מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שלח תגובה
elkoshi
הודעות: 26
הצטרף: 19:29 13/10/2010

משמעות המשוואה

שליחה על ידי elkoshi » 21:16 05/11/2010

דורון שלום,
בהרצאה האחרונה שלך הזכרת את המשוואה \(\[z=re^{i\theta }\]\)בהקשר של מצבים קוונטים של חלקיק חופשי.
תוכל בבקשה להסביר שוב בקצרה את המשמעות שלה?

בברכה,
נדב אלקושי

elkoshi
הודעות: 26
הצטרף: 19:29 13/10/2010

מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי elkoshi » 21:54 07/11/2010

מצבים של חלקיק חופשי

חלקיק חופשי הוא חלקיק אשר אינו נתון במערכת סגורה. לכל חלקיק במרחב יש מקום ותנע. התנע הינו תלוי אורך גל של החלקיק, ומתואר במשוואה :

\(\[p=2\pi /\lambda \]\)

כאשר מתייחסים למיקום של חלקיק במרחב ניתן לומר שהמרחב בו נמצא החלקיק מחולק ל"תאים קטנים" בהם החלקיק יכול להימצא. לכל תא במרחב מתאים תנע מסוים של חלקיק.
עפ"י עיקרון אי הודאות, כאשר ידוע לנו מיקומו של החלקיק במקום מסוים במרחב לא ניתן למדוד את התנע שלו במדויק, וכאשר נמדוד תנע של חלקיק נוכל להעריך את המצאו ב"תאים" מסוימים במרחב ע"י הפונקציה:

\(\[|p=e^{ip} |1>+e^{2ip}|2>+e^{3ip}|3>+...+e^{xip}|x>\]\)

בפונקציה זו מיקומו של החלקיק ב"תא" מסוים במרחב מסומן במשוואה כ <X| כאשר X הוא התנע של החלקיק המתאים לתא מסוים.

כאשר נחשב את מיקומו של חלקיק חופשי שהתנע שלו הוא 0, מיקומו במרחב יינתן לנו ע"י המשווה הנ"ל:

\(\[|p=0>=e^{i0} |1>+e^{2i0}|2>+e^{3i0}|3>+...+e^{xi0}|x>\]\)

כלומר:

\(\[|p=0>=|1>+|2>+|3>+...+|x>\]\)

ניתן לראות כי המשוואה מתארת את העובדה כי החלקיק שהתנע שלו שווה ל 0 "מרוח" על פני כל המרחב (הוא מצוי בכל ה"תאים" במרחב).

כאשר מתבוננים בפונקציה:

\(\[|p=e^{ip}|1>+e^{i2p}|2>+e^{i3p}|3>+...+e^{ixp}|x>\]\)

ניתן לראות כי הערך \(\[e^{ipx}\]\) הוא הגדרה מתמטית של פונקציית גל. לכן ניתן לתאר את מיקום החלקיק במרחב כגל:

\(\[|p=\psi_{1}|1>+\psi_{2}|2>+\psi_{3}|3>+...+\psi_{x}|x>\]\)

במערכת סגורה, חלקיק מוגבלת תנועתו ע"י קירות הקופסא שבהן הוא נתון. אולם במערכת פתוחה המצבים האפשריים שלו נמרחים על כל המרחב.



ביבליוגרפיה:
סיכום ההרצאה בנושא (1/11/10)

שם המגיש:
נדב אלקושי

dcohen
הודעות: 2158
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי dcohen » 09:09 08/11/2010

באופן כללי בסדר, אבל היו מספר ניסוחים בעייתיים. להלן נוסח מתוקן / משופר.
אני מבקש להוסיף כהמשך לסיכום זה

(1) פסקה שמסבירה את הנורמליזציה (אסביר בהרצאה היום).

(2) פיסקה שמסבירה את עקרון אי הודאות של היזנברג לגבי \(\Delta x \Delta p\)



מצבים של חלקיק חופשי

חלקיק חופשי הוא חלקיק אשר אינו נתון במערכת סגורה. במערכת סגורה, תנועתו של החלקיק מוגבלת על ידי קירות הקופסא שבהן הוא נתון. אולם במערכת פתוחה המצבים האפשריים שלו נמרחים על כל המרחב. אפשר למדוד את המקום או את התנע של החלקיק. התנע מבטא את אורך גל של החלקיק כמוגדר על ידי :

\(p=2\pi /\lambda\)

כאשר מתייחסים לתאור של החלקיק במרחב, ניתן לראות את המרחב כרצף של "תאים" קטנים שבהם החלקיק יכול להימצא. מצב התנע ניתן לביטוי כסופרפוזיציה של מצבי מקום:

\(|p> =e^{ip} |1>+e^{i2p}|2>+e^{i3p}|3>+...+e^{ixp}|x>+...\)

בפונקציה זו מיקומו של החלקיק ב"תא" מסוים במרחב מסומן במשוואה כ <X| כאשר X הוא המיקום (הקואורדינטה) של התא. לדוגמה, חלקיק חופשי שהתנע שלו הוא 0, מצבו במרחב מתואר על ידי

\(|p=0>=|1>+|2>+|3>+...+|x>+...\)

החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב (הוא מצוי בו זמנית בכל ה"תאים" במרחב). במקרה הכללי נהוג לרשום

\(|p=\psi_{1}|1>+\psi_{2}|2>+\psi_{3}|3>+...+\psi_{x}|x>+...\)

ולהגיד שמצב החלקיק מתואר על ידי פונקצית הגל

\(\Psi_x = e^{ipx}\)

באשר \(x=1,2,3,...\)

או בגבול הרצף

\(\Psi(x) = e^{ipx}\)

באשר \(x \in [-\infty, \infty]\)

dcohen
הודעות: 2158
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: משמעות המשוואה

שליחה על ידי dcohen » 09:26 08/11/2010

ראה סיכום על חלקיק חופשי.
פונקצית הגל בנקודה X היא מספר קומפלקסי.
במצב תנע הפאזה משתנה מתא לתא באופן לינארי,
אבל הגודל של פונקצית הגל הוא אחיד.

elkoshi
הודעות: 26
הצטרף: 19:29 13/10/2010

Re: מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי elkoshi » 15:44 14/11/2010

מצבים של חלקיק חופשי

חלקיק חופשי הוא חלקיק אשר אינו נתון במערכת סגורה. במערכת סגורה, תנועתו של החלקיק מוגבלת ע"י קירות הקופסא שבהן הוא נתון. אולם במערכת פתוחה המצבים האפשריים שלו "נמרחים" על כל המרחב. אפשר למדוד את המקום או את התנע של החלקיק. התנע שלו מבטא את אורך הגל של החלקיק כמוגדר ע"י:

\(\[p=2\pi /\lambda \]\)

כאשר מתייחסים לתאור של החלקיק במרחב ניתן לראות את המרחב כרצף של "תאים" קטנים שבהם החלקיק יכול להימצא. מצב התנע ניתן לביטוי כסופרפוזיציה של מצבי מקום:

\(\[|p=e^{ip} |1>+e^{2ip}|2>+e^{3ip}|3>+...+e^{xip}|x>\]\)

בפונקציה זו מיקומו של החלקיק ב"תא" מסוים במרחב מסומן במשוואה כ <X| כאשר X הוא המיקום (הקואורדינטה) של התא. לדוגמא, חלקיק חופשי שהתנע שלו הוא 0, מצבו במרחב מתואר ע"י:

\(\[|p=0>=|1>+|2>+|3>+...+|x>\]\)

החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב (הוא מצוי בו זמנית בכל ה"תאים" במרחב). במקרה הכללי נהוג לרשום:

\(\[|p=\psi_{1}|1>+\psi_{2}|2>+\psi_{3}|3>+...+\psi_{x}|x>\]\)

מצב החלקיק מתואר ע"י פונקציית הגל:

\(\[\psi _{x}=e^{|px}\]\)

באשר .... X=1,2,3

או בגבול הרצף:

\(\[\psi _{x}=e^{ipx}\]\)

באשר

\(\[x_{\epsilon }\left [ -\infty \right,,\infty ]\]\)

כמו כן, פונקציית הגל צריכה להיות מנורמלת, כלומר :

\(\[\psi _{x}=\frac{1}{\sqrt{N}}e^{ipx}\]\)

המצב שבו החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב הוא מלאכותי מבחינה מעשית. מעשית, החלקיק יהיה באזור סופי במרחב שגודלו \(\[\Delta x\]\). החלקיק אינו במצב של תנע טהור אלא בסופרפוזיציה של כמה מצבי תנע. התנע אינו טהור אלא סופרפוזיציה של כמה \(\[\Delta p\]\). במצב תנע טהור, החלקיק "מרוח" על כל המרחב.

עפ"י עיקרון אי הודאות של היזנברג מתקיים :

\([\Delta p\Delta x > 0.5\]\)

כלומר, המקום של החלקיק לא מוגדר, אבל אפשר להשתמש במכפלה \(\[\Delta p\Delta x \]\).

ביבליוגרפיה:
סיכום ההרצאה בנושא (1/11/10)

שם המגיש:
נדב אלקושי

elkoshi
הודעות: 26
הצטרף: 19:29 13/10/2010

מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי elkoshi » 20:41 24/11/2010

דורון שלום,
אודה לך אם תוכל לעיין בסיכום שרשמתי בנושא לאחר התייחסות להערותיך (הסיכום המתוקן מופיע מתחת לכותר למטה, יחד עם ההערות שרשמת).


בברכה,
נדב אלקושי

dcohen
הודעות: 2158
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי dcohen » 06:35 25/11/2010

אני עונה אך אמחוק את שרשור זה בהמשך או אמזגו לשרשור של הסיכום שלך.
אחרי איטרציה אחת או שתיים כשהסיכום הוא "עובר" אני לא מספק יותר הערות, גם אם הוא לא אופטימלי.
במקרה שלך, הסיכום עם שיפורים מסוימים כבר שולב בשרשור העליון שכולל את כל הסיכומים.

elkoshi
הודעות: 26
הצטרף: 19:29 13/10/2010

Re: מצבים קוונטיים של חלקיק חופשי

שליחה על ידי elkoshi » 18:50 25/11/2010

אוקיי, תודה

שלח תגובה

חזור אל “מבוא לפיסיקה מודרנית”