקטב בין אליס לבוב.

תמונה

פניה שתי אפשרויות – אפשרות ראשונה היא לכוון את המקטב באותו אופן שאליס כיוונה או באופן מנוגד לו.
במידה ואיב תכוון את המקטב באותו אופן שאליס כיוונה את שלה השדר יעבור לבוב אך היא לא תדע אם המצב בין המקטב של בוב למקטב של
אליס הוא במצב זהה ולכן סיכוייה לדעת מה השדרים שהתקבלו אצל בוב הם זהים לשל אליס היא הסתברותית, כלומר איב בסך הכל מבצעת ניחושים
ולכן הסיכוי שהיא תדע מתי השדר אושר הוא אפסי.
אפשרות נוספת היא שאיב תבחר להציב את המקטב באופן שונה משל אליס. בכך למעשה האלקטרון לא יגיע לבוב,
ובבדיקה שאליס ובוב יבצעו בטלפון הם יגלו ששדרים מסוימים לא הגיעו למרות שהיו צריכים להגיע ומכך יבינו שישנו מצותת.
חשוב להבין בנוסף כי בעת מדידת האלקטרון על ידי איב היא אינה יכולה לבצע מדידה ולשלוח אותה לבוב במטרה להסוות את הציתות.
אחד העקרונות הבסיסיים של המכניקה הקוונטית הוא העיקרון שלא ניתן לשכפל מצב קוונטי של חלקיק מכיוון שהמכניקה הקוונטית אינה דטרמיניסטית.
אם איב הייתה מסוגלת ליצור שכפול של המדידה ולשלוח אותה לבוב משמע הדבר היה שהמכניקה הקוונטית דטרמיניסטית, דבר אשר סותר את המצב האמיתי.

לסיכום: היתרון בשיטה של הצפנה קוונטית על שיטת הקידוד הקלאסית, היא שהצופן נבחר באופן אקראי וההסתברות לעלות על הקוד שנוצר כל פעם מחדש היא אפסית בעקבות תכונות המכניקה הקוונטית,לעומת השיטה הקלאסית בה משתמשים בנוסחאות ואלגוריתימים מתמטיים מורכבים שקשים, אך ניתנים לפיצוח.
בפועל ההצפנה הקוונטית מיושמת באמצעות פוטונים ולא באמצעות אלקטרונים. המקטבים במקרה זה הם בזוויות - 0 ו 45 במקום 0 ו 90





התאור המתמטי של גלים



גלעד ארליכמן

מספרים מרוכבים (קומפלקסים):

המספרים המרוכבים נוצרו על מנת להגיע למצב שלמשוואות כדוגמת יהיה פיתרון.

נגדי את הסימן שייקים

ובדרך זו נוכל לקבל פיתרון לכל משוואה פולינומיאלית. נגדיר מספר מדומה כמספר ממשי הצמוד ל- כלומר:

ההרכבה של מספר ממשי עם מספר מדומה על ידי סימן החיבור תיתן מספר קומפלקסי, נסמנו ב- כלומר: .

ניתן להתייחס אל מספר קומפלקסי כווקטור במישור, בעל שני רכיבים- ממשי ומדומה, כלומר:

ונוכל להציגו במישור המרוכב, כאשר הציר האנכי הוא הציר המדומה והציר האופקי הוא הציר הממשי,

תמונה

עפ"י התיאור הגיאומטרי של המספר הקומפלקסי, ניתן לייצגו גם במערכת פולרית, ע"י גודלו וכיוונו של ,

כאשר יהיה גודלו של ו- כיוונו עם ציר האופקי (הממשי).

נוכל לכתוב: ו-

ןמכאן: ו-

עפ"י ההצגה הפולרית נוכל לכתוב:



ועל-ידי שימוש במשפט אויילר, נקבל:



וכן, מייצגת את מרחקו מהראשית,כלומר גודלו,

ו- מייצגת את את הפאזה, כלומר את הזווית יחסית לציר האופקי,הממשי.



גלים:


התיאור המתמטי של אוסילטור מייוצג ע"י אקספוננט קומפלקסי:



כאשר:

היא האמפליטודה, כלומר, A הינה ההעתק המקסימלי של הגל, כפי שמוראה בגרף הראשון.

ו- היא הפאזה, והיא שווה ל- .

פאזה, מתארת את מצבה הרגעי של התנועה, או שינוי כלשהו המתרחש בין שני מצבים או יותר של התנועה.

תמונה

היא התדירות הזוויתית והיא שווה ל- , כאשר היא התדירות, מספר התנודות בכל יחידת זמן. ()

הוא מספר הגל והוא שווה ל- , כאשר הוא אורך הגל, המרחק שהגל עובר במהלך זמן מחזור שלם.

ניתן לתאר גלים ע"י אוסף של אוסילטורים המחוברים אחד לשני:

תמונה

את פונקציית הגל נוכל לכתוב ע"י המשוואה:



ומפה נובעת הסיבה לתיאור הגלים ע"י פונקציית אקספוננט קומפלקסי, עם אמפליטודה - ופאזה עם משמעויות כמוסבר למעלה.





מצבים קוונטיים של חלקיק במרחב



נדב אלקושי

מצבים של חלקיק חופשי

חלקיק חופשי הוא חלקיק אשר אינו נתון במערכת סגורה. במערכת סגורה, תנועתו של החלקיק מוגבלת על ידי קירות הקופסא שבהן הוא נתון. אולם במערכת פתוחה המצבים האפשריים שלו נמרחים על כל המרחב. אפשר למדוד את המקום או את התנע של החלקיק. התנע מבטא את אורך גל של החלקיק כמוגדר על ידי :



כאשר מתייחסים לתאור של החלקיק במרחב, ניתן לראות את המרחב כרצף של "תאים" קטנים שבהם החלקיק יכול להימצא. מצב התנע ניתן לביטוי כסופרפוזיציה של מצבי מקום:



בפונקציה זו מיקומו של החלקיק ב"תא" מסוים במרחב מסומן במשוואה כ <X| כאשר X הוא המיקום (הקואורדינטה) של התא. לדוגמה, חלקיק חופשי שהתנע שלו הוא 0, מצבו במרחב מתואר על ידי



החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב (הוא מצוי בו זמנית בכל ה"תאים" במרחב). במקרה הכללי נהוג לרשום



ולהגיד שמצב החלקיק מתואר על ידי פונקצית הגל



באשר

או בגבול הרצף



באשר

נורמליזציה ואי ודאות

פונקציית הגל צריכה להיות מנורמלת, כלומר :



המצב שבו החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב הוא מלאכותי מבחינה מעשית. מעשית, החלקיק יהיה באזור סופי במרחב שגודלו . החלקיק לא יהיה במצב של תנע מוגדר היטב, אלא בסופרפוזיציה של כמה מצבי תנע. התנע אינו בעל ערך ודאי, אלא עם תחום פיזור . על פי עיקרון אי הודאות של היזנברג מתקיים :



באשר היא אי הודאות במיקום החלקיק, ז"א אורך האזור שבו הוא "מרוח".



מצבים קוונטיים של חלקיק בבור פוטנציאל



- מציאת רמות אנרגיה
- חישוב תדירות התנועה
- תאימות לחישוב הקלאסי

ים קושינסקי
מתן דביר-דבח


בפיזיקה הקוונטית בעיית החלקיק בקופסה מתארת חלקיק החופשי לנוע בין שני קירות בלתי חדירים. בעזרת מודל זה ניתן להדגים חלק מין ההבדלים הקיימים בין המכניקה הקלאסית למכניקה הקוונטית. לדוגמה במכניקה הקלאסית את החלקיק הלכוד ניתן להקביל לכדור הנע בלא משיכה בין שתי קירות ומבצעה התנגשויות אלסטיות לחלוטין, ע"פ המכניקה הקלאסית "הכדור" יכול לקבל כל מהירות שהיא. מאידך ע"פ המכניקה הקוונטית (בניסוי המרחק בין "קירות" הקופסא הוא ננומטרים בודדים) החלקיק מסוגל לקבל רק רמות מסוימות של אנרגיה ובדומה הוא לא יכול לקבל רמה של "0" אנרגיה, כלומר הוא לעולם לא במנוחה, את מיקומו ניתן לחזות רק ע"פ הסתברות ועל קירות הקופסה (אנודות) ההסתברות למצוא את החלקיק היא אפס.
הצורה הפשוטה ביותר של בעית חלקיק בקופסה היא הצורה החד מימדית- מצב בוא החלקיק נע על קו ישר בין הקירות התוחמים אותו. את קירות הקופסה ניתן לתאר כאיזור בחלל בעל פוטנציאל גדול מאוד מאוד, ואת פנים הקופסה כאיזור עליו לא פועלים כוחות כלל. לכן החלקיק במגבלות הקופסה יכול לנוע בצורה חופשית.
V(x) – פוטנציאל החלקיק.

חלקיק קלאסי בקופסא
תחילה נחשב את זמן המחזור של חלקיק בקופסה כפי שמחושב ע"י הפיזיקה הקלסית:
כיוון שמדובר בחלקיק הנע בקופסה באורך L במהירות V החלקיק נע בתנועה שוות מהירות -



(דרך לחלק במהירות)

לכן התדירות היא







הקוונטיזציה של האנרגיה

במכניקה קוונטית הדרך הטובה ביותר לתאר התנהגות של חלקיק היא באמצעות פונקצית גל ואת כל התכונות המדידות של החלקיק (תנע, מיקום, אנרגיה...) ניתן לגזור מפונקצית הגל של החלקיק. במקרה זה יש להתיחס אל החלקיק כאל מיתר הרוטת בין שתי נקודות וככזה הוא מסוגל לקבל אורכי גל קבועים






לכן ניתן להבחין שגם שינוי התנע של החלקיק נא בקוונטות שלמות התואמות את
אורך הגל של החלקיק.




כיוון שהחלקיק נע בקופסה ללא פוטנציאל וללא כוחות כל שהם הפועלים עליו את מישוואת האנרגיה ניתן לרשום-






ניתן ראות שרמות האנרגיה עולות ביחס ריבועי לn כלומר בין כל אורכי גל "סמוכים" בעלי דרגות אנרגיה גבוהות מפרידה כמות גבוהה יותר של אנרגיה.
בנוסף קל להבחין שהאנרגיה המינימלית של חלקיק (כאשר n=1) היא –



כלומר לחלקיק תמיד יש אנרגיה גדולה מ0, מה שעומד בסטירה למכניקה הקלסית, שגורסת שחלקיק יכול להיות במצב של 0 אנרגיה- עומד ללא תנוע בתחתית הקופסא. את מצב זה הפיזיקה הקוונטית מסבירה באמצעות עיקרון אי הוודאות שטוען שמכפלה סקלרית בין שינוי התנע לשינוי המקום תמיד גדולה ממספר חיובי כל שהוא (מחצית קבוע פלנק), ולכן שינוי המקום ושינוי התנע תמיד גדולים שניהם מאפס.




