שאלה בנוגע לאנרגיה של משרן

[pritalam]

שלום רב,

אשמח לעזרה בנוגע לשאלה 81 בדף השאלות האמריקאיות ששרית פרסמה (נמצא באתר שלכם).

איך מגיעים לתשובה?

תודה

[sara]

אנרגיה האגורה בסליל/משרן:
\(U_L=\frac12 LI^2\)

קצב שינוי אנרגיה זו, היא פשוט גזירה לפי הזמן:
\(\frac{dU_L}{dt}=LI\frac{dI}{dt}\)

בדף הנוסחאות מופיעות לכן פריקה וטעינה של סליל (וגם של קבל) ובמקרה של המעגל המתואר זה בדיוק המצב.
אפשר למצוא זאת גם בדף הבא: http://mass.bgu.ac.il/npdf.php?fn=0-f40 ... a47660.pdf

כל שנותר הוא להציב ולקבל ביטוי מתמטי עבור קצב האנרגיה.
כעת, כדי למצוא את המקסימום יש לגזור לפי הזמן, להשוות לאפס (כמו שהיינו עושים בתיכון) ולמצוא למה שווה t.

[ddani]

להגיע לביטוי של האנרגייה דרך ההספק:
\(P=VI\)

מתח של משרן:
\(V_L= \dot I L\)

אנרגייה מתוך הגדרה של הספק:
\(U=\int_0 ^t V I dt=\int_0 ^t \dot I ILdt\)
טריק מתמטי:
\(\frac{d}{dt} (I^2)= 2I \dot I\)
מכאן:
\(U=\int_0 ^t \dot I ILdt=\frac{1}{2}\int_0 ^t \frac{d}{dt}(I^2)Ldt\)

והופה האינטגרל מתבטל ומבקלים את הביטוי ששרית ציינה

\(U=\frac{1}{2}LI^2(t)\)

דרך נוספת זה לפי חישוב האנרגייה הכוללת במערכת אבל בשביל זה צריכים פרמטרים שמבטאים את השדה המגנטי:
\(U=\frac{1}{2\mu 0}\int_{all\ space} B^2 dv\)