טעויות נפוצות במועד ב'1

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

טעויות נפוצות במועד ב'1

שליחה על ידי mlstudy » 16:05 01/10/2014

עד כה, נבדקו שאלות 1,2 ו4. אני אתן את הטעויות הנפוצות שהיו בתרגילים אלו, כדי שתלמדו מהם לקראת המועד הבא.
לא על כל הטעויות ירד ניקוד.

שאלה 1:
*שימוש במשפט הקונבולוציה בלי לבדוק את התנאים לשימושו (התנאים הם שאחת הפונקציות בקונבולוציה צריכה להיות ב\(L^1\) והשנייה ב\(L^1\) או ב\(L^2\)).
*שימוש במשפט פלנשראל בלי לבדוק את התנאים לשימושו (התנאים הם שתי הפונקציות צריכות להיות ב\(L^2\)).
*שימוש בהתרת פורייה הפוכה בגירסא הנקודתית שלה, בלי לבדוק את התנאים.
*בהוכחת תכונה 3 של קירוב יחידה \(\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}-[-\delta,\delta]}h_n(x)dx=0, \forall \delta\geq 0\right)\), הרבה לא הוכיחו כמו שצריך.
*הרבה לא הזכירו את העובדה שמותר להשתמש במשפט קירוב יחידה כי \(f\) רציפה בנקודה a.
*שימוש במשפט ההתכנסות החסומה (או משפט פוביני??) כדי להכניס את הגבול לתוך האינטגרל. שימו לב כי לא בהכרח ניתן במקרה זה להכניס את הגבול לתוך האינטגרל (תלוי בפונקציה \(f\)).



שאלה 2:
*בבדיקת התכנסות במ"ש, הרבה חישבו את הגבול \(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-\pi\leq x \leq \pi}|f_n(x)|\). שימו לב כי אם הגבול הזה לא קיים (או שהוא אינסוף), אז אכן אין התכנסות במ"ש, ואם הגבול הוא אפס אז יש התכנסות במ"ש לפונקציית האפס. אבל פרט לשני המקרים הללו, לא ניתן להשיק כלום על התכנסות במ"ש.
*בלבול בגבולות של אינטגרל (במקום אינטגרל בגבולות \([-\pi,\pi]\), חושב אינטגרל בגבולות \((-\infty,\infty)\).
* בבדיקות התכנסות במ"ש חושב אינטגרל \(\lim_{n\rightarrow\infty}\int|f_n(x)|dx\). להתכנסות במ"ש אין שום קשר לאינטגרל..
*בלבול בין ערך מוחלט ונורמה.
*בחישוב נורמת \(L^2\) של \(\sum_k u_k(x)\), חישבו את הביטוי \(\int \sum_k \left| u_k(x) \right|^2 dx\) במקום \(\int \left| \sum_k u_k(x) \right|^2 dx\). שני הביטויים שווים רק אם \(u_k(x)\) הן פונקציות אורטוגונליות.

*בבדיקת התכנסות במ"ש, אמרו משהו בסגנון \(\sup_{-\pi\leq x \leq \pi}|f_n(x)| \leq \text{something}\), כאשר הביטוי something שאף לאינסוף. מכאן הסיקו כי אין התכנסות במ"ש.
*התכנסות במ"ש של סידרת פונקציות גוררת את העובדה שהפונקציה הגבולית היא פונקציה רציפה, רק אם הפונקציות בסידרה עצמה היו רציפות (הרבה שכחו להזכיר את זה).
*בחישוב הסופרימום, הציבו \(x=\frac{\pi}{2k}\) כדי שהסינוס יהפוך לאחד. שימו לב כי \(k\) הוא אינדקס סכימה, לכן אי אפשר להציב נקודה כזאת.
*בלבול איזו התכנסות גוררת איזו התכנסות (בנורמת \(L^2\), במ"ש, התכנסות נקודתית).
*הנחה כי אם ביטוי כלשהו (something) הוא חסום מלמעלה, אז \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}\cdot \text{something}\) מתבדר.
*הנחה כי \(f_n\) מתכנסת לפונקציית האפס.
*הנחות לא מבוססות על הנגזרת של \(h(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} h_n(x)\) (אם היא קיימת או לא, ואם כן האם היא רציפה למקוטעין).
*ביצוע אינטגרל לבדיקת התכנסות במ"ש.
*תנאים לא נכונים להחלפת סדר סכימה/אינטגרציה (גם כשמותר להחליף, הסיבות למה מותר היו מוזרות, כמו העובדה שהפונקציות רציפות, או כלל ללא סיבה, או ע"י ציון שמו של פוביני בלי להזכיר שום דבר נוסף).
*הכנסת ערך מוחלט לתוך סכום/אינטגרל ללא סיבה, ולומר שהביטויים שווים.
*בבדיקת התכנסות (במ"ש, בנורמה), בדקו רק את \(\int h_n(x)dx, \hspace{5 mm} ||h_n||, \hspace{5 mm} \left| h_n(x) \right|\) ללא הפונקציה הגבולית. אני מזכיר שהתכנסות בנורמה אומרת ש \(||h_n-h||\) שואף לאפס, ולא \(||h_n||\).
*שימוש בלמה של רימן לבג כדי להוכיח התכנסות ב\(L^2\).
*שימוש בביטוים כמו \(\lim_{n\rightarrow\infty} \int \sum_{k=1}^{\infty} \text{something}\) (הביטוי בתוך האינטגרל כלל לא תלוי ב\(n\)).
*כמעט אף אחד לא כתב מה הוא מחשב, לכן הייתי צריך לנחש זאת (לא תמיד בהצלחה).


שאלה 4:
*כמו בתרגיל 1, הוכחה שגויה של תכונה 3 של קירוב יחידה.
*כמו בתרגיל 1, הרבה לא הזכירו את העובדה ש\(f\) רציפה ב\(x=0\), ולכן מותר להשתמש במשפט קירוב יחידה.

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: טעויות נפוצות במועד ב'1

שליחה על ידי mlstudy » 12:30 21/07/2015

הקפצה של פוסט מקיץ 2014

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”