מטריצות סיבוב של ספין

שלח תגובה
adieshel
הודעות: 12
הצטרף: 21:41 23/10/2010

מטריצות סיבוב של ספין

שליחה על ידי adieshel » 00:05 10/01/2011

ראיתי בתרגול 11 שפיתחנו את מטריצות הסיבוב של הספין( בשתי השאלות בסעיף ב). מאיפה הגענו לזה? האם פיתחנו את UׂR בכיתה?
ומה בדיוק מציבים בנוסחא של : exp^i(us0/h)כדי להגיע לוקטורי המצב של ספין עולה וספין יורד. והאם המטריצות הללו או הנוסחא מתחילת השורה יופיע בדף הנוסחאות?
מקווה שהייתי ברור
תודה

rohrlich
הודעות: 468
הצטרף: 12:45 26/08/2007

Re: מטריצות סיבוב של ספין

שליחה על ידי rohrlich » 00:17 11/01/2011

מטריצות הסיבוב של הספין מופיעות רק בתשובה לתרגיל השני שבתרגול. בתשובה לתרגיל הראשון אין מטריצת סיבוב ובאמת אין צורך במטריצות סיבוב בכדי לפתור את שני התרגילים הדומים. בהרצאות לא עסקנו במטריצות סיבוב. הן לא יופיעו בדף הנוסחאות.

העיקר הוא שכפי ש-\((e/ m_e)B_z{\hat S}_z\) היא התוספת להמילטוניאן עבור השפעת שדה מגנטי בכיוון ציר \(z\) על הספין, כך גם \((e/ m_e){\vec B}\cdot{\hat {\vec S}}\) היא התוספת להמילטוניאן עבור השפעת שדה מגנטי בכיוון ציר \({\vec B}/B\) על הספין. במשתנים כדוריים אפשר לכתוב את כיוון השדה המגנטי כ-

\({\vec B}/B ={\vec n}=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi , \cos \theta )\)

ואז התוספת להמילטוניאן היא

\({e\over m_e}{\vec B}\cdot{\hat {\vec S}} ={{e\hbar B}\over {2m_e}}\left[\sin\theta \cos \phi \left(\matrix{0&1\cr1&0\cr}\right)+\sin\theta \sin\phi \left(\matrix{ 0&-i\cr i&0\cr}\right) + \cos \theta \left(\matrix{1&0\cr 0& -1\cr}\right) \right] \cr \rm{ } ={{e\hbar B}\over {2m_e}}\left(\matrix{\cos \theta &\sin \theta e^{-i\phi}\cr \sin \theta e^{i\phi} &-\cos \theta \cr}\right)\)

ויש למצוא את הערכים העצמיים ואת הווקטורים העצמיים של המטריצה הזאת. ראו את הפתרון לתרגיל מספר 14 משיעור החזרה שלי. כפי שכתבתי שם, דרך קיצור לפתרון היא העובדה כי אם נגדיר

\({\hat A}=\left(\matrix{\cos \theta &\sin \theta e^{-i\phi}\cr \sin \theta
e^{i\phi} &-\cos \theta \cr}\right)\)


אזי

\({\hat A}^2=\left(\matrix{\cos \theta &\sin \theta e^{-i\phi}\cr \sin \theta e^{i\phi} &-\cos \theta \cr}\right)^2 =\left(\matrix{1&0\cr 0&1\cr}\right)\)

מצד אחד; מצד שני, עם \(| a \rangle\) הוא וקטור עצמי של \({\hat A}\) עם ערך עצמי \(a\), אזי

\(a^2|a\rangle ={\hat A}^2|a\rangle\)

ולכן \(a^2= 1\) ו-\(a=\pm 1\).

מטריצות סיבוב הן שיטה אלגנטית להגיע לאותם וקטורים עצמיים, לדוגמה על ידי סיבוב של זווית \(\theta\) בציר \(y\) ואחר כך סיבוב של זווית \(\phi\) בציר \(z\). אבל אני חושש ששיטה זו עלולה לבלבל אתכם באותה מידה שהיא עשויה לעזור לכם, ולכן לא הצגנו אותה.

שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 3א (במקור להנדסת חשמל)”