התמרת פורייה הפוכה - תיקון למה שנאמר בתרגול

[RanSharon]

בתרגול אמרתי שאם \(f,\hat{f}\in G(\mathbb{R})\) וגם \(f\) רציפה אז בכל נקודה \(x\) בה קיימות הנגזרות החד-צדדיות מתקיים:
\(f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}\left(\omega\right)e^{i\omega t}d\omega\)

זה נכון, אבל יש תנאים חלשים יותר שגוררים את התוצאה הזאת:

1. אם \(f\in G(\mathbb{R})\) אז בכל נקודה x שקיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים:

\(\frac{f\left(x+\right)+f\left(x-\right)}{2}=\lim_{M\to\infty}\int_{-M}^{M}\hat{f}\left(\omega\right)e^{i\omega t}d\omega\)

ובפרט אם f רציפה אז הגבולות הימני והשמאלי שווים ומקבלים:

\(f\left(x\right)=\lim_{M\to\infty}\int_{-M}^{M}\hat{f}\left(\omega\right)e^{i\omega t}d\omega\)


2. אם \(f\) רציפה ומתקיים \(f,\hat{f}\in G(\mathbb{R})\) אז:

\(f\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\omega\right)e^{i\omega t}d\omega\)

כלומר, אפשר לוותר או על זה שההתמרה של f אינטגרבילית בהחלט או על קיום הנגזרות החד-צדדיות ולקבל את נוסחת ההיפוך (אבל אי אפשר לוותר על שני הדברים ביחד).