תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי kramerbenny » 22:30 30/06/2011

ישנו הקשר:

וראינו שבהנתן פונקציה F במקרה זה מוגדרת להיות

לעומת זאת באינטגרל משטחי:

אנו מגדירים עבור אותה הפונקציה F.

כיצד ניתן להבין את השוני בהגדרה של התבנית הדיפרנציאלית?

כמו כן, כיצד נכנסים להגדרות אלו ה'scaling factors' (איך ממירים פונקציה בקואורדינטות גליליות או כדוריות לתבנית)?

תודה מראש,
בני
kramerbenny
 
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי AssafHasson » 23:37 30/06/2011

בנוגע ל"מילון" בין שדה וקטורי לתבנית דיפרנציאלית - זה מופיע בצורה קצת לא ברורה בשיפרין (בפרק 8, אחרי ההוכחה של משפט סטוקס הכללי). זה מופיע באופן (קצת יותר ברור, אני מקווה) ברשימות שפרסמתי באתר (בקובץ על הקשר בין משפטי סטוקס וגאוס הקלאסים למשפט שלמדנו בכיתה). באופן עקרוני התרגום הוא על פי ההקשר: אם אנחנו מעונינים באינטגרל של מסילה, אנחנו צריכים 1-תבנית, ולכן השדה הוקטורי יתורגם ל-1-תבנית כפי שכתבת.

אם אנחנו מעונינים באינטגרל משטחי, עוברים לאותה 1-תבנית, אבל אז משתמשים בטריק: משתמשים במכפלה וקטורית. את מכפלת הטריז במרחב התלת מימדי זיהינו מלכתחילה עם המכפלה הוקטורית, לכן את מכפלת הטריז dx_2\wedge\dx_3 אנחנו מזהים עם dx_1 וכן הלאה. באופן הזה ניתן להפוך את ה-1-תבנית שקיבלנו ל-2 תבנית שכתבת.
AssafHasson
 
הודעות: 36
הצטרף: 18:35 30/06/2011

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי kramerbenny » 00:12 01/07/2011

אוקי,
ואיפה נכנס לעניין היעקוביאן?
עשיתי את החישוב עבור קואודינטות כדוריות ל וקיבלתי:
עבור חד תבנית -
ועבור 2-תבנית -

האם לפי תוצאה זו ניתן לומר שבקואורדינטות גליליות נקבל
עבור חד תבנית -
ועבור 2-תבנית -
או שמא הקשר מורכב יותר?

*בכדוריות, היא הזווית עם הכיוון החיובי של ציר z ו הזווית עם הכיוון החיובי של ציר x במישור [x-y]... שמתי לב שבשיפרין ההגדרה שונה.
kramerbenny
 
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי AssafHasson » 12:51 01/07/2011

אני לא בטוח שהבנתי את השאלה. התרגום אמור להיות כזה שאם תחשב אינטגרלים תקבל תוצאה נכונה. אבל אז השאלה היא מה הכוונה כשאומרים שהשדה הוקטורי נתון בקו-אורדינטות קוטביות - כי אז באילו קו-אורדינטות נתון לך המשטח (או העקום) עליו אתה רוצה לעשות אינטגרציה?
AssafHasson
 
הודעות: 36
הצטרף: 18:35 30/06/2011

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי kramerbenny » 20:31 01/07/2011

אני תחת הרושם שהמשטח עליו ברצוני לבצע אינטגרציה לא משפיע על השדה במרחב או התבנית הדיפרנציאלית שנגזרת ממנו...

כלומר, בהנתן תבנית דיפרנציאלית ומשטח\עקום בקואורדינטות כלשהם, לא בהכרך זהות, נוכל לפתור את האינטגרל בהנתן הקשר בין הקואורדינטות ע"י תרגום האיברים למערכת יחידה כזו או אחרת (זה החלק הפחות מסובך)

עד כה כדי לכתוב תבנית בקואורדינטות גליליות\קוטביות\כדוריות הייתי ממיר את הפונקציה לקרטזיות, כותב את התבנית הדיפרנציאלית בקואורדינטות קרטזיות, וממיר בחזרה. השאלה שלי היא האם ניתן לקבל נוסחא להמרה של פונקציה לתבנית דיפרנציאלית בקואורדינטות כלשהן ובכך לדלג על התהליך המיותר הנ"ל?

kramerbenny
 
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי AssafHasson » 21:56 01/07/2011

עדיין לא ברור לי בדיוק לאן השאלה מכוונת. בוא נחשוב על השאלה בצורה יותר מופשטת, ואז אני מקווה שהדברים דווקא יתבהרו.

