פרמטר האורך במסילות

שלח תגובה
razidan
הודעות: 76
הצטרף: 00:31 04/10/2012

פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי razidan » 23:34 13/02/2013

לא כל כך ברור לי למה הגדרנו את \(\vec{r}(s(t)) = (\cos(\frac{s}{R})\, ,\, \sin(\frac {s}{R})\, ,\, 0)\) כך.
הבנתי שמשוואות פרנה סרה "נפטרות" מהתלות במהירות אם מבטאים אותן בפרמטר האורך אבל לא ברור לי איך מגיעים לזה.
תודה.

grosfeld
הודעות: 70
הצטרף: 12:35 01/11/2011

Re: פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי grosfeld » 10:50 14/02/2013

פורמלית זה מתבצע כך: אם t הוא פרמטר נתון, ומגדירים s כפי שהגדרנו, אז מקבלים ש-
\(\frac{d\vec{r}(s)}{ds}=\frac{d\vec{r}(s(t))}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\vec{r}(s(t))}{dt}\frac{1}{v(t)}=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}\)
ולכן
\(\left|\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\right|=1\)
שים לב של-"וקטור המהירות" בפרמטר האורך אין יחידות אפילו אם ל-r ול-t היו יחידות - זהו וקטור יחידה חסר יחידות. כלומר, המרחק שהגוף עובר עבור שינוי קטן \(ds\) בפרמטר אורך הוא בדיוק \(|\vec{r}(s+ds)-\vec{r}(s)|=v(s)ds=ds\) (אם ל-ds יש יחידות של אורך אז ברור שהמהירות צריכה להיות חסרת יחידות לפי המשוואה האחרונה, כיוון שלאגף שמאל יש יחידות של אורך). כאשר פרמטר האורך גדל ב-1 גם המרחק שעבר האובייקט לאורך המסילה גדל ב-1.

razidan
הודעות: 76
הצטרף: 00:31 04/10/2012

Re: פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי razidan » 23:49 14/02/2013

לא כל כך ברורה לי הגזירה...

grosfeld
הודעות: 70
הצטרף: 12:35 01/11/2011

Re: פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי grosfeld » 08:36 15/02/2013

נא להגדיר את השאלה טוב יותר

razidan
הודעות: 76
הצטרף: 00:31 04/10/2012

Re: פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי razidan » 11:13 15/02/2013

לא ברורים לי המעברים בשוויונות האלה:

\(\frac{d\vec{r}(s(t))}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\vec{r}(s(t))}{dt}\frac{1}{v(t)}=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}\)

grosfeld
הודעות: 70
הצטרף: 12:35 01/11/2011

Re: פרמטר האורך במסילות

שליחה על ידי grosfeld » 16:56 15/02/2013

\(ds/dt=v(t)\) לפי ההגדרה האינטגרלית של \(s\).
\(dx/dy=1/(dy/dx)\) זהו משפט על פונקציה הפכית: אם \(y=f(x)\) ורוצים לחשב את הנגזרת \(dx/dy\) אזי נכתוב \(x=f^{-1}(y)\) ונקבל \(f^{-1}(f(x))=x\). נגזור את המשוואה האחרונה: \(\frac{df^{-1}(y)}{dy}\frac{dy}{dx}=1\) ולכן \(dx/dy=1/(dy/dx)\).
לבסוף \(dr/ds=(dr/dt)(dt/ds)\) זהו כלל השרשרת לגזירה.

שלח תגובה

חזור אל “מבוא לשיטות מתמטיות”