מכפלה פנימית

[benlavy]

שלום,
האם כאשר יש לי ממ"פ אז יש עליו בהכרח רק מכפלה פנימית אחת ויחידה? כך שגם אם לא מגדירים לי מכפלה פנימית בתרגיל מסוים, אני אמור לדעת שכל עוד מדובר במרחב מסוים, אז אני עובד איתו במכפלה הפנימית שלו תמיד?

תודה,

[RanSharon]

כשמדברים על מרחב מכפלה פנימית, הכוונה היא לזוג של מרחב וקטורי ומכפלה פנימית המוגדרת עליו.
כלומר הכוונה היא למכפלה פנימית ספציפית.
יש מרחבים שבהם לפעמים לא מציינים על איזו מכפלה פנימית מדובר משום שיש אופציה אחת סטנדרטית (כמו ב \(\mathbb{R}^n\)).
נקודה נוספת, שלא נראה לי שאליה התכוונת אבל אני אבהיר אותה בכל זאת, היא שבהינתן מרחב וקטורי ומכפלה פנימית עליו, תמיד ניתן למצוא מכפלות פנימיות נוספות עליו, על ידי כפל של המכפלה הפנימית המקורית בסקלר חיובי.
במכפלות הפנימיות הנוספות האלה (שמגיעים אליהן ע"י כפל בסקלר), הקירובים המיטביים נשארים כמו שהם היו במ"פ המקורית, אבל לפעמים ניתן למצוא מכפלות פנימיות נוספות שמשנות את המבנה של המרחב ואת הקירובים המיטביים, כמו המ"פ שמופיעות בתרגיל 5 (בסעיפים שהן אכן מ"פ).

[benlavy]

אוקי, אז בעצם לכל מרחב וקטורי שמוגדרת עליו מכפלה פנימית, תמיד ניתן למצוא עוד מכפלות פנימיות אשר יוגדרו על אותו המרחב?

תודה רבה!

[RanSharon]

נכון, לפעמים אלה מכפלות פנימיות שלא משנות את הגיאומטריה (כמו הכפלה בסקלר חיובי של מה שנתון), ולפעמים אלה מכפלות פנימיות שמשנות את הגיאומטריה של המרחב לחלוטין.