פורומים באוניברסיטת בן-גוריון בנגב

החץ לא חד כיווני, הוא פשוט לא קיים.
שייכות למרחב \(L^{\infty}_{PC}([a,b])\) אומר שהפונקציה חסומה בקטע \([a,b]\).
זה לא אומר שהיא רציפה במידה שווה בקטע.

לא להתבלבל בין רציפות במ"ש להתכנסות במ"ש. אם יש סידרת פונקציות ב\(L^{\infty}_{PC}([a,b])\) שמתכנסת בנורמת \(L^{\infty}\), אז ההתכנסות היא התכנסות במ"ש.

במובן מסויים. תסתכל בתרגול 11 כדי לראות באיזו מובן מתקיים השוויון הזה, ובאילו תנאים.

אפשר לעבוד עם קירוב יחידה שהיא סידרת פונקציות או משפחת פונקציות.
אם זו סידרה אז האינדקס שלה הוא טבעי. אם זו משפחה, אז האינדקס שלה לאו דווקא טבעי. זה לא משנה דבר, רק לצורך נוחות.

לא.
מה שזה אומר, שאתם לא צריכים לדעת מעבר למה שנלמד בהרצאות.

אבל זה לא אומר שאי אפשר לשאול על זה שאלות שלא דורשות ידע נוסף.
לדוגמא, שנה שעברה לפלס גם לא היה בחומר, והשאלה הראשונה ממועד א' מאוד מזכירה את לפלס (למרות שאין צורך לדעת לפלס כדי לפתור אותה).

1. \int_0^\delta K_n(x)dx לא שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף (עבור \delta חיובי וקבוע). למעשה האינטגרל הזה שואף לחצי כאשר n שואף לאינסוף. 2. בשום שלב לא השאיפו את \delta לאפס. 3. \int_{-\delta}^{\delta} K_n(x)dx לא שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף (עבור \delta חיובי וקבוע). למעשה האינטגרל הזה שואף ל1 כאש...

צודק.

כן, זו ההגדרה של התכנסות נקודתית.

זה נכון גם לגבי התכנסות במ"ש, כי היא גוררת התכנסות נקודתית.

לא. אולי התכוונתי לומר ש "אז הפונקציה שייכת למרחב \(L^p_{PC}([a,b])\)"

א. יש מספר סוגי התכנסויות של סידרת/טורי פונקציות. התכנסות נקודתית, התכנסות במ"ש והתכנסות בנורמה. התכנסות נקודתית אומרת שאם אני מקבע נקודה מסויימת ומסתכל על סידרת/טור המספרים המתקבל, הוא יתכנס לפונקציה הגבולית באותה נקודה. * אם יש התכנסות במ"ש לפונקציה כלשהי אז יש בהכרח גם התכנסות נקודתית אליה. בתרגי...

לא מצאתי את ההערה המדוברת. אשמח אם תוסיף תמונה.

נכון.
יש דרך נוספת לראות את זה. מכיוון שf-g רציפה אז:
\(f(x)-g(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+} \frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left(f(t)-g(t)\right)dt\)
אבל מכיוון שf-g=0 כמעט לכל t אז האינטגרל הנ"ל מתאפס, ולכן:
\(f(x)-g(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+} \frac{0}{2\epsilon}=0\)

1. מתוך זה שf רציפה ו f' רציפה למקוטעין מקבלים ש f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)dt . מתוך זה שf' בתוך L1 מקבלים ש \int_0^\infty f'(t)dt מתכנס, ולכן קיים הגבול \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L . מתוך זה שf בL1 מקבלים L חייב להיות אפס. מסקנה: מתוך הדרישות שf ונגזרתה בL1PC, ושf רציפה מקבלים אוטומטית ש f שואפת ...

כן. לכל פונקציה בL1 יש התמרת פורייה. גם לכל פונקציה בL2 יש התמרת פורייה, אולם ההגדרה שלה היא לא בעזרת אינטגרל (כמו ההגדרה בL1), והיא מוגדרת כמעט בכל נקודה (בשונה מהתמרת פורייה בL1 שמוגדרת בכל נקודה).

פונקציה f נמצאת בL1 זה אומר ש \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty , ולכן (מחדו"א 2) האינטגרל \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx מתכנס, ולכן גם האינטגרל \int_{0}^{\infty}f(x)dx מתכנס. מכאן שהזנב של האינטגרל \int_{M}^{\infty}f(x)dx שואף ל0 כאשר M שואף לאינסוף (משפט מחדו"א 2). באותה דרך: \int_{-\infty}^{...

1. המשפט אכן נכון והניסוח מדוייק.
2. נכון.
3. נכון.