לגבי התכנסות של טור פוריה

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 15:57 23/12/2014

שלום,
רציתי לוודא מספר דברים:
1) שאנו עוסקים בטורי פוריה אנו עוסקים בהם המרחב lpc2 ממינוס פאי עד לפאי בלבד? ולא במרחבים אחרים נכון?
2)עצם זה שפונק' מסוימת שייכת למרחב lpc2 ממינוס פאי עד פאי, זה אומר בהכרח שיש לה טור פוריה?
3)טור פורייה של פונק' מסוימת לא בהכרח שווה לכל x לפונק' עצמה? (זה מה שנקרא שאין בהכרח התכנסות נקודתית של הטור פוריה של הפונק' אל הפונקציה?)
4)טור פורייה של כל f במרחב בהכרח מתכנס לפונקציה f בנורמה ? והכוונה בנורמה היא לאינטגרל ממינוס פאי אל פאי של 2^|f|?
5)האם מוגדרות על המרחב הזה נורמות נוספות חוץ מזו שציינתי? והאם טור פורייה מתכנס לפונק' גם בנורמות אלו?

תודה רבה וסליחה על כמות השאלות הרבה!

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי RanSharon » 16:06 23/12/2014

1) נכון, יש גם הכללה של טורי פורייה למרחבי פונקציות על קטעים סופיים שאינם \([-\pi,\pi]\), אבל עוד לא הגענו לזה.
2) כן, זאת המשמעות של זה שהמערכת הטריגונומטרית סגורה במרחב הזה
3) נכון, טור פורייה עשוי להתבדר בחלק מהנקודות וזה קורה אפילו לחלק מהפונקציות הרציפות.
4) כן, שוב, זו המשמעות של זה שהמערכת הטריגונומטרית היא סגורה
5) כן, בחלקן הוא יתכנס ובחלקן לא. לדוגמה, מוגדרת במרחב נורמת האינסוף ובה הטור לא יתכנס (כי טור פורייה באופן כללי לא מתכנס במ"ש לפונקציה), אבל גם מוגדרת על המרחב הזה נורמה 1, ובה תהיה התכנסות (כי במרחבי פונקציות מקטע סופי התכנסות בנורמה 2 גוררת התכנסות בנורמה 1).

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 16:23 23/12/2014

א)לגבי 3) רק כדי להיות בטוח שהבנתי, שוב אני שואל אם לא בהכרח טור פורייה של פונק' יהיה שווה לפונק' עצמה לכל x?

ב) ולגביי 4), הנורמה הזו (אינטגרל ממינוס פאי אל פאי של 2^|f|) שבה הטור פורייה של f מתכנס לf מוגדרת כנורמת 2 על המרחב שבו אנו עוסקים נכון?

תודה רבה!

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי RanSharon » 16:25 23/12/2014

א) נכון, לא בהכרח טור פורייה מתכנס נקודתית לפונקציה, לפעמים הוא עלול לא להתכנס בכלל בנקודה מסויימת, לפעמים הוא עלול להתכנס לערך שונה מהערך של הפונקציה.
ב) נכון, עם שורש על האינטגרל הזה.

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 16:37 23/12/2014

רק הבהרה נוספת בבקשה, שאתה אומר שטור פורייה מתכנס נקודתית לפונקציה אז זה אותו הדבר כמו להגיד שטור פוריה של f שווה לf לכל x בתחום בין פאי למינוס פאי? זו הכוונה במתכנס נקודתית? (כי אני לא בטוח לגמרי במשמעות המונח של טור פורייה מתכנס נקודתית לפונק').

שוב המון תודה!

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי RanSharon » 16:46 23/12/2014

כן

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 16:57 23/12/2014

אוקי תודה רבה!

שאלה נוספת היא האם יכול להיות מצב שבו טור פוריה של f מתכנס בנורמה אינסוף ל f נכון? וכאשר זה קורה אז נאמר שהטור פוריה של f מתכנס במידה שווה ל f נכון?

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי RanSharon » 17:06 23/12/2014

כן וכן. התכנסות בנורמת אינסוף והתכנסות במ"ש זה אותו הדבר.

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 22:46 23/12/2014

רציתי בבקשה לחדד את העניין של התכנסות של טור פורייה של f בנורמת 1 במרחב שעליו אנו מדברים, האם כל טור פוריה של פונק' f מתכנס בנורמה 1 לפונק' f?

תודה!

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: לגבי התכנסות של טור פוריה

שליחה על ידי RanSharon » 22:49 23/12/2014

כן, כל טור פורייה מתכנס בנורמה 2, ובקטע סופי התכנסות בנורמה 2 גוררת התכנסות בנורמה 1.

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”