החישוב הקוונטי של תדירות התנועה

נחשב את זמן התנודה של החלקיק, בקופסה באורך L אשר נע במהירות V מנקודת מבט קוונטית:

מהקוונטיזציה נובע שהמהירות של חלקיק ברמה n היא



אבל כיוון שהראנו קודם שהחלקיק מסוגל לקבל רק "תנעים" מסוימים-



כאשר n,m מספרים טיבעיים.

נבחן מקרה פרטי בוא התדירות היא הפרש האנרגיות המרוחקות רמה אחת, אחת מהשניה-
במקרה הקוונטי –






במערכת הקלאסית נחשב את התדירות של אותה המערכת בעזרת המהירות הממוצעת המתאימה לתנעים בהם השתמשנו במערכת הקוונטית.





לכן ניתן לראות שמשוואת התדירות של המהירות הממוצעת של החלקיק היא


אכן התדירות במערכת הקלאסית והקוונטית מניבות תוצאה זהה.


ניתן להראות שאי הוודאות במקומו של החלקיק נתונה ביחס ישר לאורך הקופסה, ולכן אי הוודאות בתנע של החלקיק חייבת להיות ביחס הפוך לאורך, כך ניתן לראות כיצד בחיים היום יומיים לא ניתן להבחין כלל באי הוודאות של הפיזיקה הקוונטית (הניסוי התרחש על ננומטרים בודדים, ותנוע על פני מרחק בסדרי גודל של מילימטרים, תהפוך את אי הוודאות לזניחה)



נספח

כפי שצויין מקודם בתוך הקופסה הפוטנציאל הוא אפס כלומר לא פועלים על החלקיק כוחות חיצוניים לכן בטווח זה פונקציית הגל מבצעת אוסילציות מהצורה של פונקצית הגל של חלקיק חופשי



כאשר A ו-B הם מספרים מרוכבים כל שהם, תדירות האוסילציות במרחב מיוצגת ע"י K התנע של הגל ו"אומגה", התדירות הזוויתית.
אמפליטודת החלקיק קשורה לסבירות למצוא את החלקיק, בנקודה כל שהיא במחרב. ניתן לראות שבקצוות הקופסא, הסבירות למצוא את החלקיק היא "אפס" ובנוסף, האמפליטודה לא תוכל ל"לקפוץ" באופן פיתאומי מערך אחד לערך אחר (הפונקציה רציפה בתחום שבין קירות הקופסא). פונקציה היחידה שעומדת בשני תנאים אלו היא פונקציה מהצורה:



לבסוף הערך A הוא ערך שמנרמל את הסבירות למצוא את החלקיק במקום כל שהוא בקופסא ל1.

מיקום החלקיק
בפיזיקה הקלאסית ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה מסוימת על ציר התנוע שלו אחידה עבור כל הנקודות. בפיזיקה הקוונטית ההסתברות עבור כל נקודה מיוצגת ע"י האמפליטודה של הגל בנקודה זו. לכן קל לראות שעבור אורכי גל הגדולים מn = 1 ישנם מקומים נוספים, פרט לאנודות, בהם החלקיק לא יכול להימצא, כיוון שהאמפליטודה מתאפסת. הפונקציה המיצגת את האמפליטודה של הגל בכל נקודה היא-




לסיכום- יש לציין שניסוי זה עומד בסטירה למכניקה הקלסית במספר מובנים-
1) החלקיק מסוגל לקבל רמות אנרגיה ספציפיות כלומר העליה ברמת האנרגיה של החלקיק אינה רציפה, ולכן החלקיק באופן דומה "קופץ" מתנע אחד לתנע אחר.
2) החלקיק אינו מסוגל "לעמוד" או להיות חסר אנרגיה, כלומר יש לו אנרגיית מינימום
3) את מיקומו המדויק של החלקיק לא ניתן לחשב במדויק אלה את ההסתברות להימצאותו של החלקיק במקום זה או אחר בהתאם לאמפליטודה של פונקציית הגל.





מודל האטום של בוהר


אברהם
איבריהם


מודל האטום של נילס בוהר פותח ב- 1913 תוך שימוש בעבודת של איינשטיין ופלאנק והניח תורה חדשה עבור אטומי המימן. מודל זה הינו פיתוח של "המודל הפלנטארי" אשר פורסם ע"י רתרפורד בתחילת 1911. ל"מודל הפלנטארי" של רתרפורד היו מספר בעיות, העיקרית שבהן הייתה שהאלקטרונים הסובבים את הגרעין, ככל מטען מואץ, אמורים לפלוט קרינה אלקטרומגנטית (פוטונים) ואיבוד האנרגיה בדרך זו תגרום להם לנוע בספיראלה ולהתנגש בגרעין תוך זמן קצר.
הצלחת מודל האטום של נילס בוהר נבעה בעיקר מהסברתו את נוסחת רידברג לחישוב קווי הפליטה, למרות שהנוסחה אוששה זה מכבר על ידי ניסוי, היא לא הוסברה תאורטית עד לפרסום מודל האטום של בוהר. כמו כן הסביר המודל את יציבות האטום (אי-הסברת העובדה הזו היא אחד החסרונות הגדולים של המודל הפלנטרי).


ניתוח מודל בוהר

נניח שהאלקטרון בעל מסה m נע במהירות v במסלול מעגלי בעל רדיוס r.
האלקטרון מוחזק במסלולו על ידי כוח הנובע מחוק קולון המהווה כוח צנטריפטלי.
להלן מייצג את קבוע קולון כפול מטען האלקטרון.
החוק השני של ניוטון הוא:



מכאן נובע קשר בין הרדיוס למהירות של התנועה:



בהתאם האנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון היא:



מכאן האנרגיה הכוללת של האלקטרון היא:



נדרוש שהיקף המסלול יהיה שווה לאורך הגל שלו כפול מספר שלם:



לעיתים מנסחים את תנאי זה בצורה הבאה:
באשר התנע הזויתי מוגדר כדלהלן:
פרשנות זו מאוד פופלרית בספרי לימוד אלמנטריים אבל בפרספקטיבה היסטורית ספק אם יש לה משמעות. לדוגמה, מצב היסוד הוא למעשה בעל תנע זויתי אפס, בניגוד למה שמשתמע ממודל בוהר. למעשה זה "נס" שמודל בוהר נותן תוצאות נכונות...

מהתנאי לעיל נובע כי המהיריות "המותרות" של האלקטרון הן:



ולכן האנרגיות "המותרות" הן



אם אנו עושים ספקטרוסקופיה אז מה שנראה זה הפרשי תדירויות. אם האלקטרון נמצא ברמה גבוהה אז בקרוב



מיד רואים שזה בהתאמה לפתרון הקלאסי:



נשים לב שהספקטרוום הקוונטי בניגוד לזה הקלאסי מקוונטט - לא כל תדירות אפשרית.



מצבים קוונטיים של אוסצילטור הרמוני


דדי שרעבי
חנן דן

מצבים קוונטיים של אוסצילטור הרמוני

אוסצילטור (מתנד) הרמוני קוונטי הוא מודל פיסיקלי המתאר תנועה של חלקיק בתנודה.
זוהי בעצם "גירסה קוונטית" של האוסצילטור ההרמוני הקלאסי (אובייקט הקשור לקפיץ, מטוטלת וכו') בו סך האנרגיה הפוטנציאלית והקינטית בכל רגע נתון שוות לערך קבוע.

המחשה טובה למתנד הרמוני ניתן למצוא בקישור הבא:
http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg

מודל זה הוא חשוב מאוד בפיסיקה מאחר וניתן לייצג מערכות רבות (עד לדיוק מסוים) כאוסף של אוסצילטורים, וכן זוהי מערכת לה ניתן למצוא פתרון מדוייק.

במודל הקוונטי, חלקיק בעל מסה נתון תחת אנרגיה פוטנציאלית ונע בתדירות מסויימת.
תדירות החלקיק אינה תלויה באנרגיה או באמפליטודה של התנועה.

כאשר החלקיק חופשי, מהירותו ניתנת ע"י:



באוסצילטור, תדירות החלקיק נתונה ע"י:





או:



כלומר, האנרגיות המקוונטטות באוסצילטור קופצות בערכים קבועים, שלא כמו במערכת של חלקיק בקופסא,
שם האנרגיה נתונה ע"י:



כאמור, מודל האוסצילטור ההרמוני מאפשר לנו לייצג תופעות פיסיקליות אחרות. למשל, השדה המגנטי, או רמות האנרגיה של אלקטרונים באטום.

משוואות התנועה שמתארות את השדה המגנטי, מתארות תנועה בתנודות - תנועה בתדירויות שונות.
ניתן לקוונטט את השדה המגנטי ע"י עירורו לרמת ויברציה, ובעצם לחשוב על משוואות אלה כעל משוואות המתארות תנועה של אוסצילטור.
האנרגיה שתהיה לתנודה תינתן ע"י אותה נוסחה:






הפוטון כחלקיק


- האפקט הפוטואלקטרי (לא כלול)
- פיזור קומפטון (להלן)

עודד בצלאל
מתן אורלנד

פיזור תומסון היא הפרדיקציה הקלאסית של פיזור גל אלקטרומגנטי ע"י התנגשות אלסטית. תומסון, שמשתמש רק בעובדה שהאור הוא גל אלקטרומגנטי ולא בעובדה שיש לו תכונות חלקיקיות חזה שאכן יהיה שינוי בזוית, אך האלקטרון יפלוט גל באותה תדירות כמו התדירות הנכנסת.
במילים אחרות: .בפיתוח של תומסון היתה הזנחה של הרתע, ולכן אין שום שינוי בתדירות. בפיתוח הנ"ל מה שמעניין אותנו הוא הרתע. תומסון התעניין בחתך הפעולה.


פיזור קומפטון:
פיזור קומפטון (התגלה ע"י ארתור קומפטון ב-1923) היא תופעה המתרחשת בחלקיקים בעלי אורכי גל קצרים מאוד (רק עבור אורכי גל כאלה ניתן להבחין בה). התופעה שנצפתה נתנה אישוש לתוצאות האפקט הפוטואלקטרי ולהיות האנרגיה בקוונטות.

נפתח את התופעה שנצפה לראות בעולם קלאסי:
1. חבילת גלים המתנגשת בקיר נע:

תמונה

1.1 במערכת המעבדה הגל יתואר כ - .
בשביל לעבור למערכת הקיר נבצע את טרנספורמציית גליליי:


בהצבה נקבל:

ונקבל כי:

(משוואת אפקט דופלר להזזה בתדירות)
כאשר
ומכאן נקבל: ו -
וגם: (1)

1.2 אם לפולס (חבילת הגלים) יש אנרגיה אז התנע שלו הוא .
מכאן שהמהירות הממוצעת שהוא מעניק לקיר בעל מסה היא:
ומכאן- (2)

1.3 מ-(1) ו-(2) נקבל:

ויחד עם:
ולבסוף נקבל:
(משוואה 2)

2. קומפטון ראה אמפירית כי יש הזזה באורך הגל והתוצאה החשובה היתה שהאנרגיה של חבילת הגלים מקוונטטת. אם נקבל את העובדה כי חבילת גלים מקוונטטת מתנהגת כמו חלקיק, את התוצאה מקבלים מניתוח של התנגשות אלסטית בין שני חלקיקים (אלקטרון ופוטון).
הפיתוח של קומפטון שנועד להסביר את תוצאות הניסוי:

תמונה

משימור תנע קווי, אנו יודעים כי:

(בהנחה כי האלקטרון היה במנוחה ברגע הפגיעה)
משימור האנרגיה:


אנרגיית הפוטון מוגדרת ע"י:

כאשר היא התדירות ו- הוא קבוע פלאנק.

