קרינת גוף שחור

שלח תגובה
maxzaton
הודעות: 12
הצטרף: 22:08 21/11/2009

קרינת גוף שחור

שליחה על ידי maxzaton » 20:35 11/10/2010

מסכמים: אבירם שטיינבוק, יונתן יפה, מקסים זטונסקיך

maxzaton
הודעות: 12
הצטרף: 22:08 21/11/2009

Re: Black body radiation

שליחה על ידי maxzaton » 21:06 24/12/2010

רקע כללי:
קרינת גוף שחור היא רעיון עקרוני בפיסיקה שהחלה להיחקר לקראת סוף המאה ה19. כתוצאה ממחקר ניסויי, מחקירה מתמטית מעמיקה והרבה שנים ומוחות שונים חקירת גופים שחורים הובילה לפריצת דרך ענקית בפיסיקה. הניסויים בגוף שחור הובילו להסתכלות על אור בצורה קוונטית, למכניקה ואלקטרו-דינמיקה קוונטית.

מסוף המאה ה19 התעניינו רבות בקהל הפיסיקאים כיצד בדיוק גופים מחוממים פולטים קרינה. הייתה הבנה כללית כיצד התהליך קורה, והיה מוכר בתקופה המדוברת כי חום גורם לערור של מולקולות ואטומים בחומרים. ממשוואות מקסוול ניבאו, כתוצאה מניסויו של הרץ, כי אוסילציות של מטענים תוביל לפליטת קרינה אלקטרו מגנטית (א"מ). בנוסף, ממשוואות מקסוול הוכח כי הקרינה הא"מ נעה במהירות האור. המסקנה שנבעה מכך שקרינה א"מ נעה במהירות האור הייתה כי אור נראה וקרינת אינפרא אדום (חום), אשר מתנהגת באופן דומה לאור גלוי, הם גלים אלקטרו מגנטיים. ההבנה בתחילת המאה ה20 הייתה, אם ההנחות נכונות, כי גוף מחומם יפלוט חום ואור נגלה כתלות בחום הגוף.

מקסוול והרץ הם רק שניים מיני רבים שעסקו בתחום, קירכהוף הוא שהמציא את המונח "גוף שחור" ופרץ דרך בהרבה מובנים. פלנק תרם פריצת דרך משמעותית עם ניסויו בגוף שחור. היו עוד רבים וטובים שעסקו בנושא חשוב זה.

כאשר נתבונן כיצד גופים שונים סופגים קרינה נראה כי קיימים מינונים שונים של כמות קרינה הנספגת בגוף. אם נתבונן בזכוכית נראה כי כמות האור הנגלה הנספגת בחומר זניחה ורוב האור עובר דרכו (אך אם נתבונן באורך גל אינפרא אדום נראה תופעה אחרת לגמרי). מתכת נוצצת, כמו הזכוכית, לא תספוג את האור, אך בניגוד לזכוכית המתכת תחזיר את האור. אם ניקח חומר שחור, כגון פיח, נשים לב כי האור נספג כמעט לחלוטין בחומר, והחומר מתחמם. להבנה עמוקה של הסיבות שעומדות מאחורי ההבדלים בחומרים ניתן להגיע בעזרת כלים של מכניקת קוונטים.

העבודה המדויקת הראשונה שהתבצעה בגופים שחורים החלה באזור השנה 1890.

רקע מתמטי/פיסיקלי:
גלים -
גל הוא הפרעה בקו ישר, בדרך- כלל מחזורי. קיימים מספר מאפיינים העוזרים לתאר גל מחזורי:

אורך גל - מרחק בין שתי נקודות הנמצאות באותו מקום ביחס למחזור בוא הן נמצאות, במחזורים עוקבים.מסומן בד"כ ע"י: \($$\lambda $$\) .

אמפליטודה (משרעת) - הגודל המכסימלי של ההפרעה. מסומנת בד"כ ע"י A (בציור y).

תדירות - מספר המחזורים ליחידת זמן, מסומנת בד"כ ע"י \($$\nu $$\).

תדירות זוויתית - מסומנת בד"כ ע"י \($$\omega $$\) . \($$\omega = 2\pi \nu $$\).

מספר הגל - מסומנת בד"כ ע"י \($$k$$\) . \($$k = \frac{{2\pi }}
{\lambda }$$\)
.
הקשר בין מספר הגל לתדירות הזוויתית נקרא יחס הנפיצה.
למשל, בגל אלקטרומגנטי, יחס הנפיצה הוא \($$\omega = kc$$\). \($$c$$\) זו מהירות האור.

