2011 מועד ג' שאלה 5

[orya]

היי מקסים

תוכל לתת הסבר בבקשה לשאלה 5 סעיף ג?

2011ג ש5ג.JPG (33.14 KiB) נצפה 413 פעמים

ראיתי שיש פיתרון בדף שיעורי בית. אבל האם קיים פיתרון אחר "פשוט" יותר?
כלומר האם אפשר לפתור את זה בדרך אחרת כלשהיא שפתירת סעיפים א' וב' עוזרת לפיתרון?
לא הבנתי בפתרונות של העבודת בית איך הם הגיעו מבלי חישוב שאלו הן ההתמרות של f ו- g. זה נראה כמו וריאציה על ההתמרה הבסיסית של האקספוננט בערך מוחלט רק על קטעים כללים.

תודה

[mlstudy]

אני לא רואה כל כך קשר בין סעיפי א,ב לבין סעיף ג, כך שלא נראה לי שיש דרך פשוטה יותר.
זוהי משוואה אינטגרלית סטנדרטית, וכדי לפתור אותה משתמשים במשפט הקונבולוציה:
אם \(f\in L_{pc}^1(\mathbb{R})\) ו \(g\in L_{pc}^1(\mathbb{R})\) או \(g\in L_{pc}^2(\mathbb{R})\) אז התמרת הפורייה של הקונבולוציה בינהן נתונה ע"י מכפלה:
\(\mathcal{F}\left(f\ast g\right)=2\pi \hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\)

הדרך לפתור משוואה אינטגרלית כזאת היא לבצע התמרת פורייה על שני צידי המשוואה, לבודד את \(\hat{f}(\omega)\) ואז לבצע התמרת פורייה הפוכה.
כמובן בסוף הפתרון צריך לוודא שהתנאים של משפט הקונבולוציה אכן התקיימו (ניתן לוודא אותם רק אחרי שמוצאים את \(f\)).