אנרגיית האלקטרון נתונה ע"י:



וממשוואת שימור האנרגיה נקבל:


ממשוואת שימור התנע נקבל:

(את התוצאה האחרונה נקבל ממשפט הקוסינוסים)

בעזרת קצת אלגברה נגיע בסופו של דבר לנוסחת הפיזור:

כאשר הוא אורך הגל.
ועבור החזרה בזוית (כמו בסעיף 1) נקבל:
(משוואה 2)

3. נשים לב שאם נציב במשוואה 1 את נקבל את משוואה 2. בעצם פיזור קומפטון מופיע בתור אפקט דופלר בצורתו הקלאסית (הזזה באורך הגל (shift)) כתוצאה מהתנגשות. התוצאה שקומפטון מדד מאשרת את העובדה כי האנרגיה חייבת לבוא בקוונטות.
פיתחנו את נוסחת קומפטון בדרך קלאסית (1) ובדרך קוונטית (2) ובסופו של דבר קיבלנו שהתנאי לקיום השוויון בין הדרכים הוא עקרון בסיסי בקוונטים.
התוצאה זהה לאפקט הפוטואלקטרי בו: כאשר היא פונקציית העבודה של החומר - וגם בה נמדדה התוצאה (המפתיעה - בזמנו) שהאנרגיה מופיעה בקוונטות.




אבחנה בין פרמיונים ובוזונים


- בוזונים כרה-אינטרפטציה של אוסצילטור הרמוני
- אלקטרונים הם פרמיונים - האיסור של פאולי
- דוגמה: אכלוס אורביטלים באטומים פשוטים
- הבהרת המושג "סינגלט"

הדס ביטון
משה אבוקסיס

פרמטר חשוב במיון חלקיקים הוא הספין שלהם, חלקיקים בעלי חצי ספין נקראים פרמיונים ואילו חלקיקים בעלי ספין שלם נקראים בוזונים.
משפט ספין סטטיסטיקה מיחס התנהגות סטטיסטית מסויימת לחלקיקים בהתאם לספין שלהם , מהמשפט עולה כי פרמיונים נוהגים לפי עיקרון האיסור של פאולי בעוד שבוזונים חופשיים מעיקרון זה.
כלומר מצב קוונטי יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד לכל היותר אך אין הגבלה על מספר הבוזונים שיכולים לאכלס מצב קוונטי נתון.
הבוזונים נקראים על שמו של המדען ההודי סאטינדרה נאת בוז שפיתח שיטה פיסיקלית סטטיסטית המסבירה את התפלגותם של פוטונים במצבי אנרגיה שונים במערכת הנתונה בשיווי משקל תרמודינמי , במהלך התפתחותה של תורת הקוונטים הוגדרו ותוארו עוד חלקיקים מלבד הפוטונים המצייתים לסטטיסטיקה והם נקראים בשם המשותף בוזונים.
בניגוד לפרמיונים מספר בוזונים יכול להימצא באותו מקום ובאותו מצב פיסיקלי , במקרה כזה אין דרך להבדיל ביניהם , אין לחלקיקי אחד זהות שונה מהאחר, הסיבה לכך היא שיש לבוזונים מצב קוונטי סימטרי.
נסתכל על מערכת ובה שני חלקיקים זהים, בתורת הקוונטים יש לכל אחד מהחלקיקים הסתברות מסויימת להימצא בכל נקודה בקופסה, החשיבות היא שיש שני חלקיקים ולא משנה למי נקרא ולמי ולכן אנו מסיקים כי מתחייב שכל החלפה בין החלקיקים לא תשפיע על הגדלים הפיסיקליים המאפיינים את המערכת .
עקרון זה הוא הנחת היסוד של תורת הקוונטים והסימטריות של הטבע , והיא קובעת כי לא כל פונקצית גל יכולה לתאר את המערכת אלא רק פונקציות גל בעלות סימטריה מוגדרת להחלפה בין חלקיקים (סימטריות או אנטי סימטריות).
בפיסיקה מפרידים את כל החלקיקים ל שתי קבוצות,
החלקיקים שניתינים לתיאור על ידי פונקציות גל אנטיסימטריות(בוזונים):



החלקיקים שניתינים לתאור על ידי פונקציות גל סימטריות(פרמיונים):



אבני היסוד של החומר הם פרמיונים , פרמיונים הם חלקיקים בעלי ספין חצי שלם המנוסחים על ידי חוק האיסור של פאולי,
הקובע שבכל זמן שהוא מצב קונטי נתון יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד לכל היותר, כלומר המצב בין שני חלקיקים זהים הוא אנטי סימטרי להחלפה.
כיוון שאלקטרונים הסובבים את גרעין האטום הם פרמיונים עיקרון האיסור עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום.
אורביטלים הם המצבים הקוונטים האפשריים של אלקטרון בודד ביו אוסף אלקטרונים סביב הגרעין של האטום , כל אורביטל יכול לאכלס עד שני אלקטרונים כשלכל אחד מהם ספין הפוך. חלוקת האורביטלים לקבוצות היא על פי רמת האנרגיה של האלקטרונים המאכלסים אותו , הרמות מדורגות כלומר ברמה ה- קיים רק סוג האורביטל ה-, ברמה ה- קיימים הסוגים הראשונים וכך כל רמה גבוהה יותר מכילה את כל סוגי האורביטלים הנמצאים ברמה הקודמת וסוג נוסף.
ניתן לסמן רמות אנרגיה באות , כל אורביטל מסומן על פי רמת האנרגיה בו הוא נמצא וסוגו, לדוגמא אורביטל נמצא ברמת ומסומןעל ידי .
כל אלקטרון שואף להיות ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר ולכן קודם מתאכלסים האורביטלים ברמות האנרגיה הנמוכות ורק אחריהן רמות האנרגיה הגבוהות יותר. תחת עקרונות אלה מסמנים את היערכות האלקטרונים באטום.
לדוגמא היערכות האלקטרונים באטום מימן: , של הליום , ושל ליתיום .
בנוסף אלטרונים מאכלסים קודם אורביטל פנוי ולא כזה המאכלס כבר אלקטרון אחד אם שני אורביטלים אלה נמצאים באותה רמת אנרגיה.
עיקרון האיסור של פאולי לגבי פרמיונים אחראי ליציבות הקונפיגורציה האלקטרונית באטום ומאפשר את קיומם של מבנים כימיים.
זאת כיוון שאף על פי שכל האלקטרונים באטום נמשכים לגרעין הם נשארים בקונפיגורציות שונות כך שלא יהיו שני אלקטרונים באותו מצב פיסיקלי בהתאם לעיקרון האיסור
בדרך כלל אלקטרונים באטום יעדיפו להימצא בסדר של אלקטרון אחד לאורביטל אבל קיימים מצבים שבהם אורביטל יכול להכיל שני אלקטרונים דבר זה אפשרי כי לאלקטרון יש גם את דרגת החופש של הספין כלומר האלקטרונים עשויים להימצא באותו אורביטל בספין הפוך,
מצב של שני אלקטרונים באורביטל נקרא "סינגלט" -במצב זה שני האלטרונים הם הופכיים , אם לאחד מהם נמדוד ספין x 'מעלה' אז לשני נמדוד בהכרח ספין x 'מטה' וכך בכל כיוון של הספין כלומר הספין הכולל הוא 0.
dcohen
 
הודעות: 2027
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310

סיכומי הרצאות על ידי סטודנטים - חלק ב

הודעהעל ידי dcohen » 19:56 08/01/2011


האם העולם קלאסי - ניסוי מחשבתי של מרמין


אסף שוחר
תומר כהן

הפרדוקס שמציג הניסוי המחשבתי של מרמין הוא בעצם הוכחה לכך שהעולם אינו קלאסי, כלומר, התיאור הפיזיקלי האינטואיטיבי של העולם אינו תקף.
הרעיון הכללי שעומד מאחורי הניסוי הוא סתירה בין הצפי הקלאסי למדידה מסוימת של ספין של אלקטרונים לבין המציאות הקוונטית הנדרשת לסופרפוזיציה מסויימת.

אופן הניסוי
בניסוי משוגרים אלקטרונים מנקודה מסוימת אל עבר שלושה גלאים שונים A,B,C. הגלאים הם מכשירי שטרן-גרלך שבאמצעות שדה מגנטי לא אחיד יכולים לקבוע את ספין האלקטרון.
אם נגדיר את כיוון שיגור האלקטרונים כציר z, נוכל להתמקד בשני מצבים בהם נוכל להניח כל גלאי:
1. מקביל לציר x.
2. מקביל לציר y.
בניסוי מתבצעת מדידה בשלושת הגלאים של הספין כפי שאנו מכירים במכשיר שטרן גרלך. חשוב לציין שלא קיימת מדידה עקבית, כלומר, אין גלאי מסויים שנניח במצב מסויים ויחזיר לנו ספין קבוע בכל מדידה. קיימת אי ודאות בנוגע לרכיב זה.
לדוגמא, אין דרך לקבוע שגלאי Ax יקבע ספין 1 בודאות או ספין 1- בודאות.
למרות אי הודאות לגבי הספין של כל רכיב, קיימת אפשרות לקבל ודאות לגבי קומבינציה מתמטית מסוימת של הרכיבים:
נבחר שלושה מקרים כאלה:

, ,

כפי שכבר צויין, איננו יכולים לקבוע איזה ספין נקבל בכל גלאי לחוד, אך אם נבדוק את המכפלה שנוצרת בהצלבת המדידות שלהם נווכח שכל אחד מהביטויים שווה בדיוק ל 1.
אם כן:







כעת, ניקח את שלושת המשוואות הללו. וננסה לצפות מה יתקבל עבור המדידה:



אם נכפיל את שלושת המשוואות זו בזו נקבל:



ומכיוון שתוצאת כל רכיב אם תהיה 1- או 1+, כשנכפיל אותה בעצמה חייבת להיות 1 אז:



זהו הצפי למדידה זו.


