התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שלח תגובה
dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שליחה על ידי dcohen » 17:49 10/12/2010

הסבר מדוע בפיסיקה קלאסית התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד.

נא לא להתרגש יותר מדי -
אמנם לפי הפיסיקה הקלאסית העתיד משפיע על ההווה,
אבל "הפרת הסיבתיות" היא על סקלת זמן של \(10^{-24} sec\)

radiation reaction -
see section
"signals from the future"

http://en.wikipedia.org/wiki/Abraham%E2 ... entz_force

orentab
הודעות: 16
הצטרף: 12:03 17/04/2010

Re: התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שליחה על ידי orentab » 15:07 26/12/2010

אורן טביבי יסכם נושא זה

orentab
הודעות: 16
הצטרף: 12:03 17/04/2010

Re: התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שליחה על ידי orentab » 23:01 05/01/2011

הקדמה
ראשית נסביר בקצרה על מספר תופעות בפיסיקה הקלאסית - במסגרת דיון זה כל התופעות מתייחסות לגופים בעלי מסה ומטען קבועים הנעים במהירויות לא יחסותיות - כלומר לא בסדרי גודל של מהירות האור

הקשר בין כוח לתאוצה
על פי החוק השני של ניוטון, הכוח המופעל על הגוף הוא מכפלת הגוף בתאוצה שלו וכיוון שהמסה קבועה התאוצה פרופורציונלית לכוח המופעל על הגוף

\({}\sum \overline F \sim \overline a\)

חלקיק בעל מטען המאיץ פולט קרינה אלקטרומגנטית .
כל חלקיק בעל מטען המאיץ פולט קרינה אלקטרומגנטית הניתנת לחישוב על ידי נוסחת לרמור \(P \sim \frac{e^2 a^2}{c^3}\)
כאשר P היא עוצמת הקרינה (הספק ליחידת זמן), e הוא המטען וa היא התאוצה של הגוף

יש תנע לקרינה אלקטרומגנטית
ע”פ תורת היחסות הפרטית, הקשר בין אנרגיית עצם לבין התנע והמסה שלו נתון על ידי המשוואה \(E^2 = p^2c^2 + m^4c^2\)
כיוון שקרינה אלקטרומגנטית היא חסרת מסה ניתן למצוא את הקשר בין ה”תנע” שלה לבין האנרגיה שהיא נושאת \(E^2 = p^2c^2 \to E = pc \to p = \frac{E}{c}\)
מן האנרגיה ניתן לגזור את ההספק של הקרינה האלקטרומגנטית

תופעת "התאוצה של גוף מושפעת מכוח שיפעל עליו בעתיד"
לפני שנבין כיצד יתכן כי “התאוצה של גוף מושפעת מכוח שיפעל עליו בעתיד"
נסתכל על חלקיק טעון שפועל עליו כוח חיצוני \(F_{ext}\). החלקיק מאיץ בתאוצה הפרופורציונלית לכוח. בזמן התאוצה פולט החלקיק הטעון קרינה אלקטרומגנטית
וכיוון שלקרינה יש תנע - מחוק שימור התנע מרגיש החלקיק כוח נוסף הפועל עליו.

כוח זה נקרא כוח אברהם-לורנץ, לשם נוחות החישובים נגדיר קבוע k כך ש: \(k= \frac{\mu_{0}}{6\pi}\)
אם נניח שתנועת חלקיק טעון היא לאורך זמן (איננה רגעית) נוכל לחשב את העבודה W , שנעשתה על ידי כוח אברהם-לורנץ :

\(W = \int_{t1}^{t2} F{_{rad}} \cdot v dt = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{t1}^{t2} -Pdt =
\int_{t1}^{t2} \frac{kq^2a^2}{c}dt = -\int_{t1}^{t2} \frac{kq^2}{c} \frac{dv}{dt}\frac{dv}{dt}dt\)


נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים לאינטגרל :

\(= \int_{t1}^{t2} F{_{rad}} \cdot v dt = - \frac{kq^2}{c}\frac{dv}{dt}\cdot v |^{t2}_{t1} +
\int_{t1}^{t2} \frac{kq^2}{c} \frac{d^2v}{dt^2}dt = -0 + \int_{t1}^{t2} \frac{kq^2}{c} \dot{a}vdt\)


בהנחה כי זמן התנועה הוא ארוך - השינוי בתאוצה קטן ולכן

\(- \frac{kq^2}{c}\frac{dv}{dt}\cdot v |^{t2}_{t1} = 0\)

כעת ניתן לראות שקיבלנו בעצם

\(\int_{t1}^{t2} \frac{kq^2}{c} \dot{a}vdt = \int_{t1}^{t2} F{_{rad}} dt\)

מכאן הנוסחה לכוח הנדרש היא

\(F{_{rad}} = \frac {kq^2}{c}\dot{a}\)

נשים לב שהכוח פרופורציוני (כיוון שהמטען ומהירות האור קבועים) לשינוי בתאוצה. כעת, על פי החוק השני של ניוטון