תמונה
גל עומד - גל, הנשאר במקום קבוע. לדוגמה, גל אשר קצבותיו מוחזקות יהיה גל עומד. על מנת לקיים את התנאי בקצוות, המרחק בין הנקודות המוחזקות יהיה חייב להיות כפולה שלמה של חצי אורך גל, כמו בציור: \($$L = \frac{{{\lambda _n}}}
{2}n = \frac{\pi }
{{{k_n}}}n$$\)
.\($$L$$\) הוא המרחק בין הקצוות, ו- \($${k_n}$$\), \($${\lambda _n}$$\) הם מספר הגל ואורך הגל כפונקציה של האינדקס n (מקבל ערכים בין 1 ל- \($$\infty $$\) ).

תמונה
פונקצית משקל -
בחישוב ממוצע משוקלל, פונקצית המשקל היא פונקציה המתאימה לכל אלמנט בחישוב הממוצע את משקלו. נוסחת הממוצע: \($$\langle x\rangle = \frac{{\sum {\psi (x) \times x} }}
{{\sum {\psi (x)} }}$$\)
כאשר \($$x$$\) הוא הנתון אותו משכללים ולפיו סוכמים ו- \($$\psi (x)$$\) היא פונקצית המשקל. הסכום במכנה נועד לנרמול.

גוף שחור:
גוף שחור הוא גוף תיאורטי, אשר בולע את כל הקרינה האלקטרומגנטית אשר פוגעת בו ללא החזרות. גוף שחור פולט קרינה אלקטרומגנטית כתלות בטמפרטורה שלו בלבד. לכן, כאשר גוף שחור קר הוא נראה שחור (לא נפלטת קרינה אלקטרומגנטית ובפרט אור). כאשר לגוף שחור יש אנרגיה פנימית (תרמית) הוא פולט קרינה בעלת ספקטרום של גוף שחור.

בחיפושים אחרי המודל האידיאלי של גוף שחור הוחלט לקחת קופסה שחורה עם חור קטן מאוד כך שגלים א"מ יוכלו להיכנס פנימה. בגלל שהחור קטן הגלים לא יוכלו לצאת ובגלל שאין החזרות כולם יבלעו לתוך דפנות הגוף. לכן הגלים הנפלטים (בקירוב) נפלטים רק כתוצאה מחימום הקופסה.
נרצה למצוא את האנרגיה הנפלטת ליחידת נפח ליחידת תדירות:
מכיוון שהגל הא"מ מתאפס בדפנות של הקופסה, ניתן להסיק שמדובר בגלים עומדים אשר מקיימים:
\($${\omega _n} = \frac{{c\pi }}
{L}n$$\)
(1)
כאשר: \($${\omega _n}$$\) - תדירות זוויתית, \($$c$$\) - מהירות האור בריק, \($$L$$\) - אורך הקופסה ו \($$n$$\) - מספר המצב/אופן תנודה.
כאשר עוברים לתלת מימד הנוסחה (1) מקבלת צורה:
\($${\omega _n} = \frac{{c\pi }}
{L}\sqrt {n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} $$\)
(2) או \($$\omega _n^2{\left( {\frac{L}
{{c\pi }}} \right)^2} = n_x^2 + n_y^2 + n_z^2$$\)
- משוואת הכדור (2.1)
כעת נרצה למצוא את כמות המצבים/אופני תנודה בין \($$\omega $$\) ל- \($$\omega + \delta \omega $$\) . נתבונן בחתך של השמינית החיובית של כדור:
תמונה
מצבים עם תדירות קטנה מ- \($$\omega $$\) : \($$n \le \left( {{L \over {c\pi }}} \right)\omega $$\)
מצבים עם תדירות קטנה מ- \($$\omega + \delta \omega $$\) : \($$\left( {{L \over {c\pi }}} \right)\omega \le n \le \left( {{L \over {c\pi }}} \right)(\omega + \delta \omega )$$\)
נסכום את כל המצבים שיש לנו בשכבה הדקה הזאת:
\($$4\pi {n^2}\delta n \Rightarrow 4\pi {\left( {{L \over {c\pi }}} \right)^3}{\omega ^2}d\omega \times {1 \over 8} \times 2 = V{{8\pi } \over {{c^3}}}{\left( {{\omega \over {2\pi }}} \right)^2}d\left( {{\omega \over {2\pi }}} \right)$$\) (3)
כאשר \($${1 \over 8}$$\) - בגלל שמדובר רק בשמינית החיובית של הכדור (\($${n_i} \ge 1$$\)), 2 – בגלל שקיימים 2 מצבים של הגל (מצבי קיטוב), למשל, אם הוא מתקדם בכיוון \(\widehat z\), אזי שני המצבים הם או \(\widehat x\) או \(\widehat y\), \($$V$$\) - נפח הקופסה.
ניתן לרשום את הביטוי (3) בצורה הבאה:
\($$V{{8\pi } \over {{c^3}}}{\nu ^2}d\nu $$\) (4)
כעת נרצה למצוא את האנרגיה הממוצעת של כל מצב. מבחינה אינטואיטיבית ברור כי ככל שאנרגיה עולה יש פחות ופחות סיכוי למצוא מצב באנרגיה הזאת, כלומר יש ההסתברות גבוהה יותר למצוא מצבים באנרגיות נמוכות. פונקצית המשקל בחישוב ממוצע זה נקראת פונקצית ההסתברות של מקסוול/בולצמן: \($${e^{ - {E \over {{k_B}T}}}}$$\). מכאן נחשב את הממוצע ונקבל:
\(\left\langle \varepsilon \right\rangle = \Sigma \varepsilon {e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}} \div \Sigma {e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}}\) (5)
בהנחה שכל מצב יכול להיות עם כל ערך של אנרגיה (זה מה שחשבו באותה תקופה), ניתן להפוך את הסכום (נוסחה (5) ) לאיטגרל ונקבל:
\(\left\langle \varepsilon \right\rangle = {{\int\limits_0^\infty {\varepsilon {e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}}d\varepsilon } } \div {\int\limits_0^\infty {{e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}}d\varepsilon } }} = {{ - {k_B}T\varepsilon {e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}}|_0^\infty + {k_B}T\int\limits_0^\infty {{e^{ - {\varepsilon \over {{k_B}T}}}}d\varepsilon } } \over { - {k_B}T}} = {{ - 0 - {{({k_B}T)}^2}} \over { - {k_B}T}}\)
לכן נקבל: \(\left\langle \varepsilon \right\rangle = {k_B}T\) (6)

