פורומים באוניברסיטת בן-גוריון בנגב

הדוגמא שניתנת שם לא ברורה לי.
ממה שהבנתי, אתה אומר ש-a היא נקודת קיצון מקומית תחת אילוץ, אך היא לא בהכרח נקודת קיצון של הפונקציה.
זוהי משמעות של משפט לגרנז', אז אני לא מבין איך הדוגמא מראה ש- הוא תנאי חיוני לקיום המשפט.

תודה

הכוונה היא כמובן שאלה 2 בבוחן, ואני מדבר על הדוגמא שנתנת בפתרון המפורסם.

ממה שכתבת אני לא מבין מה השאלה. אני אנסה להבהיר בכל זאת. המשפט על כופלי לגרנז' אומר שאם נתון שדה סקלרי ונתונה פונקציה , אזי תחת הנחות מסוימות, תנאי הכרחי לכך שנקודה היא נקודת קיצון של תחת האילוץ ש- הוא שהמרחב המשיק לפונקציה בנקודה יהיה מוכל במרחב המשיק לקו הגובה .

בדוגמה שהבאתי מצאתי נקודת מקסימום של תחת אילוץ, ,כך שהמסקנה של המשפט אינה מתקיימת. ביתר פירוט: אם היא מקסימום גלובלי של ו-, אז . ברור גם ש- היא (באופן טריביאלי) מקסימום של תחת האילוץ (כי זו הנקודה היחידה המקיימת את האילוץ). אילו התקיימה המסקנה של המשפט על כופלי לגרנז' במקרה הנוכחי, היינו צריכים לקבל ש-, אבל אין שום סיבה שזה יקרה.

מדוע צריך להתקיים? הרי המשפט מספק לנו נקודת קיצון אך ורק תחת אילוץ, ולא בהכרח נקודת קיצון אמיתית של הפונקציה, לא? או שאני מתבלבל פה...

אילו התקיים המשפט על כופלי לגרנז' במקרה שלנו היה צריך להתקיים (מכיוון שהנקודה היא מקסימום גלובלי של ):
.