\(ma = m\dot{v} = F_{rad} + F_{ext} = \frac{kq^2}{mc}m\dot{a} = mt_0\dot{a} + F_{ext} =mt_0\ddot{v} + F_{ext}\)

כלומר כאשר \(t_0 = \frac{kq^2}{m}\), קיבלנו את המשוואה \(m\dot{v} = mt_0\ddot{v} + F_{ext}\)

נשים לב שקיבלנו משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני. נתעקב לדקה לשם דיון על המשמעות המתמטית והפיסיקלית של המשוואה שקיבלנו.
למשוואה דיפרנציאלית יש אינסוף פתרונות - בהינתן תנאי התחלה ניתן לגזור את הפתרון הפרטי של המשוואה. אם נסתכל היטב על המשוואה שקיבלנו במיוחד על
העובדה כי השינוי בתאוצה (משמאל) מושפע מהכוח החיצוני הפועל עליו וכן מכוח נוסף (כוח אברהם-לורנץ) שתלוי בעצמו בתאוצה - ואינו קבוע בזמן

\(m\vec{a} = \vec{F}_{ext} + \dot{\vec{F}}\)

נשים לב כי הבחנה לא נכונה בתנאי התחלה/סוף פיסיקליים אפשריים עלולה לגרור אותנו לפתרונות לא אפשרים ולכן לא נכונים כמו תאוצה אינסופית ואפקט קדם תאוצה -
(באם נסתכל לרגע עבור זמן t=0 , נקבל שהשינוי בכוח F הוא אפס - אך יכול להיות שF עצמו קבוע - מצב בלתי אפשרי שכן החלקיק לא היה בתנועה ולכן לא פלט קרינה)

את הפרקודקסים האלה ניתן לפתור ע"י בחירת נכונה של זמנים מתאימים של ההתחלה והסוף של פעולת הכוח, עבור זמן הסוף נבחר כי \(t \to \infty\),

וכעת אם נעביר אגפים ונחלק ב\(t_0\) ונקבל \(m\ddot{v} = \frac{1}{t_0} ( mt_0\dot{v} - F_{ext})\), נבצע אינטגרציה על שני האגפים ונקבל:

\(m\dot{v} = \frac{1}{t_0}\int_{t_0}^{\infty} e^{(-\frac{t'-t}{t_0})}F_{ext}(t')dt'\)

באם נגדיר את התנע \(m\dot{v}\) כ-p

\(p(t) = p_0 + \frac{1}{t_0}\int_{t_0}^{\infty} e^{(-\frac{t'-t}{t_0})}F_{ext}(t')dt'\)
כאשר \(p_0\) הוא התנע לפני תחילת פעולת הכוח.

נשים לב שהאינטגרל על הכוח, הוא למעשה התוספת לתנע של החלקיק כתוצאה מפעולת הכוח לאורך הזמן החל מזמן \(t_0\) ועד לזמן אינסוף (העתיד הרחוק)
וכיוון ש"מקור" הכוח הוא בעצם פליטת הקרינה (שנפלטה רק כאשר החלקיק היה במצב של תאוצה), ו-\(t_0\) הוא זמן תחילת פעולת הכוח, נידרש לבחור \(t_0\) שהוא דווקא בעתיד ואינו בעבר (כשהגוף כבר במצב תאוצה).
קביעת זמני פעולת הכוח בעצם פותרת את עניין הפרדוקסים שהוזכרו לעי"ל ומביאה אותנו לפתרון אחד אפשרי:

ערכי הכוח בעתיד משפיעים על התאוצה בהווה

בנוסף נשים לב שערכי הכוח החיצוני \(F_{ext}\) מושפעים ע”י הפקטור \(e^{(-\frac{t'-t}{t_0})}\)
כך שערכי הכוח כתלות בנק' בזמן t (אשר שואף לאפס אקספוננציאלית עבור זמן \(t > t_0\)) בעתיד - משפיעים על התאוצה בהווה (זמן \(t_0\) )
כלומר רק ערכי כוח מסדר גודל של זמן \(t_0\) בעתיד משפיעים על התאוצה בהווה.
עבור אלקטרון למשל מדובר בסדרי גודל של \(10^{-24}\) שניות.
נערך לאחרונה על ידי orentab ב 14:36 06/01/2011, נערך 30 פעמים בסך הכל.

dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שליחה על ידי dcohen » 06:51 06/01/2011

הסיכום היה מצוין אם היית מסביר מדוע זה הפתרון היחיד של המשוואה.
מה זה run away solution ומדוע יש לפסול אותו.

orentab
הודעות: 16
הצטרף: 12:03 17/04/2010

Re: התאוצה הרגעית נקבעת לפי הכוח בעתיד

שליחה על ידי orentab » 12:40 06/01/2011

הוספתי

שלח תגובה

חזור אל “מבוא לפיסיקה מודרנית”