נניח שאנחנו במרחב דו-מימדי, שנקרא לו מרחב [. ונתון לנו שדה וקטורי במרחב הזה. אם נרצה לכתוב את השדה הוקטורי הזה כ-1-תבנית נקבל: . כמובן, ששום דבר לא ישתנה אם עכשיו במקום לקרוא למרחב שלנו מרחב [ נקרא לו מרחב (והשדה הוקטורי נתון לנו עם המשתנים הללו). לכן, במובן הזה, אני לא מבין את השאלה שלך.
AssafHasson
 
הודעות: 36
הצטרף: 18:35 30/06/2011

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי kramerbenny » 10:25 02/07/2011

מה שמתשתנה זה 'scaling factors' ב כאשר הן קואורדינטות קוטביות במובן ש ולא
,
מה שגורם לאלמנט שטח dA בקואורדינטות האלו לקבל רכיב נוסף של r שהוא היעקוביאן במערכת.

אם אתה טוען שאין לעניין השפעה אז התוצאה שקיבלתי בקואורדינטות כדוריות מבלבלת למדי, כי (למרות שקל לראות שהיא זהה לזאת בקואורדינטות הקרטזיות) לפי מה שאמרת היה ניתן לצפות שנקבל:
kramerbenny
 
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי shaiwis » 10:59 02/07/2011

אני חושב שאני יודע למה אתה מתכוון. ברגע שאתה מבצע שינוי משתנה אז צריך לכפול ביעקוביאן של הדיפרנציאל של פונקציית המעבר בין המשתנים. זה מה שאתה מדבר עליו?
shaiwis
 
הודעות: 42
הצטרף: 23:16 13/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי eligudi » 11:18 02/07/2011

לא, אני חושב שהוא התכוון לתהליך הבא:
כל פעם שאנחנו מקבלים תבנית מהצורה ונוח לנו למשל לעבוד בקואורדינטות גליליות, כלומר
אז צריך לברר איך מתרגמים את dx, dy, dz ואז לעשות את הטריז ביניהם כדי בסופו של דבר לקבל את מהצורה הנכונה בקואורדינטות גליליות. התהליך הזה דיי ארוך והוא מתכון לטעויות חישוביות, האם יש דרך לקצר אותו?
eligudi
 
הודעות: 26
הצטרף: 19:50 12/10/2010

Re: תבנית דיפרנציאלית לעומת פונקציה

הודעהעל ידי AssafHasson » 18:41 02/07/2011

טוב, אולי עכשיו אני מבין למה אתה מתכוון (פחות או יותר). מה שאני מבין הוא הדבר הבא: תבניות דיפרנציאליות אמורות לקודד בתוכן את "יחידות האינטגרציה" (יחידת נפח אינפיניטסימלית, אם תרצה). עכשיו אתה אומר, או.קיי, יש לי תחום שנתון בקו-אורדינטות של . עכשיו אתה אומר - אבל אני יודע שאלה לא סתם קו-אורדינטות, ברקע יש שינוי משתנה, וכשאני מחשב את השטח בקו-ארדינטות של תחום אני בעצרם רוצה לדעת את השטח של התמונה ההפוכה של תחת אותו שינוי משתנה. בשביל זה את עודה אינטגרציה לא אלא . ועכשיו אתה שואל, אם אני רוצה באופן דומה לחשב אינטגרל של שדה וקטורי לאורך מסילה, או שטף דרך משטח או משהו כזה - מהי התבנית שאני אמור לעבוד איתה. במקרה הזה, אני חושב שמה שכתבת נכון (אם כי לא בדקתי).
AssafHasson
 
הודעות: 36
הצטרף: 18:35 30/06/2011


חזור אל - חדו"א של פונקציות מרובות משתנים

מי מחובר

משתמשים הגולשים בפורום זה: אין משתמשים רשומים ו 0 אורחים