שאלה 2 סעיף 4

[shaiwis]

הדוגמא שניתנת שם לא ברורה לי.
ממה שהבנתי, אתה אומר ש-a היא נקודת קיצון מקומית תחת אילוץ, אך היא לא בהכרח נקודת קיצון של הפונקציה.
זוהי משמעות של משפט לגרנז', אז אני לא מבין איך הדוגמא מראה ש- הוא תנאי חיוני לקיום המשפט.

תודה

[shaiwis]

הכוונה היא כמובן שאלה 2 בבוחן, ואני מדבר על הדוגמא שנתנת בפתרון המפורסם.

[AssafHasson]

ממה שכתבת אני לא מבין מה השאלה. אני אנסה להבהיר בכל זאת. המשפט על כופלי לגרנז' אומר שאם נתון שדה סקלרי ונתונה פונקציה , אזי תחת הנחות מסוימות, תנאי הכרחי לכך שנקודה היא נקודת קיצון של תחת האילוץ ש- הוא שהמרחב המשיק לפונקציה בנקודה יהיה מוכל במרחב המשיק לקו הגובה .

בדוגמה שהבאתי מצאתי נקודת מקסימום של תחת אילוץ, ,כך שהמסקנה של המשפט אינה מתקיימת. ביתר פירוט: אם היא מקסימום גלובלי של ו-, אז . ברור גם ש- היא (באופן טריביאלי) מקסימום של תחת האילוץ (כי זו הנקודה היחידה המקיימת את האילוץ). אילו התקיימה המסקנה של המשפט על כופלי לגרנז' במקרה הנוכחי, היינו צריכים לקבל ש-, אבל אין שום סיבה שזה יקרה.

[shaiwis]

מדוע צריך להתקיים? הרי המשפט מספק לנו נקודת קיצון אך ורק תחת אילוץ, ולא בהכרח נקודת קיצון אמיתית של הפונקציה, לא? או שאני מתבלבל פה...

[AssafHasson]

אילו התקיים המשפט על כופלי לגרנז' במקרה שלנו היה צריך להתקיים (מכיוון שהנקודה היא מקסימום גלובלי של ):
.