עמוד 1 מתוך 1

משוואה דיפרנציאלית

הודעהפורסם: 16:01 29/12/2017
על ידי dan2019
היי, תוכלו בבקשה להסביר לנו בכמה שלבים כיצד לפתור משוואה דיפרנציאלית?

תודה

Re: משוואה דיפרנציאלית

הודעהפורסם: 11:09 30/12/2017
על ידי nagaryo
שלום
הנה עיקרי החומר הנלמד בתרגול:

פתרון משוואה דיפרנציאלית
א.
כאשר אתם מקבלים משוואה דיפרנציאלית (עם נגזרת) מהצורה נגזרת של גודל שווה לאותו הגודל כפול קבוע:

כאשר זה קבוע כלשהו וכאן בחרנו נגזרת בזמן שבקיצור מסמנים כך:
הפתרון שלה הוא:

כלומר דעיכה אקספוננצילית (אם חיובי).ו-A קבוע שניתן למצוא מתנאי ההתחלה הנתון. למשל אם בt=0 הפונקציה שווה ל-2:


ב.
כאשר אתם מקבלים משוואה דיפרנציאלית מהצורה:

כאשר ו-b הם קבועים כלשהם
הפתרון שלה הוא:

כאשר A קבוע שניתן למצוא מתנאי התחלה

איך ידעת שזה הפתרון?
ניחשתי: איזה פונקציה כשאני גוזר אותה אני מקבל את עצמה? אקספוננט!
לכן ניחשתי פתרון מהצורה:

והצבתי חזרה במשוואה הדיפרנציאלית. למשל ב..
במקרה זה (חלק א) גיליתי ש ו- . כדי שזה יהיה פתרון מתאים.


איך נוצרת משוואה דיפרנציאלית במעגלים החשמלים?
כאשר ישנם שני נעלמים (כאן I-הזרם ו-q המטען) ומשוואה אחת וכאשר יש קשר בין הנעלמים מהצורה של נגזרת ( כאן )
קחו למשל מעגל חשמלי פשוט עם כא"מ נגד וקבל, משוואת המתחים במעגל:
(משוואה 1) :

אם נציב במקום I הזרם את הנגזרת נקבל:


נקבל משוואה דיפרנציאלית למטען q, כלומר נגזרת של המטען שווה לקבוע כפול המטען + עוד קבוע
שפתרונה כפי שראינו בהתחלה:

את A נמצא לפי תנאי התחלה למטען. למשל נתון שבt=0 המטען הוא

או
ולכן (משוואה 2):


דרך אחרת נגזור את משוואה 1:


שפתרונה:

את הקבוע A נמצא על-ידי הצבת תנאי התחלה לזרם:
למשל, הזרם בt=0 או המטען בt=0. אם נתון המטען בהתחלה אז נוכל לקשר לזרם בהתחלה לפי משוואה 1.

ולכן:
והפתרון הוא (משוואה 3):

אם מצאנו את הפתרון למטען ונדרש למעשה הפתרון של הזרם ולהפך, מה עושים?

אם נגזור את הפתרון של המטעו נקבל את הזרם:

בדקו שאם את גוזרים את משוואה 2 אתם מקבלים את 3
ולהפך, אם נבצע אינטגרציה לפתרון של הזרם נקבל את המטען. בדקו.

מה המשמעות של ?

היא מופיעה בתוך האספוננט (היא חזקה ביחד עם t הזמן) ולכן אסור לחזקה להיות בעלת יחידות. לכן היא חייבת להיות בעלת יחידות של אחד חלקי זמן.
כלומר זהו קבוע הדעיכה והוא מתאר לי כמה מהר הפונקציה תדעך, או במקרה זה הזרם/המטען.