דף 1 מתוך 2

גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 17:26 17/10/2010
על ידי Anat
מסכמים: ענת ניז'ינסקי וניקולאס טומסוב

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 23:41 04/01/2011
על ידי Anat
גלי כבידה
על פי תורת היחסות הפרטית של אינשטיין, גלי כבידה הם גלים הנפלטים מגוף בעל מסה שנע בתאוצה, באנלוגיה לגלים אלקטרומגנטים שנפלטים כתוצאה מתנועה של גוף טעון.
תורת היחסות הכללית קובעת שהעקמומיות הגיאומטרית שנגרמת על ידי גוף מסיבי אינה מופיעה מיד בכל מקום. היא מתפשטת בחלל מהמקור במהירות האור. לכן, אם משנה גוף מסיבי את צורתו או תנוחתו, או אם קבוצה של גופים במרחב משנים את הסידור המרחבי שלהם, ההשפעה הכבידתית, כלומר עיקום המרחב-זמן יתפשט בחלל כגל כבידתי.

קרינה אלקטרומגנטית לעומת קרינה גרביטציונית:
קצב הקירון הגרוויטציוני אינו זהה לקצב הקירון האלקטרומגנטי, זאת למרות שהנוסחה של שדה גרוויטציוני דומה במבנה לנוסחה של שדה חשמלי כאשר מדובר באינטרקציה בין שני מטענים.
\(\left(1 \right)U=\frac{Gm}{r^2}\) לעומת

\(\left(2 \right)U=\frac{kq}{r^2}\)
גלי הכבידה חלשים מאוד בעוצמתם לעומת הגלים האלקטרומגנטים. הקרינה האלקטרומגנטית היא קרינה דיפולית. דיפול הוא תכונה פיזיקלית שמהווה מדד לקוטביות התפלגות המטען. בדוגמא הפשוטה ביותר לדיפול היא שני חלקיקיעם בעלי מטענים זהים בגודל ושונים בסימן הנמצאים במרחק \(r\) אחד מהשני. עבור הקרינה הדיפולית - \(E\sim \frac{1}{r^3}\)
הקרינה הגרוויטציונית היא קרינה קואודרופולית. הדוגמא הפשוטה ביותר לקואודרופול היא מערכת של ארבעה מטענים שמצויים בקודקודיו של ריבוע
תמונה

בקואודרופול- \(E\sim \frac{1}{r^4}\)
מכאן שהשדה הקוארודרופולי קטן יותר מהשדה הדיפולי ולכן גם עוצמה של קרינה קואודרופולית קטנה יותר מעוצמה של קרינה אלקטרומגנטית.

קרינה אלקטרומגנטית
נניח שנתוון חלקיק בעל מסה \(m\) טעון במטען \(q\) שמתנדנד בתדירות \(w\) הספק הקירון האלקטרומגנטי נתון על ידי הנוסחה הבאה:
\(\left(3 \right) P=\frac{\omega^4k}{3c^3}\left|p \right|^2\)

כאשר \(c\) - מהירות האור
\(k\)- קבוע קולון \(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\)
כאשר \(\varepsilon _0\) הוא הקבוע הדיאלקטרי.
\(p\)- מומט דיפולי שנתון על ידי:
\(p=qre^-^i^\omega^t\)

קרינה גרוויטציונית
ישנן שתי נוסחאות שמציגות את קצב הקירון הגרוויטציוני:

\(\left(4 \right)P=\frac{16\omega^2G^3m^4}{\pi c^5r^2}\)

כאשר:
\(\omega\)- תדירות
\(G\)- קבוע הגרביטציה
\(m\)- מסת הגוף
\(c\)- מהירות האור
\(r\) המרחק מהראשית.

נוסחת איינשטיין:
\(\left(5 \right)P=\frac{G}{4\pi c^5}({\overset{...}{D_\alpha _\beta}) ^2\)
כאשר
\(c\) - מהירות האור
\(G\)- קבוע גרביטציה
\(D_\alpha _\beta\) הוא המומנט הקואודרופולי שמוגדר בצורה הבאה:
\(\left(6 \right)D_\alpha _\beta=\int \mu \left(3x_\alpha x_\beta -\delta _\alpha _\beta r^2 \right)dV\)

\(\mu\)- צפיפות המסה.
\(x_\alpha, x_\beta\)- קואורדינטות של ווקטור המקום.
\(r\)- מרחק מהמראשית.
\(\delta _\alpha _\beta\)- פונקציית דלתא של קרונקר:
\(\delta _\alpha _\beta=0 ,\alpha \neq \beta\)
\(\delta _\alpha _\beta=1 ,\alpha =\beta\)

נוסחה 4 מציגה תלות ישירה של קצב הקירון בתדירות הזוויתית. לעומת זאת נוסחה 5 מבטאת את קצב הקירון באמצעות הטנזור הקואודרופולי.

