דף 1 מתוך 1

עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 23:44 27/12/2014
על ידי idanpal
היי,
בנוגע לסעיף ב'.
האם כל פונקציה שאינה מחזורית אפשר להמשיך אותה כאילו הייתה מחזורית ולמצוא לה טור פורייה? מה התנאים לכך בכלל? ואם כבר ביצעתי את ההמרה, האם יש חלק מהטור שעליי ל"התעלם" ממנו כיוון שהוא לא היה קיים בפונקציה המקורית?
והאם יש דרך נוספת לפתרון הבעיה ללא שימוש בהתמרת פורייה?
הנושא הזה לא עלה באף תרגול (למדנו רק על מקרה שהפונקציה כבר מחזורית), וגם בקורס אנליזת פורייה שאנו לומדים במקביל לא בדיוק הסבירו את הנקודה הזו, ולעומת זאת הנושא הזה בחומר לבוחן ביום שישי הקרוב.

תודה מראש

Re: עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 17:28 28/12/2014
על ידי TalTheWhite
התשובה לשאלה שלך היא לא פשוטה, אבל מכיוון שנאה דרשת, נאה תקבל...

לא! טור פורייה הוא טור שבנוי לפונקציות מחזוריות, וניתן ליישם אותו רק שם. המשמעות של פירוק פונקציה לרכיבים של טור פורייה היא, שאח"כ ניתן לבנות בחזרה את הפונקציה באופן הבא:
\(f(x)=\Sigma_nc_n\sin(k_nx)\).
במקרה הזה, פונקציות הסינוס הן פונקציות שקיימות בכל המרחב (ממינוס אינסוף עד אינסוף), ולכן לא משנה מה תרכיב מהן, זה יצא מחזורי בסופו של דבר בכל המרחב.

במקרה של בור פוטנציאל אינסופי יש לנו פונקציות עצמיות מיוחדות ששוות לאפס בכל המרחב למעט אותו תחום קטן של הבור ששם הן שוות לפונקציית סינוס. במקרה הזה, ניתן להרכיב כל פונקציה אפשרית בתוך הבור בצורה כזו שהיא תהיה שווה לאפס בקצצות הבור ומחוצה לו. במקרה המיוחד הזה, ניתן לבצע טרנספורם פורייה רגיל ולקבל את המקדמים. בניגוד למקדמים בטור פורייה רגיל ששם הם מייצגים פונקציית סינוס בכל המרחב, פה המקדמים הם של פונקציות סינוס ששות לאפס ברוב המרחב למעט הבור.

Re: עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 19:27 28/12/2014
על ידי Soovik1990
ושאלה נוספת- למה השמיטו את מקדם הנרמול (שורש של 2 חלקי a) כשחישבו את bn? הרי אפשר לפתח פונקציה לטור פורייה רק ע"י שימוש בבסיס אורתונורמלי, ולכן מקדם הנרמול הכרחי.

Re: עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 10:32 29/12/2014
על ידי TalTheWhite
עניתי על זה באחת השאלות הקודמות, תבדוק.
זה קשור לצורה שבה אתה מגדיר את הטור.

Re: עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 18:56 29/12/2014
על ידי idanpal
היי טל,

תודה על המענה, אולם עדיין הנושא לא ברור לי.
בתשובות המשיכו את הפונקציה כך שהיא תהיה מחזורית בכל המרחב (לא השתמשו בה עם אפסים בקצוות).
אז מדוע המקדמים פה הם של פונקציות סינוס ששוות לאפס ברוב המרחב למעט הבור?

ושאלה נוספת -
האם יש אפשרות להפנות את הנושא אל מרצה הקורס?
לא עברנו על מצב כזה בתרגולים (רק על טרנספורם פשוט שמבצעים על פונקציה מחזורית נתונה), וגם בקורס אנליזת פורייה שאנו לומדים במקביל לא הגענו עדיין לנושא זה ולא למדנו מתי מותר ומתי אסור.
למרות זאת, הנושא עדיין בחומר לבוחן...האם בכל זאת אנחנו אמורים לדעת את זה?

תודה מראש

Re: עבודה 6 שאלה 1

נשלח: 19:39 29/12/2014
על ידי alonyan
הפתרון שמפורסם מסורבל להפליא. אני ממליץ לנסות לפתור את התרגילים בעצמכם במקום לנסות לפענח את הפתרונות.

הנה דרך קצת יותר אינטיליגנטית לפתרון:

התבקשתם למצוא את ההסתברות למדידת האנרגיות \(E_1, E_2...\).

אם נציג את הפונקציה הנתונה כסכום של פונקציות עצמיות \(|\psi(t=0)\rangle =\sum\limits_{i=1}^{\infty}c_i |\varphi_i\rangle\) ההסתברות הזו נתונה ע״י \(P_n =|\langle \varphi_n|\psi(t=0)\rangle|^2 = |c_n|^2\).


רק בשביל תזכורת, המכפלה הפנימית מוגדרת ככה:

\(c_n = \langle \varphi_n|\psi(t=0)\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi_n^*(x)\psi(x,t=0)dx\)

מכאן החישוב הוא טכני.