לגבי סדרת קושי

מנהל: RanSharon

לגבי סדרת קושי

הודעהעל ידי benlavy » 16:33 05/05/2015

שלום,

שאלתי היא האם במצב שאני מגלה שסדרת וקטורים מתכנסת בנורמה המונהגת במרחב מסויים, ומכך אני כמובן מסיק שהיא סדרת קושי במרחב הזה ספציפית לפי הנורמה הזו:
1) אבל האם אני יכול מכך להסיק כי הסדרה היא סדרת קושי במרחב הזה גם מבחינת נורמות אחרות שקיימות במרחב הזה?(אני חושב שלא)...ובעצם סדרת קושי זוהי הגדרה שהיא ביחס למרחב ספציפי וביחס לנורמה מסוימת שמונהגת על המרחב??
2)בהמשך לשורה הרשומה למעלה עוד לפני שאלה 1, ואז מביאים מרחב מעט שונה אבל הסדרה כן קיימת במרחב הזה ושואלים אותי האם היא סדרת קושי גם במרחב הזה, איך אני יכול לדעת שהסדרה היא סדרת קושי גם במרחבים האחרים?(מה קורה במצב שבו מרחב אחד מוכל ממש בשני, ובמצב שבו מונהגת בדיוק אותה הנורמה במרחבים אחרים ושואלים לגביהם, וכו'.. מה הכללים שלי לשמירת היותה של הסדרה סדרת קושי גם למרחבים שונים ואחרים?)

מאוד מודה על העזרה!
benlavy
 
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: לגבי סדרת קושי

הודעהעל ידי mlstudy » 15:29 06/05/2015

1. אתה צודק, זה שיש סידרת וקטורים שהיא סידרת קושי בנורמה כלשהי, זה לא אומר שהיא תהיה סידרת קושי בנורמה אחרת (אפילו אם הנורמה האחרת מוגדרת באותו מרחב).
יוצא מן הכלל: אם המרחב שלנו הוא ממימד סופי, אז זה כן אומר. למעשה, מרחבים ממימד סופי (מעל הממשיים או המרוכבים) הם תמיד שלמים, ובנוסף התכנסות בנורמה אחת תגרור התכנסות בכל הנורמות האחרות.

2. אם יש סידרת קושי במרחב V לפי נורמה כלשהי, היא תישאר סידרת קושי באותה הנורמה גם במרחב גדול/קטן יותר (אם היא מוכלת גם במרחב השני).
הסיבה היא שזה שהסידרה היא סידרת קושי היא תכונה אך ורק של הסידרה עצמה והנורמה, ולא תכונה של המרחב.

לאומת זאת, אם יש סידרה במרחב כלשהי, יתכן והיא לא מתכנסת במרחב V בנורמה כלשהי אבל כן מתכנסת במרחב גדול יותר באותה הנורמה. הסיבה היא, שיתכן והוקטור הגבולי שייך למרחב גדול יותר, אך לא שייך למרחב V.
mlstudy
 
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009


חזור אל - אנליזת פורייה להנדסת חשמל

מי מחובר

משתמשים הגולשים בפורום זה: אין משתמשים רשומים ואורח אחד