מקרה פרטי-קרינה גרוויטציונית במערכת של שני גופים שמסתובבים אחד סביב השני
נניח שנתונים לנו שני גופים בעלי מסות \(m_1\) ו- \(m_2\) שמבצעים תנועה מעגלית במישור \(x-y\) אחד סביב השני (למשל, כדור הארץ והשמש)
אזי, הספק הקירון הגרוויטציוני במערכת הוא:
\(\left(7 \right)P=-\frac{32G}{5c^5}\frac{(m_1m_2)}{(m_1+m_2)}^2r^4\omega ^6\)

כאשר
\(\omega\) היא תדירות המערכת.
\(G\)- קבוע הגרוויטציה
\(c\)- מהירות האור
\(r\)- המרחק בין הגופים

הסבר:
נסתכל על המסה המצומצמת של המערכת לשם הנוחות.
\(m=\frac{(m_1m_2)}{(m_1+m_2)}\)
היות ומדובר בתנועה מעגלית, התאוצה נתונה על ידי \(a=\omega ^2r\)
נציב זאת בנוסחת הכוח הגרוויטציוני \(F=\frac{Gm}{r^2}\) ונקבל ש- \(\omega^2 =\frac{Gm}{r^3}\)
נציב את \(\omega^2\) ואת \(m\) בנוסחה 4 ונקבל את נוסחה 7.

נוסחה 7 יכולה להיכתב בצורה נוספת:
\(\left ( 8 \right )P=\frac{-32G^4}{5c^5}\frac{\left ( m_1m_2 \right )^2\left ( m_1+m_2 \right )}{r^5}\)

על מנת לקבל אותה מנוסחה 7 יש צורך לעשות שימוש בקירובים הבאים:
\(D\sim m r^2\)

\(\overset{...}{D} \sim mr^2\omega^3\)

כמו כן יש להציב את \(\omega^6 =\frac{G^3m^3}{r^6}\)
המשמעות של המינוס בנוסחאות 7 ו-8 היא שקיים איבוד אנרגיה במערכת.
מדידת גלי כבידה
עד היום, טרם הוכח באופן חד משמעי קיומם של גלי הכבידה. הסיבה העיקרית לקושי באבחנתם ומדידתם היא עוצמתם החלשה (סדר גודל של \(10^-^1^2\) במסגרת המאמצים למדוד את גלי הכבידה, נבנו אינטרפורמטרים שאמורים לנסות למדוד אותם.
אינטרפורמטר גלי כבידה פועל כך: מראה מחזירה למחצה מחלקת את אור קרן הלייזר לשתי קרניים הנעות לאורך קוים ניצבים של המכשיר. מראות התלויות בחופשיות בשני הקצוות מחזירות את הקרניים לנקודה מוגדרת במראה מפצלת. האור המתקבל בנקודה זו תלוי בפאזה היחסית של שתי הקרניים בנקודה בה הן מתחברות. פאזה זו תלויה באורך המסלול אותו עברו. כך יכול האינטרפרומטר למדוד ברגישות רבה הפרש אורך בין שתי הזרועות עד להפרשים שהם שבר קטן של אורך גל האור שבו משתמשים.
להלן סכמה המתארת את האינטרפורמטר:
תמונה
הפניות למקורות:
[http://elfweb.mine.nu/Me/CV/Projects/i ... Simulation
ויקיפדיה- http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_wave
מאמר מקיף בנושא מדידת גלי כבידה- http://demo.ort.org.il/clickit2/files/f ... 318367.pdf
The classical theory of fields/L.D Landau and E.M Lifshitz


מגישים: ענת ניז'ינסקי וניקולאס טולמסוב

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 07:43 05/01/2011
על ידי dcohen
יש להיות עיקביים בסימונים ולהגדיר את הקבועים שמופיעים בנוסחאות