"מצב חתול"
בשלב השני מראה מרמין שצפי קלאסי זה אינו תואם את המציאות הקוונטית. הוא עושה זאת ע"י בחירת מרכיבי סופרפוזיצה ספציפיים ומעניינים מאד.
כאמור הסופרפוזיציה של האלקטרונים היא ציר z וסופרפוזיציה זו יכולה להיות מורכבת בדרכים שונות אשר יכולות להימדד בניסוי, אך קיימת בחירה אחת שבה מתמקד מרמין:



במצב זה בנויה הסופרפוזיציה של האלקטרון משני מצבים הפוכים זה לזה. ניתן לכנות מצב זה "מצב חתול" על שם החתול של שרדינגר. כשם שהחתול של שרדינגר בתוך הקופסה הוא סופרפוזיציה של חתול חי וחתול מת, כך נמצא האלקטרון בסופרפוזיצה של שני מצבים מנוגדים.
אם נבטא סופרפוזיציה זאת בנוטציות אחרות:



חישוב קוונטי של התוצאה הנדרשת
כעת נבטא את הסופרפוזיציה לפי x,y בעזרת הזהויות:









ונקבל:





כעת, ניקח את התוצאה שקיבלנו ונבדוק מה יקרה כשאלקטרון בסופרפוזיציה כזו יעבור בניסוי במצב AxBxCx.
אפשר לראות עפ"י החישוב ש AxBxCx מחוייב להיות בדיוק 1-, זאת מכיוון שתוצאת המכפלה עבור כל רכיב בסופר פוזיציה היא 1- ואין אפשרות אחרת, לכן:



סתירה
להזכירכם, הצפי שחישבנו עפ"י בדיקת שלושת המצבים הקודמים הוא שבהכרח AxBxCx=1 ואילו התוצאה שקיבלנו בחישוה הסופרפוזיציה היא שבהכרח AxBxCx=-1.

<---\/\/\/\/---->

כאן נמצאת הסתירה, או הפרדוקס אם תרצו, שלפי מרמין מוכיח שלא ניתן לתאר את העולם בצורה קלאסית. בעבור המצב שבחר מרמין קורסת הודאות שהייתה לגבי חיבור הנתונים מהמדידות השונות.

נמחיש את ממצאי ניסוי זה, אם נאמר שתיאור קלאסי של העולם ידרוש, גם במצב של אי ודאות לגבי כל רכיב בנפרד, שילוב רכיבים ידוע. (בדומה לכך שרמת הודאות לגבי מיקום של חלקיק היא ביחס הפוך לרמת הודאות לגבי התנע שלו. לא נוכל לקבוע אף אחד מהם בודאות אך נוכל לקבוע את מכפלם). ובעזרת אותה ודאות שרכשנו נוכל ליצור צפי ודאי לגבי מדידות אחרות. ובכן, דרישה זו של התיאור הלאסי אינה מתמלאת.
כך מוכיח מרמין שהעולם אינו קלאסי.



תאור מתמטי של מצב הסינגלט



נועם רימר


מערכת חלקיקים מצויה במצב שהוא סופרפוזיציה של האפשרויות הנ"ל (לדוגמא, אם נבחר בציר Z):



עיקרון אי הוודאות, מונע מאיתנו את היכולת לקבוע באופן ודאי את היערכות הספינים . אולם, אנו יודעים שקיים קשר בין הצירים ולכן יכולים להעריך, בהינתן מצב ציר מסוים, את ההסתברויות לקבלת מצבים שונים בציר אחר. (נראה חישוב מפורט בהמשך)
סכום ההסתברויות הוא בהכרח 1.
לכן,



זווג של אלקטרונים באורביטל יניב בהסתברות שווה את אחת מן התוצאות האפשריות הבאות:
לדוגמא, מבלי לפגוע בכלליות, בציר Z: (מאחר שאלקטרון הינו בעל ספין חצי)









נרצה למצוא מצב שבו הספין הכולל של מערכת חלקיקים הינו 0 באופן ודאי. ( בהסתברות 1)
נתבונן במצב הבא:



בכוון ציר Z, אכן נמדוד ספין 0.

בציר x מתקיים הקשר הבא:




לכן אם נמדוד את ערכו של הספין בכוון X, נקבל:


נשים לב לכך שישנה הסתברות שונה מ-0 למדוד ספין שאיננו 0:

למשל, יש הסתברות של 25% למדוד את המצב

באופן כללי, ההסתברות למדוד מצב ספין 0 הינה 50% בלבד!
מצב זה, אם כן, אינו מצב ספין כולל 0.

ישנו מצב יחיד שבו באופן ודאי נמדוד ספין כולל 0. מצב זה, נקרא סינגלט.



נמדוד הפעם את הספין הכולל בציר X:









בציר y מתקיים הקשר הבא:





ולכן, אם נחשב את הספין הכולל בציר Y:





כלומר, קיבלנו כי במצב הסינגלט בכל הצירים סכום הספינים הינו 0.

חשיבותו של מצב הסינגלט היא בין היתר בכך שסכום הספינים הכולל הינו 0 ללא תלות בבחירת מערכת הצירים.

לשם כך נבחן ציר אחר, :





(קל לראות כי הינם אורתוגונאליים.)

אם כן, נחשב את הספין הכולל בציר החדש:







קיבלנו, כי סינגלט אינו תלוי בבחירת מערכת צירים.


מאחר שניתן למדוד ספין כולל בכל מערכת צירים שנבחר, נרצה לדעת מהי הקורלציה בין מצבים הנמדדים בשני צירים שונים.


נתבונן בציור הבא :
.jpg

נניח שחלקיק המצוי במצב סינגלט נפרד לשני חלקיקים. האחד מקוטב בכוון Z והשני בכוון (ביחס לציר Z)
נרצה לדעת מהי הקורלציה בין הספינים הנמדדים בכוונים השונים.
מחישוב ממוצע (תוחלת):





ידוע כי




ולכן


נבדוק את התוצאה שקיבלנו בעבור זוויות מעניינות:
עבור:

נקבל כי

משמעות הדבר היא שאם ידוע ש a=1 נדע בוודאות כי b=1. (נשים לב שהדבר מתאים למבנה של זווית בת 180 מעלות)
עבור:

נקבל כי:

כלומר,אם a=1 יש סיכוי שווה לקבל b=1 או b=-1.
עבור:

נקבל כי:

והמשמעות היא כי כאשר a=1, נדע בוודאות כי b=-1. (נשים לב כי הדבר מתאים למבנה של זווית בת 0 מעלות)

לסיכום:
ראינו כי סינגלט הוא סופרפוזיציה ייחודית המבטיחה מדידת ספין 0 בכל ציר וללא תלות בבחירת מערכת הצירים.
ישנה סופרפוזיציה יחידה הנותנת סינגלט. מצב של spin 0 איננו מצב סינגלט, מפני שאין ודאות לקבלת ספין כולל 0 בכל אחד מהצירים.
כמו כן, אילו ידוע כי חלקיק נמצא במצב התחלתי של סינגלט, ומתפרק לחלקיקים הנעים בקיטוב שונה, ניתן לדעת מהי הקורלציה בין מצבי החלקיקים, (כל זאת בזכות הידיעה ששניהם נפרדו מחלקיק המצוי במצב סינגלט).




האם העולם קלאסי - אינשטיין פודולסקי רוזן ואי השיוויון של בל.


עמית רוקח
טל לויזון


הניסוי הוא ניסוי מחשבתי אשר את בסיסו הציעו לראשונה אלברט איינשטיין, בוריס פודולסקי ונתן רוזן (ראשי התיבות הם לפי סדר אלפביתי)
בשנת 1935 תחת הכותרת "האם תיאור קוונטי של המציאות יכול להחשב שלם?" בירחון Physical Review (ירחון 47) (http://prola.aps.org/pdf/PR/v47/i10/p777_1).

הניסוי המחשבתי בא להראות כי תיאור המציאות עפ"י מכניקת הקוונטים הוא אינו מדויק ובכך להראות כי מכניקת הקוונטים בעצמה היא תורה לא שלמה ומתארת באופן סטטיסטי את ידעתנו
על המערכת ולא את מצבה האמיתי . על מנת להסביר את רעיון הסטטיסטיקה של מערכת נסתכל על פרדוקס מונטי הול:
נניח ואתה בשעשועון טלויזיוני בו אתה בוחר מבין 1000 וילונות וילון אחד, מאחרי אחד הוילונות מתחבא פרס, כל שאר הוילונות ריקים.
נגיד ובחרת וילון אחד, המנחה מרים את כל שאר הוילונות (998 וילונות) חוץ מהוילון בו נמצא הפרס ושואל אם אתה רוצה להחליף את בחירתך.
ברור שבמצב זה אתה תחליף, מכיוון שהסיכוי שבחרת נכון מתוך 1000 וילונות את הוילון הנכון הוא קטן מאד.
הפרדוקס מתאר מצב בו ידיעת המשתתף היא סטטיסטית בלבד, בהתחלה היה לך סיכוי של לנחש נכון את הוילון,
כעת הסיכוי שהוילון הנכון הוא זה שהוצע להחליף בו הוא . למרות שמצב המערכת לא השתנה ידיעתך על המיקום האמיתי השתפרה בצורה משמעותית.
באנלוגיה למכניקת הקוונטים, טוענים איינשטיין, פודולסקי ורוזן כי ידיעתינו על מערכת ספציפית () היא סטטיסטית בלבד ולא מצבה האמיתי של המערכת.
ואולי ביום מן הימים תבוא תורה קלאסית המתארת את מצב המערכת באופן מדויק ולא סטטיסטי.

בניסוי בו הם הציעו מתוארת מערכת הנמצאת במצב סינגלט (מצב בו סך הספין הכולל של 2 חלקיקים הוא אפס) אשר מתפרקת, אחד החלקיקים "נשלח" לאתר A והשני לאתר B.
לפני תורת הקוונטים, שני החלקיקים שזורים שזירה קוונטית ומתוארים ע"י פונקציית גל אחת המתארת את שניהם בסופרפוזיציה של ספין up וספין down :

את החלקיקים מודדים בעזרת מכשיר שטרלן גרלך באחד מהאתרים.

בין אם היא 1 או 1- בציר בו מונח מכשיר השטרן גרלך, פונקציית הגל המתארת את 2 החלקיקים "קורסת" ובכך "נקבע" גם הספין של החלקיק השני,
על מנת לשמר את הספין הכולל במערכת . המיידיות בה "נקבע" הספין של החלקיק השני, סותרת את עקרון המקומיות של תורת היחסות הגורס כי אינה אפשרית
העברת מידע (או הפעלת פעולה) יותר מהר ממהירות האור. הטענה אותה ביצעו EPR היא שהתיאור של מכניקת הקוונטים היא תיאור סטטיסטי בלבד של ידיעתנו על
מצב החלקיקים בעת שהספין שלהם "נקבע" בזמן ההתפרקות ובכך אין סתירה לתורת היחסות.

