מספר שאלות

[Zizo1]

1. קבוצה קומפקטית: כשאני חושב על זה יותר, קשה לי להבין את התועלת שבהגדרת קבוצה שהיא גם חסומה וגם סגורה.
- קבוצה שהיא חסומה לא תהיה בהכרח סגורה, זה ברור (למשל כדור פתוח) אבל קשה לי לחשוב על דוגמא הפוכה- קבוצה שהיא סגורה אבל לא חסומה. אז השאלה היא האם קבוצה סגורה תהיה בהכרח גם חסומה (כנראה שלא אחרת לא הייתה הגדרה לקבוצה קומפקטית...). ויש דוגמא לקבוצה סגורה שאינה חסומה?
-הגדרנו קבוצה קומפקטית עבור כמה משפטים בסיסים של החדו"א, כמו למשל שהתמונה של קבוצה קומפקטית של פונקציה רציפה מקבלת מינימום ומקסימום (מה בנוגע לפונקציה עם תמונה של יותר ממשתנה אחד?) או שהגדרנו תחום אינטגרציה כקבוצה קומפקטית. אני מבין איך הסגירות חשובה למשפטים האלה, אבל באיזה אופן מהותית החסימות במשפטים אלה?

2. בעבודה האחרונה, תרגיל 5 http://www.math.bgu.ac.il/~hassonas/physics/Sol6.pdf. הקושי האמיתי הוא בסיבה למה ניתן להשתמש במשפט גרין עבור התחום החדש שיצרנו. אני קצת מתקשה להבין את ההסבר שנכתב בפתרון, אפשר אולי בקוים כללים להסביר מהו הרעיון הכללי של ההוכחה? האם המטרה של ההוכחה היא להראות שזו תחום פשוט קשר בקירוב או משהו כזה...?

3. משהו כללי מאוד שחשבתי עליו- לפי הבנתי (תקן אותי אם אני טועה) נקודת המוצא של כל הקורס היא הגדרת הגבול, ממנו שירשרנו הוכחות כדי להוכיח דברים עבור כל מספר של מימדים, כך שנוכל לפתור גם דברים "שאי אפשר לדמיין". השאלה שלי היא כזאת- הגבול מסתמך על הגדרת המרחק והמרחק הוא נורמה. השאלה שלי היא האם כל המשפטים שהוכחנו תקפים גם עבור נורמות אחרות ובעיקר כאלה שלא מקיימות תכונות בסיסיות של נורמה כמו אי שיוויון קושי שוורץ?

המון תודה.

[avners]

1. קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את כל נקודות הגבול שלה, דוגמא לקבוצה סגורה ולא חסומה ב- היא למשל עצמה.
הצורך בכך שהקבוצה תהיה קומפקטית במשפטים האלה היא למעשה המשפט הבא: "תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית" בשילוב עם המשפט הבא: "קבוצה קומפקטית ב- היא מהצורה " ומכאן המקסימום והמינימום כי a ו-b הם חסמים של ערכי הפונקציה אבל הם גם מתקבלים.

2. הרעיון הוא כזה:
בוא נדבר על מעגל היחידה בתור המסילה ונעבור לקואורדינטות קוטביות. דיברנו על זה שהן מוגדרות בצורה חלקה על המישור חוץ מקרן שיוצאת מהראשית, הרעיון הוא "להיפתר" מהחתיכה של הקרן שעוברת בתוך המעגל שלנו. כדי שמה שיתקבל יהיה תחום אינטגרציה ושהשפה תהיה מסילה, תדמיין שזה כמו להוריד פרוסת עוגה+עיגול קטן סביב הראשית. על התחום הנותר מותר להפעיל את משפט גרין (הוא אכן תחום, עם שפה שהיא מסילה והתבנית תהיה חלקה ביחס לקואורדינטות הקוטביות). הרעיון הוא להראות שההשפעה של מה שהורדנו תלוי בגודל של הפרוסה ושכשהיא שואפת לאפס אז התרומה שלה שואפת לאפס.