נשלב ביטוי (4) ונוסחה-(5) ונקבל:

\($$E(\nu + \delta \nu ) = V{{8\pi } \over {{c^3}}}{k_B}T{\nu ^2}\delta \nu $$\) (7)
אם נחלק ב- \($$V$$\) וב- \($$\delta \nu $$\) ונחליף את התדירות באורך גל נקבל את נוסחה הנקראת חוק ריילי-ג'ינס על שם מפתחיה, ג'ון ויליאם סטראט ריילי וג'יימס ג'ינס ובמקור נראית כך: \($$I(\lambda ) = {{{k_B}T} \over {{\pi ^2}}}{1 \over {{\lambda ^2}}}$$\)
כאשר \($$\lambda $$\) - אורך הגל, \($${k_B}$$\) - קבוע בולצמן, \($$T$$\) - הטמפרטורה של הגוף השחור בקלווין.
מהנוסחה הזאת בקלות ניתן לראות שכאשר \($$\infty \leftarrow I \Leftarrow 0 \leftarrow \lambda $$\) , דבר שאינו תואם את חוק שימור האנרגיה. אי התאמה זו בין המודל המתמטי למציאות מכונה "הקטסטרופה של האולטרה סגול", מכיוון שבאורכי הגל הקצרים (UV) האנרגיה, כאמור, מתבדרת.

כתוצאה מה"קטסטרופה של האולטרה סגול" הוחלט להגביל את הנוסחה רק עבור אורכי גל ארוכים.

מקס פלאנק מצא נוסחה חדשה אשר פותרת את הבעיה של התבדרות האנרגיה. הוא השיג זאת בעזרת הטענה שהאנרגיה לא רציפה (כל מצב יכול לקבל אנרגיות מסוימות), אלא מקוונטתת וניתן לרשום:
\($${\varepsilon _n} = n\hbar \omega = nh\nu $$\) (8)
כאשר \(h\) - קבוע פלאנק, \(n\) - מספר טבעי ו- \($$\hbar \equiv {h \over {2\pi }}$$\).

