על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי benlavy » 00:36 05/12/2014

שלום,
יש לי שתי שאלות על התרגול.

1) היה תרגיל אשר בו המטרה שלנו הייתה להוכיח כי לא קיימת f מחזורית ורציפה למקוטעים כך שעבור כל g מתקיים f*g=g, בפתרון הוגדרה Xm ונאמר כי המקדם הm שלה הינו 1, וזה ברור לי, אבל בהמשך הסקת מסקנה שהמקדם הm של f הנו גם 1 ומכאן כבר אמרת שזו סתירה ללמה של רימן לבג, וזה ממש לא ברור לי מדוע? הרי מה שהראנו בסך הכל זה שמקדם מסויים של f במקום הm הוא 1, אבל עדיין שאר המקדמים אפסים לא? ואז איפה פה הסתירה?..ובנוסף אם מתקיימת סתירה בגלל מקדמי f אז ניתן גם לומר זאת גם על מקדמי פונק' Xm לא? כי הרי גם עליה הראנו שהמקדם הm הנו 1.
בבקשה אני מאוד אשמח לקבל הסבר.

2)לאחר שהגדרת מהו פולינום טריגונומטרי, הייתה שאלה לגבי פונק' g(שbn המקדמים שלה), והיינו צריכים להראות שהיא פולינום טריגונומטרי. לפי מה שאני הבנתי בסך הכל הוכחנו שהחל מM מסויים מתקיים שbn=0 אבל לא ממש ברור לי מדוע מכך ניתן להסיק כי פונק' g היא פולינום טריגונומטרי?

תודה מראש,

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי RanSharon » 08:20 05/12/2014

1) מה שהראנו היה שהמקדם פורייה ה-m של f הוא 1, אבל לא ששאר המקדמים הם אפס. נסמן את מקדמי פורייה של f ב \(\gamma_n\), ואת מקדמי פורייה של \(\chi_m\) ב \(\gamma'_{m,n}\), אז מהתרגיל שעשינו שקושר את מקדמי פורייה של הקונבולוציה עם מקדמי פורייה של הגורמים, מקבלים שלכל n שלם \(\gamma'_{m,n}=\gamma'_{m,n}\cdot \gamma_n\) ולכן לכל n או \(\gamma'_{m,n}=0\) או \(\gamma_n=1\), מכיוון ש \(\gamma'_{m,m}=1\) מקבלים \(\gamma_m=1\) אבל מכיוון ששאר המקדמים של \(\chi_m\) הם אפסים אי אפשר להסיק בינתיים שום דבר על שאר מקדמי הפורייה של f. אבל, מכיוון שהבחירה של m שרירותית, אפשר לעשות את אותו דבר לכל m שלם ולהראות שכל מקדמי הפורייה של f הם 1. וזאת סתירה ללמה של רימן-לבג. לסיכום, העבודה עם כל \(\chi_m\) הראתה לנו שמקדם פורייה ספציפי של f צריך להיות 1, והשילוב של העובדה שזה צריך להתקיים לכל m נתן לנו את זה שכל מקדמי הפורייה של f הם 1 בסתירה ללמה של רימן-לבג.

2) \(g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_{n}e^{inx\), מכיוון שהמקדמים מתאפסים עבור |M<|n, מקבלים \(g(x)=\sum_{n=-M}^Mb_{n}e^{inx\), ולכן g פולינום טריגונומטרי לפי הגדרה.

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי benlavy » 18:37 06/12/2014

1) האם אבל כאשר אני בוחר m שונה, משמע אני בוחר Xm שונה כי הm עצמה משתנה לא?, אז זה לא אומר שאני בעצם כל פעם עם בחירת m שונה פשוט משנה את הפונקציה g שלי? ואז זה לא בעיה?


תודה רבה על העזרה !

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי RanSharon » 20:01 06/12/2014

זה לא בעיה, כי בשאלה מבקשים להוכיח שאין f שמקיימת את התנאים האלה לכל g, ולכן אנחנו יכולים לקבע את f ולבחור כל פעם g שונה וכך מגיעים לסתירה (כמו שעשינו)

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי benlavy » 17:54 07/12/2014

אז כאילו מותר לנו לבחור פונקציה g(m)=Xm אשר יכולה להשתנות בהתאם לערכי m, ואז עבור הפונקציה הספציפית הזו g(m) שבחרנו הראנו באמת שלא קיימת f שכזו ואז כמובן לא קיימת f כזו עבור כל g, האם הבנתי נכון? כי לומר שסתם כך מותר לנו לקחת כל פעם g אחרת לחלוטין(ללא להגדיר זאת כg(m)= Xm) זה עדיין לא ברור לי למה אפשר לעשות זאת?

תודה,

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי RanSharon » 18:41 07/12/2014

צריך להראות שלא קיימת f שמקיימת את התנאי לכל g.
הנחנו בשלילה כי קיימת f כזו.
לכל m שלם התבוננו בקונבולוציה של f עם \(\chi_m\) וקיבלנו משם שהמקדם פורייה ה-m של f צריך להיות 1.
מכיוון ש f אמורה לקיים את התנאי של השאלה לכל אחת ואחת מה- \(\chi_m\), קיבלנו שכל המקדמי פורייה של f הם 1.
יכולה להיות f שתקיים את תנאי השאלה עבור \(\chi_m\) מסויימת, הוכחנו משהו דומה גם בתרגיל הבא בתרגול, אבל לא קיימת f שמקיימת את התנאי עבור כל ה \(\chi_m\)

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: על תרגול כיתה 6 של יוני(שרן העביר)

שליחה על ידי benlavy » 23:24 07/12/2014

הבנתי סוף סוף! תודה רבה לך על העזרה!

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”