3. למעשה כל הגדרת הגבול מתבססת על מושג שלא בדיוק הגדרנו שהוא "הטופולוגיה". כששואלים מה זאת הטופולוגיה של זה בעצם כמו לשאול מי הן הקבוצות הפתוחות שלך. במקרה שלנו הטופולוגיה נוצרת מהמטריקה, יש משפט שאומר שכל המטריקות על יוצרות את אותה הטופולוגיה ולכן למעשה מספיק בשבילנו ללמוד את המטריקה האוקלידית הרגילה.

[Zizo1]

1. אז זאת גם הסיבה שלפיה הגדרנו את תחום האינטגרציה כקבוצה קומפקטית- כך שמרגע שהפונקציה תהיה רציפה אז האינטרגציה תהיה סכימה על קבוצה שהיא קומפקטית ולכן האינטגרל יהיה קיים?

2. ככה בדיוק הוכחנו את חוק אמפר בפיסיקה 2 .

(הוא אכן תחום, עם שפה שהיא מסילה והתבנית תהיה חלקה ביחס לקואורדינטות הקוטביות).

התנאי למשפט גרין הוא לא שהתחום יהיה ניתן לפרמטריזציה ע"י מלבן, ולכן תהיה קיימת "פונקציה קדומה" (כי גורר )? זה שהתבנית חלקה מוכיח שזהו תחום פשוט קשר (אין "חורים")?

3. זה בדיוק היה "החשש" שלי, מה יקרה שנגיע למקומות שלא מתנהגים יפה כמו או כמו שכתוב בערך על מטריקה בויקיפדיה: "קיימים מקרים במתמטיקה ובפיזיקה שבהם נחוצה הגדרת "מרחק" אשר אינו מקיים חלק מהגדרות המטריקה. לדוגמה בתורת היחסות, המרחב-זמן הוא בעל מטריקה מוכללת, אשר שונה מהמטריקה המתמטית." טוב אני מניח שכל דבר בשעתו...

[avners]

1. זו הסיבה העיקרית לזה שאלה התחומים עליהם אנחנו עושים אינטגרציה.
2. יש כמה ניסוחים שונים למשפט גרין, זה אחד מהם. זה שתבנית היא חלקה לא מוכיח כלום על התחום שלה, דוגמא: תבנית ה-0 חלקה מעל כל קבוצה, מכוערת ככל שתרצה.
3. אני חושב שרוב התלמידים יסכימו שהקורס גם ככה די קשה ולא צריך לסבך את הדברים. מה שקשור ליריעות רימניות (תורת היחסות בשבילכם) הוא כבר סיפור הרבה יותר מסובך (בין היתר כי זו לא בדיוק מטריקה/נורמה אלה מה שנקרא פסואדו-מטריקה). כל דבר בשעתו.

[shaiwis]

נושא לא קשור, אבל לא חשבתי שהוא דורש נושא חדש. רק לסגור פינה.
האם כל תבנית דיפרנציאלית מדוייקת היא סגורה, וההיפך?

[AssafHasson]

לשאלה בנוגע למשט גרין: המלצתי היא להשתמש במשפט סטוקס הכללי שלמדנו. במקרה זה מספיק לבדוק שתחום האינטגרציה הוא יריעה 2-מימדית עם שפה, ובד"כ זה פשוט יותר מאשר לבדוק שהתנאים של משפט גרין מתקיימים.

בנוגע לשאלה על תבניות סגורות ומדויקות: תבנית מדויקת היא סגורה (וזה פשוט מאד = ראו גם הרשימות באתר בנוגע לתבניות דיפרנציאליות להוכחה). הכיוון ההפוך אינו נכון באופן כללי, אלא רק תחת ההנחה שהתחום של התבנית הוא פשוט קשר (מושג שלא למדנו בכיתה). ראינו שעבור מלבן, למשל, זה שקול - אבל תרגיל 6, שאלה 5 מוכיח שזה לא המצב תמיד (כי לתבנית מדויקת האינטגרל על לולאה הוא תמיד 0).