C c
\(K k \epsilon\)
G

אני ממליץ להתחיל עם משוואות 6,7 ולהשתמש אך ורק בקבועים K G וגם c

לא ברור לי איפה\(\omega\) בנוסחא 3

לא ברור לי איך מקבלים את נוסחא 5 מנוסחא 3.
לא צריך דריבציה "מדויקת". אני מניח שיש להעזר בחוקי קפלר.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 14:55 05/01/2011
על ידי Anat
תוקן

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 15:57 05/01/2011
על ידי dcohen
אני רואה את התוספת אבל לא את
בתיקון של הנוסחאות מבחינת הקבועים
שמופיעים שם ואולי השמטה של תדירות.
נא קיראו שוב את מה שהערתי.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 19:33 05/01/2011
על ידי Anat
סידרנו את הקבועים.
הוספנו הסבר לגבי התלות בתדירות של הספק הקירון הגרוויטציוני.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 22:05 05/01/2011
על ידי dcohen
לא נראה לי התיקון.
אנא השתמשו בסימונים הבאים

c מהירות האור
K קבוע חוק קולון
G קבוע הגרביטציה

נא רשמו למשל את הקבוע הרלונטי בנוסחא 4

\(\omega\) ולא w לסימון תדירות

כמו כן לא יכול היות שאין חשיבות לתדירות?
אתם רוצים להגיד שמסה שאינה מתנדנדת קורנת גלי כבידה?
אם זה אכן כך אשמח לקבל מראה מקום מדויק לטענה זו,
היא אינה מוכרת לי.

מן הסתם, בהנחה שיש חשיבות לתדירות, גם ההמשך דורש הבהרה בהתאם.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 22:11 05/01/2011
על ידי Anat
יש חשיבות לתדירות, אבל לא הצלחנו למצוא נוסחא ישירה... בכל ספר שפתחנו ראינו את הנוסחה של איינשטיין לגבי קרינה קואודרופולית, כפי שהוצגה בסיכום

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 22:23 05/01/2011
על ידי dcohen
אתם יכולים להתחיל עם

http://www.sciencebits.com/BlackHoleSimulation

ואני מניח שחיפוש קטן בגוגל יתן גם דברים טובים יותר.

מצאתי משהו שנראה טוב

http://elfweb.mine.nu/Me/CV/Projects/incl/GW/GW.html

תסתכלו למשל בסעיף שנקרא Double-Star System

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 22:36 05/01/2011
על ידי Anat
תודה על הקישור!

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 22:39 05/01/2011
על ידי dcohen
שימו לב שהוספתי קישור נוסף / כנראה טוב יותר

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 00:44 06/01/2011
על ידי Anat
נעזרנו בקישורים והוספנו את מה שרלוונטי.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 06:15 06/01/2011
על ידי dcohen
אני לא מבין את מה שאתם קוראים "נוסחת אינשטין" ואת לא את הדריבציה שלכם.
קשה לי להאמין שציטטתם אותה מדויק (מאיפה בדיוק היא נלקחה).
גם עדיין למרות בקשות חוזרות לא ברור לי מה זה ה k שמופיע בה. האם זה G.

האם הנוסחא (4) היא בסתירה לאינשטיין? או צורה אחרת של אינשטיין?
כיוון שאת (4) אני מבין, ואת (5) לא אתם ולכן גם לא אני מבינים,
מן הראוי לא לכלול אותה, ולבסס את הדריבציה בהמשך על נוסחא (4).
כרגע הדריבציה נראית לי לא ברורה ומבולבלת. נא נסחו אותה בצורה שתלמיד תיכון יוכל להבין.
הרי בסך הכל מדובר בתנועה מעגלית... (חומר של תיכון).

לא כותבים מה שלא מבינים זה "א-ב" של סיכומים.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 07:42 06/01/2011
על ידי dcohen
עכשיו אני מבין מה זו הנוסחא שלכם -
נוסחא 110.16 של לנדאו ליפשיץ.
אכן כדאי לכלול אותה אבל לשים לב שבספר יש שלוש נקודות מעל ה D
מה שנותן\(\omega^6\)

בכל מקרה כל ההערות שלי למעלה עדיין תקפות.
לרבות החלפת k בסימון המקובל G
ובדיקה שכל מה שאתם כותבים קונסיסטנטי,
וגם פישוט של הדריבציה כך שתלמיד תיכון יוכל להבין.

את האספקטים הגאומטריים המפורטים (זויות) ניתן להשמיט,
ולהשאיר רק את מה שבאמת חשוב מבחינת ההבנה.

Re: גרביטציה, גלי גרביטציה

נשלח: 09:08 06/01/2011
על ידי Anat
תוקן