את הניסוי מרחיב ג'ון סטיוארט בל ב- 1964 כאשר הוא מנסח את אי שיוויוני בל (http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf) ומציע צורה ניסויית
בה ניתן לבדוק אילו מן הגישות נכונה. בל מציע ניסוי חדש בו (מניחים כי העולם הוא קלאסי) לחלקיק אחד נקרא חלקיק A ולשני נקרא B את הניסוי נבצע פעמיים ונקרא לחלקיקים
את החלקיקים נמדוד בזוויות



כאשר את ספין החלקיק בכיוון מסויים אנו מניחים שקבעו סט משתנים בעת התפרקותו ממצב הסינגלט (כלומר אנו מניחים את הטענה על פיה התיאור הוא סטטיסטי בלבד) וערכי המדידה
בהתאמה הם או 1+ או 1- .
נסתכל על האינטרפטציה הסטטיסטית (בהתאם למכניקה הקלאסית) למדידת
נסתכל על המשוואה בצורה קלה יותר להבנה ונראה כי
או שערכי ו - שווים או שהם מנוגדי סימן, בכל מקרה ערך התוצאה הוא כלומר אם נעשה ממוצע לערכי המשוואה נקבל תוצאה קטנה מ-2



כעת נסתכל על התוצאה לפי תחזית קוונטית בה נחשב את הערך הממוצע של חיבור הקורלציות (כאשר חישוב הקורלציה שווה ל - ):

ונצפה מהתוצאה שתהיה קטנה מ- 2.

נעשה את החישוב:

, , ,

כלומר

מכיוון ש- (תוצאה הסותרת את ההנחה של EPR) אנו מקבלים סתירה המחייבת אותנו לזנוח את אחת ההנחות הראשונות שלנו. או שהפיסיקה הקלאסית נכונה, או שמכניקת הקוונטים.





מדידה קוונטית, החתול של שרדינגר


יאיר מזל
דור גוטלייב
שי וייסברג

החתול של שרדינגר הוא ניסוי מחשבתי בתורת הקוואנטים.
הגה אותו ארווין שרדינגר, אחד מחלוצי תורה זו ומכאן גם שמו של הניסוי.

לפי פרשנות קופנהגן של תורת הקוונטים, חלקיק נמצא במצב לא מוגדר כל עוד הוא לא נמדד, כלומר הוא נמצא במצב של סופר-פוזיציה של כל המצבים האפשריים שבהם הוא יכול להיות, עד להתערבות מערכת מדידה אשר מחייבת את החלקיק להימצא רק במצב אחד אפשרי (מצב הנקרא "קריסת פונקציית הגל"). כאשר מנסים לתרגם את מצב הסופר-פוזיציה לעולם המקרוסקופי שבו אנו חיים, קשה לראות איך זה מתקיים שכן אין אנו רואים תופעות אלו ביומיום. הניסוי המחשבתי מנסה להמחיש את מצב הסופר-פוזיציה לגבי העולם המקרוסקופי מתוך ההבנה שאם המכניקה הקוונטית נכונה לעולם המיקרוסקופי אזי היא נכונה גם לעולם המקרוסקופי.

הניסוי מתאר מצב פרדוקסאלי שבו קיים חתול הנמצא בשני מצבים מנוגדים בו זמנית: חי ומת, זאת בהקבלה למצבו של חלקיק רדיואקטיבי.
בניסוי, נתון חתול בתוך קופסא הסגורה לעולם מבחוץ, כלומר לא ניתן לצפות במתרחש בתוך הקופסא. בתוך הקופסא מציבים אטום רדיואקטיבי המשחרר אלקטרון בעת ההתפרקות, גלאי, ומנגנון הריגה המחובר לגלאי. ברגע שהגלאי מגלה התפרקות מצד היסוד הגרעיני, הוא מפעיל את מנגנון ההריגה והורג את החתול.

נסמן את מצב המערכת כ-ᴪ, את מצב האלקטרון שמשוחרר מהיסוד נסמן בתור a ( אם לא שוחרר 1, אם שוחרר 1- ), ואת מצב החתול בתור q ( אם הוא חי 1, אם הוא מת 1-)
במצב ההתחלתי, האטום טרם התפרק, כלומר קיים מצב יחיד בו יכול האטום להימצא. לכן, ניתן לסמן את מצב האלקטרון בהתחלה בתור a=1. כמו כן, גם החתול עדיין חי, ולכן ניתן לסמן
את מצבו ההתחלתי בתור q=1. מכאן נקבל את המשוואה:



לאחר זמן רב מאוד, נגיע למצב שבו היסוד הרדיואקטיבי נמצא בסיכוי של 100% שהוא התפרק. אם היסוד התפרק, הוא שיחרר אלקטרון והפעיל את מנגנון ההריגה. מכאן, נקבל את המשוואה הבאה:



אם זאת, לאחר זמן מחצית החיים של האטום, נגיע למצב שבו האטום נמצא בסיכוי של 50% שהוא התפרק, לכן, קיים סיכוי של 50% שבו האלקטרון שוחרר. כמו שכבר הזכרנו קודם, לפי תורת הקוונטים, חלקיק נמצא במצב של סופר-פוזיציה של כל המצבים האפשריים שלו (כל עוד לא התבצעה מדידה), כלומר האלקטרון המפעיל את מנגנון ההריגה נמצא גם במצב שהוא שוחרר מהיסוד הגרעיני, וגם לא שוחרר ממנו בו-זמנית.
אם נרשום זאת בצורת משוואה נקבל:



מדוע יש 2√/1 ? סכום ההסתברויות צריך להיות שווה לאחד, וקיימת הסתברות של 1 ל-2 לקיום אחד המצבים. בגלל תנאי הנרמול, מתקבל שורש שתיים.
במצב כזה של האלקטרון, מנגנון ההריגה גם הופעל וגם לא הופעל. כך שהגענו למצב שבו החתול חי ומת, בו זמנית.



אם נרצה לבדוק בעינינו את מה שקורה לחתול, נצטרך לפתוח את הקופסא. לכן, נסמן את עצמנו בתור Q(הצופה-המודד), ונכניס את עצמנו למערכת. הערך 1 יהיה אם אנחנו צופים לתוך הקופסא, כלומר מבצעים מדידה, ורואים כי החתול חי. הערך 1- יהיה אם אנחנו צופים לתוך הקופסא, ורואים כי החתול מת. הערך 0 יהיה כאשר אנחנו לא מבצעים מדידה.
אם נפתח את הקופסא בהתחלה, נקבל את המשוואה:



אם נמתין זמן רב מאוד ורק אז נפתח את הקופסא, נקבל את המשוואה:



אם נפתח את הקופסא לאחר מעבר זמן מחצית החיים, נקבל את המשוואה:



ממשוואה זו ניתן לראות כי לעולם לא נוכל להגיע למצב שבו נוכל לראות את החתול גם חי וגם מת. או שניפתח את הקופסא ונחיה בעולם בו אנו רואים את החתול מת, או שנפתח את הקופסא ונחיה בעולם בו אנו רואים את החתול חי.
פועל יוצא מזה, היא "אינטרפרטציית העולמות המרובים של מכניקת הקוונטים", הטוענת כי כאשר מתבצעת מדידה קוונטית, היקום מתפצל למספר יקומים שונים כאשר בכל יקום מתקיימת אחת מהתוצאות האפשריות.





מיחשוב קוונטי (מבוא)



ארנון בן מאיר
אבינר שרייבר

למה מחשב קוונטי
מחשב קוונטי הוא מחשב המשתמש בתכונות מכניקת הקוונטים- ויתרונו הגדול הוא ביכולת החישוב המהירה שלו- מהירה בהרבה ממחשב רגיל.
אחת הבעיות המסובכות שניתנות לפיתרון ע"י מחשב קוונטי ולא ניתנות לפיתרון ע"י מחשב רגיל היא שיטת ההצפנה RSA
אם אנו רוצים להצפין קוד - ניתן לבחור מספר N שהוא מכפלה של שני מספרים ראשוניים גדולים p,q - כלומר: N=p x q.
רק בעל הקוד יודע את שני המספרים p,q כשהמכפלה N ידועה לכולם.
כל המסרים המוצפנים נשלחים בצירוף המכפלה N, כשהמפתח הוא המספרים הראשוניים q,p
אם N מספר גדול מאד (נניח 300 ספרות), אז נדרשות פעולות חישוב בכדי למצוא את המספרים ע"י פירוק לגורמים:
נגדיר . נגדיר את r להיות הזמן מחזור של ,
אם N ראשוני אז : כלומר -
אם (כלומר לא ראשוני) אז
אם מצאנו את זמן המחזור - ניתן לדעת את הגורמים הראשוניים.
בכדי למצוא את זמן המחזור בעזרת נדרשות כמעט פעולות למספר N בעל 300 ספרות.
בעזרת מחשב קוונטי - מחזיקים את הזיכרון במצב של סופרפוזיציה של כל המספרים עד N ואז בחישוב אחד ניתן למצוא את המחזור.

רגיסטר
רגיסטר של מחשב - הזיכרון של המחשב - מורכב מביטים (bits) המסודרים אחד אחרי השני ומכילים את הערכים 0 או 1.
אם נסמן את הרגיסטר ב-X- נוכל לראותו כסדרת ביטים המסודרים כך:


ובצורה כללית, נוכל להגדיר מס' בינארי כך:


מכפלות:
מכפלה סקלרית:

מכפלה אלגברית:

רגיסטר קוונטי
ברגיסטר קוונטי יש qbits במקום bits שהמשמעות היא שכל qbit יכול להיות מקוטב UP או DOWN. כלומר: או

פעולת הדמרד
נניח כי יש לי qbit יחיד. פעולת הדמרד מתבצעת כך:
כלומר- qbit מקוטב UP יהפוך להיות מקוטב RIGHT.
כלומר- qbit מקוטב DOWN יהפוך להיות מקוטב LEFT.
שילוב שתי הנוסחאות ביחד עבור x:

באופן דומה, עבור רגיסטר בעל 2 qbits:


ובאופן כללי - פעולת הדמרד הפועלת על רגיסטר קוונטי בעל n ביטים קוונטיים:


דוגמא לפעולת הדמרד על רגיסטר בעל 3 qbits המקוטבים: <000|



למעשה, ע"י רגיסטר זה, שהיה מקוטב <000| קיבלנו סופרפוזיציה של כל המצבים האפשריים לרגיסטר בעל 3 qbits.

פורייה טרנספורם- Fourier transform
פורייה טרנספורם נותן את הספקטרום של פונקציה, ע"י מעבר מהפונקציה הנתונה, לפונקציה ליניארית המתארת את תדרי הפונקציה, כאשר תדר מוגדר ע"י .
כאשר T הוא זמן המחזור של הפונקציה.
לדוגמא: צליל מוסיקלי הוא למעשה גל קול אשר מתנדנד בתדר מסוים. פורייה טרנספורם מאפשר לרשום את הצליל לפי התדרים המרכיבים אותו.
הפונקציה מסומנת:

והיא מוגדרת כך:

כאשר


נוכל להשליך את פעולת פורייה גם למצב קוונטי-
פורייה טרנספורם קוונטי (QFT):


נק' חשובה - הפונקציה מחזירה 0 אלא אם כן "K" הוא כפולה שלמה של התדר היסודי. כך נקבל פונקציה ליניארית.