תוצאה של טענה זו היא כי לא ניתן להפוך את נוסחה (5) לאינטגרל (אין אפשרות לעבור לגבול הרצף), אלא חייבים לעשות סכום מאפס עד אינסוף של סדרה. נסמן \($$\beta = {1 \over {{k_B}T}}$$\) ונציב בנוסחה (5):
\($$\left\langle \varepsilon \right\rangle = {{\sum\limits_n {(nh\nu ){e^{ - \beta nh\nu }}} } \over {\sum\limits_n {{e^{ - \beta nh\nu }}} }}$$\)

קודם כל נטפל במכנה – נשתמש בנוסחת סכום של סדרה הנדסית:
\($$\left\langle \varepsilon \right\rangle = {{\sum\limits_n {(nh\nu ){e^{ - \beta nh\nu }}} } \over {\sum\limits_n {{e^{ - \beta nh\nu }}} }}$$\)
ועתה נסכום את המונה:
\($$\sum\limits_n {(nh\nu ){e^{ - \beta nh\nu }}} = - {\partial \over {\partial \beta }}\left[ {\sum\limits_n {{e^{ - \beta nh\nu }}} } \right] = - {\partial \over {\partial \beta }}\left[ { {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{e^{ - \beta nh\nu }} - 1} \over {{e^{ - \beta h\nu }} - 1}}} \right] = - {\partial \over {\partial \beta }}\left[ {{1 \over {1 - {e^{ - \beta h\nu }}}}} \right] = {{h\nu {e^{ - \beta h\nu }}} \over {{{(1 - {e^{ - \beta h\nu }})}^2}}}$$\)
נחלק את המונה במכנה ונקבל:
\($$\left\langle \varepsilon \right\rangle = {{h\nu {e^{ - \beta h\nu }}} \over {{{(1 - {e^{ - \beta h\nu }})}^2}}} \div {1 \over {1 - {e^{ - \beta h\nu }}}} = {{h\nu {e^{ - \beta h\nu }}} \over {{{(1 - {e^{ - \beta h\nu }})}^2}}} \times {{1 - {e^{ - \beta h\nu }}} \over 1} = {{h\nu {e^{ - \beta h\nu }}} \over {1 - {e^{ - \beta h\nu }}}}$$\)
נחלק את המונה ואת המכנה ב - \($${e^{ - \beta nh\nu }}$$\), נציב את - \($$\beta $$\) בחזרה ונקבל:
\($$\left\langle \varepsilon \right\rangle = {{h\nu } \div ({{e^{{{h\nu } \over {{k_B}T}}}} - 1}})$$\) (9)

קל לראות שאם נקח \($${{h\nu } \over {{k_B}T}} < < 1$$\) (ז"א תדירויות נמוכות) ונעזר בפיתוח טיילור של האקספוננט עד האיבר השני, בהזנחת שאר האיברים, נקבל:
\($$\left\langle \varepsilon \right\rangle \approx {{h\nu } \div [{(1 + {{h\nu } \over {{k_B}T}}) - 1}}] = {{h\nu } \div {{{h\nu } \over {{k_B}T}}}} = {k_B}T$$\)
כעת נוכל לרשום את נוסחה (7) עבור כל התדירויות, בהסתמך על זה שהאנרגיה מקוונטתת:
\($$E(\nu + \delta \nu ) = V{{8\pi {\nu ^2}} \over {{c^3}}}\times[{{h\nu } \div ({{e^{{{h\nu } \over {{k_B}T}}}} - 1}})]\delta \nu $$\) (10)

תמונה
כשמקס פלאנק פיתח את הנוסחה הוא לא תפס את עומק המשמעות של הדבר, הוא רק חיפש פתרון מתמטי ל"קטוסטרופה של UV". למעשה תגליתו של פלאנק הינה תגלית שבפרספקטיבה היסטורית היה לראשיתה של תורת הקוונטים.
על ההשערה כי האנרגיה הא"מ יכולה להיפלט אך ורק בכפולות של היחידה הבסיסית: \($$E = h\nu $$\) מקס פלאנק קיבל פרס נובל לפיסיקה בשנת 1918.

מקורות מידע:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mod6.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hb ... yj.html#c4
http://galileo.phys.virginia.edu/classe ... ation.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law
http://en.wikipedia.org/wiki/Black_body
http://library.thinkquest.org/C007571/e ... round4.htm

maxzaton
הודעות: 12
הצטרף: 22:08 21/11/2009

Re: קרינת גוף שחור

שליחה על ידי maxzaton » 17:06 05/01/2011

צירפנו מקורות מידע!

שלח תגובה

חזור אל “מבוא לפיסיקה מודרנית”