סיכום פעולות הדמרד ופרוייה טרנספורם:שתי הפעולות (H, QFT) לוקחות את הרגיסטר והופכות אותו לסופרפוזיציה של מצבי הרגיסטר.





מיחשוב קוונטי (האלגוריתם)


גיא קון
ניר גלעד

פיסיקה מודרנית – מחשוב קוונטי חלק ב'.

הארכיטורה של מחשב, הן קלאסי והן קוונטי, מיוצגת על ידי פעולה המוכתבת על ידי הנתונים ושהפלט שלה הוא מה שרוצים לחשב


classic computer architacture
תמונה

control register
cpu register
M - cpu

המחשב קלאסי מחשב את כאשר X מוכתב על ידי ה control register.
הפעלת המחשב הקלאסי כוללת את השלבים הבאים:
(א). בעת הדלקת המחשב מאפסים את הרגיסטר X ואת הרגיסטר Y מאתחלים על הערך Y=1. במילים אחרות, בהתחלה כל הביטים אפס פרט לספרת האחדות של רגיסטר Y.
(ב) משנים את מצב רגיסטר X לערך שאותו רוצים לחשב.
(ג) מפעילים את יחידת הCPU.
(ד) מסתכלים על הפלט ברגיסטר Y.
(ה) על השלבים הקודמים יש לחזור בלולאה על כל המספרים x שעבורם רוצים לחשב את הפונקציה (f(x.

העובדה שמבצעים חישוב יחיד בכל זמן נתון ועלינו לחזור על הפעולה עבור כל המספרים (פעולה ה ) היא זו שמכשילה את המחשב הקלאסי לעומת המחשב הקוונטי, מכיוון שסדרת פעולות זו אחת אחרי השנייה נמשכת זמן ארוך מאוד עבור מספר רב של מספרים ולעומת זאת במחשב הקוונטי כל אותן פעולות מתבצעות בו זמנית, לחלופין היה ניתן לבצע את הפעולות במקביל במחשב הקלאסי, אך אז נזדקק למספר מחשבים השווה למספר הפעולות אשר אותן אנו רוצים לבצע (כל מחשב יבצע פעולה אחת בו זמנית ) ועל כן הבעיה נותרת בעינה.



כעת, הופכים את המחשב הקלאסי למחשב קוונטי.
quantom computer architacture
תמונה

במחשב קוונטי אנו עובדים על Qbits אשר בניגוד לbits רגילים יכולים להיות בכל סופרפוזיציה של המצבים 0 ו-1. במילים אחרות: הרגיסטרים יכולים לאחסן בסופרפוזיציה מספר רב של ערכים. בפסקאות הבאות אנו מתארים מה קורה בכל אחד משלושת שלבי החישוב (באנלוגיה ל שלבים ב-ג-ד של המחשב הקלאסי).

המצב ההתחלתי דומה והפעולה הראשונה מקבילה לפעולה (א) של המחשב הקלאסי. :


הפעולה הבאה המתבצעת על ידי המחשב הקוונטי הינה הדמרד, באנלוגיה לפעולה (ב) של המחשב הקלאסי.
H - פעולת הדמרד כאשר n הינו מספר הביטים הקוונטים.
פעולת הדמרד מביאה את הרגיסטר למצב סופר פוזיציה של כל המצבים שיכול להחזיק, מספר התלוי במספר הביטים הקוונטים.
דוגמא עבור מחשב קוונטי בעל n=3 ביטים קוונטים:

זהו צד משמעותי שכן מחשב קלאסי לא יכול לבצע יותר מפעולה אחת בו זמנית ובמידה ונרצה לבצע מספר גדול מאוד של פעולות (השאיפה להגיע לעד כדי פעולות ), משימה זאת פשוט לא אפשרית במחשב קלאסי (נזדקק לכ מחשבים!).
הפעלת H:
במצב קלאסי אין לנו את סכום המצבים האפשרים עבור x (הפעולה המודגשת ) אלא מצב אחד בלבד.

הפעולה הבאה הפעלת הcpu פעולה אנלוגית לפעולה (ג) במחשב הקלאסי.
במחשב הקלאסי והן במחשב הקוונטי מפעלים את ה cpu. שוב, במחשב הקוונטי בלבד ישנה הסכימה של המצבים האפשריים עבור x ואילו במחשב הקלאסי מצב אחד בלבד.
הפעלת ה cpu: .
פעולת המעבד מהווה מדידה קוונטית, אינטרפרנציה, אשר בעקבותיה F (הפעולה הבאה במחשב הקוונטי) משנה את ה control register כסופר פוזיציה של k מחזוריות הפונקציה.
המדידה הקוונטית היא הגורם לכך שהאפשרויות הלא נכונות עבור k למעשה נהרגות בעת ביצוע התהליך ובסופו נשארים אך ורק עם ערכי k נכונים.


הפעולה הבאה: ביצוע FT על x, פעולה בלעדית למחשב הקוונטי.
FT - קוונטום פורייה טרנספורם .



הפעולה הבאה: מדידה פעולה אנלוגית לפעולה (ד) במחשב קלאסי.


בסוף השלב של ה FT המחשב נמצא בסופרפוזיציה של מצבים. רק ערכים מסוימים k של רגיסטר X הם בעלי הסתברות לא-אפס להיות בסופרפוזיציה. זה נקבע לפי הFT של הפונקציה (f(x.
ה FT לא מתאפס רק עבור k שהוא תדר של הפונקציה. לכן על ידי הסתכלות על רגיסטר X (מדידה) אנו נדע מה התדר הבסיסי של הפונקציה (או כפולה של התדר הבסיסי, שזה טוב באותה מידה).


המכשול היחידי העומד קיום בפני המחשב הקוונטי הינו בידודו מהסביבה. התערבות הסביבה הורסת את בעצם פוגעת בתהליך המדידה של המעבד וכתוצאה מכך לא מקבלים את התוצאות הנכונות עבור k.
















דינמיקה קוונטית: מעבר מחסומים, מתכות, מוליכים למחצה, דיודות



(הסיכום להלן לא משקף נאמנה את החומר שהוצג בהרצאה)

איליה אוסלנדר
עמית קליגר

מוליכים, מבודדים ומוליכים למחצה

המבנה הגבישי של מתכות בעלות מוליכות גבוהה כגון נחושת, אלומיניום וכסף הוא כזה שהאלקטרונים החיצוניים ביותר יכולים לנוע בחופשיות (למעשה משותפים) בין כל האטומים שבמתכת. תכונה זאת נשארת נכונה על פני טווח גדול של טמפרטורות. ברוב המתכות כל אטום מספק אלקטרוני חופשי אחד כזה כך שמספר האלקטרונים החופשיים לס"מ מעוקב הוא בסדר גודל של .
ההולכה החשמלית במקרה זה נובעת מתנועת האלקטרונים החופשיים תחת השפעת שדה חשמלי.

בניגוד למוליכים טובים, המבנה של מבודדים הוא כזה שעל פני טווח טמפרטורות גדול כמעט כל האלקטרונים נשארים
קשורים לאטומים המקוריים שלהם. כתוצאה מכך, אין הרבה מטענים שיכולים לנוע תחת השפעת שדה חשמלי. כלומר
המוליכות החשמלית של חומרים מבודדים היא זניחה. התנגדות סגולית של מבודד טוב כגון קוורץ יכולה להגיע ל- בהשוואה ל- או עבור מתכת טיפוסית.
מבחינה מסוימת, בטמפרטורת החדר, מוליכים למחצה הם גם מבודדים גרועים וגם מוליכים גרועים. ההתנגדות הסגולית שלהם ב- נמצאת בטווח של . מוליכים למחצה הם מבודדים בטמפרטורות נמוכות והופכים למוליכים טובים בטמפרטורות גבוהות. גרמניום וסיליקון הם יסודות השימושיים ביותר בתור מוליכים למחצה כיום בתחום האלקטרוניקה ומשתמשים בהם בדיודות וטרנזיסטורים.

חורים

התכונה שהופכת את המוליכים למחצה לשונים כל כך ממתכת היא שהרווח שנשאר לאחר שאלקטרון משתחרר מקשר קוולנטי מתנהג כאילו היה חלקיק חופשי עם מטען הפוך לאלקטרון ומסה שכמעט זהה לו. אלקטרון כזה שיכול להשתחרר מהאטום שלו נקרא אלקטרון ערכיות וה"חלקיק" החיובי שהוא משאיר מאחוריו נקרא חור. החור הזה טעון חיובית ומסוגל למעשה לנוע בתוך המוליך למחצה.

תמונה
שרטוט 1: חור בגביש סיליקון

ניתן לראות בתנועת החור כמעבר של יינון בין האטומים במוליך למחצה.
מודל מדויק יותר המשמש על מנת להסביר את ההתנהגות של מוליכים למחצה מדבר על רמות האנרגיה של האלקטרונים שבמל"מ.

תמונה
שרטוט 2

בגרף ניתן לראות שתי רצועות או תחומי אנרגיה: התחתון מייצג את המצב שבו האלקטרונים קשורים ולא יכולים לנוע והעליון מצב שבו יש לאלקטרונים מספיק אנרגיה כדי להשתחרר מהאטומים שלהם ולגרום למעבר זרם במל"מ. המרווח שבין התחום התחתון והעליון של האנרגיה קטן ככל שהטמפרטורה עולה, כלומר נדרשת פחות אנרגיה על מנת ליצור זרם כאשר הטמפרטורה עולה. ניסויים הראו שאפשר לאפיין את המרווח הזה כתלות בטמפרטורה ע"י הביטוי הבא:



כאשר הם קבועים התלויים בחומר הספציפי בלבד ממנו עשוי המל"מ.

דרך נוספת לשלוט ברמות האנרגיה הנ"ל היא אילוח. אילוח של מוליכים למחצה הוא תהליך שבו מוכנסים אטומים זרים לתוך המל"מ. כאשר מל"מ מסוים מאולח מספיק, רווח האנרגיה שהוזכר הנ"ל קטן. עובדה זו ניתן להסביר ע"י כך שכאשר צפיפות האטומים הזרים מספיק גדולה, פונקציות הגל של האלקטרונים שלהם מתחילות להיות חופפות אחת לשניה והדבר מאפשר להם מעבר מאטום לאטום במחיר של אנרגיה נמוכה יותר.
הנוסחה שקושרת בין צמצום רווח האנרגיה לבין צפיפות האילוח N היא:



כאשר q הוא המטען, הוא הקבוע הדיאלקטרי של המל"מ, k הוא קבוע בולצמן ו-T היא הטמפרטורה בקלווין.

כפי שכבר צויין, אלקטרונים שמקבלים מספיק אנרגיה כדי להגיע לפס ההולכה משאירים בפס הערכיות חורים שמתנהגים כמטענים חיוביים המסוגלים לזוז בפס הערכיות ולתרום לזרם החשמלי. זרם זה נתון ע"י הנוסחה



כאשר V הוא נפח המל"מ, q מטען האלקטרון ו- מהירות המטען. הסכום הוא על כל האלקטרונים שנעים בתוך פס ההולכה. ניתן לכתוב אותו ביטוי ע"י חיסור של הזרם כתוצאה מהאלקטרונים שעברו לפס ההולכה מכלל האלקטרונים שהיו בפס הערכיות:



האינדקס a מייצג כאן את כלל האלקטרונים ששייכים לפס הערכיות (a=all) והאינדקס m את האלקטרונים שחסרים בפס הערכיות כתוצאה ממעברם לפס ההולכה (m=missing).
ניתן לראות שהסכום השמאלי בביטוי הנ"ל מתאפס באופן טריוויאלי שכן אין זרם בכלל במל"מ אם אין מחסור של אלקטרונים בפס הערכיות. לכן נקבל את הביטוי הסופי עבור הזרם:



שמראה שהזרם הכולל במל"מ הוא כתוצאה ממטענים חיוביים שנמצאים בפס הערכיות, כלומר החורים.

דיודות

דיודה היא התקן שתפקידו להעביר זרם חשמלי בכיוון אחד ולהוות מבודד עבור זרם שיזרום בכיוון המנוגד. באופן כללי דיודה מורכבת משתי שכבות כאשר באחת יש נושאי מטען חיוביים ובשניה נושאי מטען שליליים. שרטוט 3 מדגים פוטנציאל חשמלי עבורו יעבור זרם בדיודה ובשרטוט 4 הפוטנציאל לא יביא להעברת זרם. האופיין הכללי של דיודת PN מתואר בשרטוט 5.

תמונה
שרטוט 3


תמונה
שרטוט 4


תמונה
שרטוט 5


החלק הירוק מתאים למצב שבשרטוט 3 כאשר ניתן לראות שממתח חיובי מסוים מתחיל לזרום זרם משמעותי בדיודה. החלק הכחול מתאים למצב שבשרטוט 4 וניתן לראות שישנו זרם חלש יחסית גם במצב זה שנקרא זרם זליגה אחורי. החלק האדום מתאר מצב של מתח שלילי הגדול ממתח כלשהו עבורו גם מתחיל לזרום זרם משמעותי בכיוון ההפוך אך מתח כזה מביא בד"כ לפגם בדיודה.
ניתן לבנות דיודה באמצעות צירוף של שני סוגים של מוליכים למחצה שנקראים P ו-N. במוליך למחצה מסוג P יש עודף של חורים כלומר מטענים חיוביים ובמוליך למחצה מסוג N יש עודף של אלקטרוני ערכיות.

טרנזיסטורים - טרנזיסטור MOSFET

טרנזיסטור הוא רכיב אלקטרוני הבנוי מחומר מוליך למחצה ומשמש למגוון מטרות. ישנן מספר דרכים לבנות טרנזיסטור אך נבחר להרחיב על המבנה של טרנזיסטור מסוג MOSFET. באופן כללי MOSFET בנוי מ3 חלקים: מוצא (Source), שער (Gate) ושפך (Drain). המוצא והשפך עשויים ממל"מ מסוג P והשער ממל"מ מסוג N או להפך.

עקרון הפעולה של הטרנזיסטור מתבסס על שינוי ריכוז המטען באמצעות יצירת הפרש פוטנציאלים על השער. כיוון שהמוצא והשפך מאולחים הרבה יותר מגוף הטרנזיסטור אין אפשרות מעבר זרם כאשר לא פועל מתח. כאשר פועל מתח על השער, חורים מגוף הטרנזיסטור נדחים מהשער. מתח הסף של הטרנזיסטור מוגדר כמתח שעבורו (ועבור מתחים גדולים ממנו) נוצרת תעלה (Inversion Layer) בין המוצא לשפך המאפשרת מעבר זרם. בשרטוט 6 רואים מצב בו המתח על השער קטן ממתח הסף ובשרטוט 7 המתח גדול ממתח הסף ומתאפשר מעבר זרם.

תמונה
שרטוט 6


תמונה
שרטוט 7




דינמיקה קוונטית: הסחת אלומה על ידי שדה מגנטי - כוח לורנץ ואפקט אהרונוב בוהם


mooli
tomwe

אפקט אהרונוב בוהם וכוח לורנץ

אפקט אהרונוב בוהם מתאר תופעה של התעקמות קרן אור. עד גילוי האפקט הנ"ל, היו קיימים מספר הסברים לתופעת התעקמות קרני חלקיקים בניהם:

- מכניקה ניטונית- שדגלה בהשפעת הכוחות המכניים
- תורת היחסות- הגורסת כי התעקמות המרחב היא הגורם
- התאבכות של הויגנס ואלקטרואופטיקה

אפקט אהרונוב בוהם הוכיח כי ההסבר הקוונטי לתופעת התעקמות קרניים הוא הנכון, לעומת התיאוריות שהיו קיימות עד כה אשר כשלו מלתארו נאמנה.

אם נתבונן באלומת חלקיקים טעונים בעוברם בשדה אלקטרומגנטי. הכח הפועל עליהם הוא כח לורנץ:

(

F-force, q-charge, E-electric field, v-velocity, B-magnetic field

המתקף על הכח יהייה:





עבור שדה הניצב לתנועת החלקיקים:



נוכל למצוא את זווית הסטייה ע"י חלוקת התנע המקורי בתנע הנוסף, כך שאם P הוא התנע המקורי:



בהתבוננת דרך "משקפיים" קוונטיות, נוכל להציג חלקיקים בתור גלים, וכך אם נבחן תבנית התאבכות קרן חלקיקים דרך שני סדקים, תתקבל התוצאה הבאה:
כאשר מדובר בשני גלים בעלי אותה פאזה מתקיימת הנוסחה הבאה:

שפירושו של השוויון הנ"ל הוא שהמרחק בין האמצע של שני הסדקים לבין ההתאבכות הבונה הראשונה הוא 0.
(מטעמי סימטריות ברור שעל מסך במרחק מסוים יתקיים שההתאבכות הבונה תיווצר בין הסדקים)
[הנוסחה לחישוב מיקום השיאים נתונה ע"י ולכן כאשר n=0 זאת אומרת השיא הראשון הסטייה שווה גם כן ל0]
לעומת זאת כאשר הסדקים בעלי מאפייני שבירה שונים, הדבר יגרום להפרש פאזה בניהם ויתקיים:



[הסימטריות נשברת.]
k-wavenumber=momentum=P, d-distance between slits, -angle between slit plane and the perpoendicular line to the ray

לפי הויגנס:



אם נציב שדה מגנטי בניצב לכיוון תנועת החלקיקים נקבל:





כך שהפאזה תלויה בשטף המגנטי ולא בשדה המגנטי עצמו. אחת המסקנות המתבקשות מתוצאה זו היא כי יכול להתקיים מצב בו עובר שטף מגנטי בתוך שטח תחום כלשהו, כאשר בחלקים מסויימים בתחום השדה מתאפס. לדוגמא, שטח המקיף סליל נושא זרם, כך שמחוץ לסליל השדה הוא אפס (בקירוב), אך דרך כל תחום שיקיף את הסליל, השטף המגנטי לא יתאפס. במצב זה, לפי התיאוריות הקלאסיות, לא נבחין בסטייה של הקרניים, ולא ניווכח בהפרש פאזה. אך לא כן לפי תורת הקוונטים החוזה כי אם השטף התחום לא מתאפס, תתקיים אותה הישות החמקמקה, בה ניווכח בעזרת תבנית ההתאבכות.

בקרב הענקים שוב ניצחה תורת הקוונטים כאשר יקיר אהרונוב ודייוויד בוהם חזו בתופעת היסט הפאזה בהשפעת השטף החשמלי, ב- 1959, ומאז נקרא האפקט על שמם.


גרביטציה, משוואות אינשטיין וקוסמולוגיה


הטנזור המטרי (להלן)
משוואות אינשטיין (לא סוכם)
הקבוע הקוסמולוגי (לא סוכם)
משוואות פרדימן ונוסחת הבל (לא סוכם)
שדה של מסה נקודתית, חורים שחורים (להלן)

ליעד ביטון
יניב וקנין
תומר נוי



הטנזור המטרי -
אנו יודעים שאלמנט אורך מיוצג במרחב האוקלידי, בקואורדינאטות קרטזיות, באופן הבא:



באופן כללי יותר, במרחב האוקלידי, אם רוצים לעבור לקואורינטות לא קרטזיות, ניתן לבצע את המעבר באופן הבא:



ניקח לדוגמא מערכת צירים בה יש זוית בין ציר x לציר y.
אז לפי משפט הקוסינוסים, נקבל:



במקרה זה:



דוגמא נוספת,היא עבור קואורדינאטות כדוריות (איתן נעבוד אך בצורה מעט שונה), נקבל :



ולבסוף:

נשים לב שעבור קואורדינטות אורתוגונליות (למשל כדוריות, קרטזיות) טנזור המטריקה הוא אלכסוני, ובכל מקרה הוא סימטרי.
בתורת היחסות אנו רואים את המרחב כארבע מימדי – מרחב-זמן. מרחב זה גם נקרא מרחב מיניקובסקי. במרחב זה, המטריקה תיראה כך:



כאשר מסמנים

כאן נעבוד במרחב-זמן עם קוארדינטות כדוריות, עם מטריקת שוורשצילד (עליה נדון מיד).





כאשר סימנו – רדיוס שוורצשילד עליו נדבר, – זמן עצמי (נגדיר מיד), – מרחק רדיאלי ממרכז החור השחור. ו-c הינה מהירות האור (מעתה נעבוד ביחידות cgs, שם c=1)

(זמן עצמי מוגדר במערכת "החלקיק" באופן הבא: . זמן זה נמדד במערכת "החלקיק")




חור שחור הוא גרם שמימי המפיק שדה גרביטציה כה חזק, ששום דבר, לרבות אור, לא יכול "לברוח" ממנו. חור שחור הינו כוכב בעל מסה מאוד גדולה ביחס לגודלו. אם למשל היינו לוקחים ו"מכווצים" את כדור הארץ לכדי גודל של גולה, השדה היה מתחזק כל כך עד שגם קרני אור לא היו מסוגלות לצאת מכדור הארץ. חור שחור נקרא בשמו מכיוון שכאמור, גם קרני אור לא מסוגלות להימלט משדה הגרוויטציה שלו. אנו נראה כי חור שחור הינו גוף שמעקם את המרחב, ומשנה את המטריקה.

מטריקת שוורצשילד מציגה פתרון למשוואת השדות של איינשטיין:
משוואת השדות של איינשטיין בcgs נתונה ע"י:
כאשר G הינו קבוע הכבידה.
לא נעמוד על מהותה של משוואה זו, אך ניתן לדמות את המטריקה לצפיפות המסה של היקום.

מהו רדיוס שוורצשילד? נניח לרגע שיש לנו טיל המשוגר לחלל מכדור הארץ. הטיל מושפע משדה הכבידה של כדור הארץ, ולכן יש מהירות מילוט מסוימת, שתאפשר לגוף "להשתחרר" משדה הכבידה. לכן נרשום:
משיקולי אנרגיה:
כאשר r הוא המרחק ממרכז הכדור, M מסת הכוכב, m – מסת הטיל.
לכן מהירות המילוט היא:

כעת נציב v=c (נסתכל כעת על הטיל כעל קרן אור. נרצה לדעת עבור איזה רדיוס, קרן האור לא תוכל להימלט):



רדיוס זה נקרא רדיוס שוורצשילד, והוא הרדיוס "הקריטי" אשר החל ממנו, גם קרן אור לא תוכל להימלט, במקרה של חור שחור. ביחידות cgs, c=1 ואז:



חור שחור יווצר אך ורק אם רדיוס הכוכב קטן מרדיוס שוורצשילד. במקרה זה, המשטח נקרא אופק האירועים של החור השחור. נשים לב כמו כן, כי כאשר פתרון שוורצשילד אינו תקף, מכיוון שהאיבר לא מוגדר עבור רדיוס כזה. לכן פתרון שוורצשילד תקף רק עבור .
עבור פתרון שוורצשילד לא תקף גם כן והתנועה היא תנועה על פי חוקי ניוטון – קפלר.

נניח כעת כי ישנו חור שחור, ואנו נמצאים ב. ניתן לשים לב כי יש שינוי בסימנים במטריקה, כלומר, מקבלים מקדם שלילי עבור ומקדם חיובי עבור , כלומר, t ו- r "מתחלפים" בכיוונים.
ניתן לראות שינוי זה על ידי קונוס אור:
על פי איינשטיין, אף גוף לא יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור. אם נשרטט את המרחב-זמן כך שהמרחב האוקלידי מסומן על ידי ציר איקס, ומימד הזמן על ידי ציר y. ביחידות cgs c=1 על כן נשרטט את הישר x=ct. ישר זה יהיה בזווית של 45 מעלות. סיבוב הישר סביב ציר הזמן יתן לנו קונוס (דרך נוספת – להסתכל על המרחב האוקלידי כעל מישור xz ולא כעל ישר x ואז ישר נקבל קונוס). נקבל משהו שנראה כך:

תמונה
קונוס האור, כאשר המישור xz מסמל את המרחב וציר הy הינו ציר הזמן. החלק החיובי של ציר הזמן מסמן את העתיד, כל נקודה מסמלת אירוע שקורה בזמן מסוים במקום מסוים.

מכיוון שהגוף לא יכול לעבור את מהירות האור, הקונוס בעצם מגביל את תנועת הגוף או החלקיק כך שחלקיק יכול לנוע אך ורק בתוך הקונוס.
כאשר גוף נמצא בטווח r>R_{s} קונוס האור ישיק לכיוון התנועה סביב הכוכב (מסלול התנועה יהיה אליפטי), וכאשר r<R_{s} כיוון קונוס האור יהיה רדיאלי, כלומר מכוון למרכז החור השחור – לכיוון r=0.

תמונה
בתמונה ניתן לראות כי מעבר לאופק האירועים / רדיוס שוורצשילד (המסומן ב- ) גוף יכול לפנות לכל כיוון, אבל רק לכיוון מעלה בציר הזמן, כלומר ל"לכיוון העתיד", ולעומת זאת, גוף אשר נמצא ברדיוס קטן מרדיוס שוורצשילד, גופים/ חלקיקים ינועו אך ורק לכיוון כלומר לכיוון הראשית (מרכז החור השחור). כל חלקיק ובפרט קרני אור בתוך הרדיוס, לא יכולות להימלט ולצאת אל מחוץ לרדיוס.

במילים אחרות, חור שחור מעוות את המרחב, כפי שניתן גם לראות במטריקת שוורצשילד.

על אף שחורים שחורים נקראים בשמם, ורווחת הטענה כי לא ניתן לראותם, (כי אור לא יכול להמלט מהם), הפיסיקאי סטיבן הוקינג הראה ב1974, שחורים שחורים פולטים אנרגיה , כלומר ניתן לשייך לחור שחור טמפרטורה ואנטרופיה. הוא הראה שחור שחור הנע בתנועה מעגלית משחרר חלקיקים. שחרור זה של חלקיקים גורם לירידה במסה של החור השחור, תהליך זה נקרא קרינת הוקינג.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------

נושאים נוספים - נא להשתמש בקישורים שבתחילת השירשור


התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד
אורן טביבי


פיזור רתרפורד
שחאדה יונס


מדוע השמיים כחולים
דניאל ומורן


הסבר של נוסחת כוח החיכוך
יובל טבנקין


כוח העילוי ואפקט מגנוס
עמיחי מרגליות וששי וזיק


צירקולציה
אלמוג ויעקוב


פולימרים, אורך של שרשרת
אלפרין אריאל
גודינצקי אלי


האפקט הפוטואלקטרי
רונן הרשמן ואביתר מור יוסף


פיזור קומפטון
עודד בצלאל ומתן אורלנד


קרינת גוף שחור
אבירם שטיינבוק, יונתן יפה, מקסים זטונסקיך


ניסוי פרנק הרץ
עופר רותם


ספין, אפקט זימן
אלון גל ואלעד מושקוביץ


סופרנוזליות
תומר ארגמן וטל זליג


סופרמוליכות
עופר ברוקס ושרית נגר


ליזרים
שירן נבעה ושני חג'בי


הדמאה מגנטית
רענן שניצר
ארז חוברה


רדיואקטיביות, שרשראות רדיואקטיביות
גיא קון יחד עם אנה חרוניך


אנטי חומר
לירון קנזי, עידן הבר, ויקיר דוד


עידוש כבידתי
דרור וינקלר וניר ירימי


הסחה לאדום גרביטציונית, רדיוס שוורשילד, חורים שחורים
ליעד ביטון ויניב וקנין
תומר נוי


קוסמולוגיה
נמרוד שרף
עמית גל


חומר אפל ואנרגיה אפלה
יניב בוגומולץ ותומר נוי


גרביטציה, גלי גרביטציה
ענת ניז'ינסקי וניקולאס טומסוב


כוכב נויטרון
וייס יניב ובני קרמר
dcohen
 
הודעות: 2027
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310

לקחים וטעויות בניהול הקורס

הודעהעל ידי dcohen » 08:55 10/01/2011

לקחים וטעויות בניהול הקורס

(1) בתחילת הסמסטר הובהר לסטודנטים שבקורסים של המחלקה לא נהוגה "חובת נוכחות" ושהאחריות על הלמידה היא על הסטודנט. כיוון שלא מדובר בקורס ליבה לא תהיה בחינה. הציון ייקבע ע"ס הגשה של עבודה. האינטרפטציה של הסטודנטים היתה "לא צריך לבוא להרצאות". הנוכחות בחלק הראשון של הסמסטר היתה של כ-30 סטודנטים מתוך כ-90. בעקבות סקר שערכתי הסטודנטים הבהירו שבשל עומס הלימודים יש "סדר עדיפויות". לאור תמונת מצב זו שונתה מדיניות הקורס וחויבה נוכחות החל מאמצע הסמסטר. אבל הנזק של מדיניות מוטעית כבר נגרם...

(2) המרצה הניח שלסטודנטים יש רקע של 5 יח"ל בגרות פיסיקה. בדיעבד התברר שהנחה זו אינה נכונה: נושאים בתיכון חופפו בשל חוסר מיקוד או בשל קיצוצים או שנשכחו כיוון שעבר זמן. בדיעבד ברור שהיה צריך להקדיש הרצאה מלאה להגדרת "מספרים קומפלקסיים", התאור הקלאסי של "מתנד", והתאור הקלאסי של "גלים". גם את הנושא של "דה ברולי" היה צריך להעביר באיטיות רבה יותר.

(3) כדאי להסתכל בשירשור המקביל "סקר מסכם = חוות דעת + דרוג נושאים". גם מהסקר וגם מתוך שיחות בעל פה, די ברור שכמחצית מהסטודנטים לא מעונינים בעומס הנוסף של קורס זה בסמסטר א, ומעדיפים לדחות את ההתודעות לפיסיקה מודרנית לשנה ב. רב הסטודנטים לא מוטרדים מכך שלא קיבלו בתיכון פרספקטיבה ראויה על פיסיקה מודרנית, וחושבים שאפשר לסגור זאת "במכה אחת" (או כמו שהם קוראים לזה "בצורה מעמיקה") בשנה השניה.

(*) אני אישית מטיל ספק בהבנה של הסטודנטים לגבי איך יש ללמד פיסיקה, ומה זה נקרא "הבנה מעמיקה". לדעתי לא הצלתי להבהיר להם את ההבדל בין אספקטים מתמטיים פורמליסטיים ואספקטים קונצפטואליים שמודגשים בקורס דוגמת "פיסיקה איכותית" (ניתן בעבר במחלקה). כדי להבין תופעה לעומק לפעמים אפשר לבצע חישוב "איכותי" שלא דורש יותר מאלגברה בסיסית (דוגמה מאלפת אפשר למצוא בחלק הראשון של סיכום אפקט קומפטון).

(**) למרות שרוב הסטודנטים מעדיפים שהקורס יבוטל, יש לציין שכ-12 סטודנטים תומכים בקביעה "הנסיון לחשוף אותי למכניקה קוונטית בסמסטר א הוא מוצלח, גם אם לא הבנתי את כל הפרטים." בהתחשב בנסיבות (הרקע החלש של רוב הסטודנטים והטעויות בניהול הקורס) אני סבור שזה ממצא די מעודד. גישתי האישית לגבי תכנית הלימודים בפיסיקה היא אליטיסטית (למען הסדר הטוב אני מדגיש שדעה זו אינה משקפת בהכרח את עמדת כל אנשי המחלקה).

(4) מועד אחרון להגשת הסיכומים היה 7 בינואר. הובהר לסטודנטים שאפשר לקבל בקלות 100 אם הם ינצלו אותי לצורך איטרציות, אבל לשם כך צריך להגיש את הסיכומים לכל המאוחר שבוע לפני. לתדהמתי חלק לא מבוטל של סטודנטים ביצעו את ההגשה ביום האחרון ובכך הזיקו לעצמם. יתכן שכדי להציל את הסטודנטים מעצמם היה צריך לקבוע יעד הגשה מוקדם יותר לגרסא הראשונה. יש פה דילמה ניצחית: האם יש להתיחס לסטודנטים כאל ילדים בבית ספר או כאל סטודנטים מבוגרים שאחראים למעשיהם.

(5) ציונים אפשר למצוא בשירשור "מבוא לפיסיקה מודרנית - מדיניות קורס (ואינפורמציה נוספת)"
dcohen
 
הודעות: 2027
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310


חזור אל מבוא לפיסיקה מודרנית

מי מחובר

משתמשים הגולשים בפורום זה: אין משתמשים רשומים ואורח אחד