תשובות לשאלות ההכנה

מנהל: RanSharon

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 11:17 24/01/2015

אני מצרף את הפתרונות שלי לשאלות ההכנה, אני מקווה שאין טעות.
קבצים מצורפים
FinalReviewQuestions.pdf
(116.21 KiB) הורד 349 פעמים

firestie
הודעות: 19
הצטרף: 21:09 21/10/2013

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי firestie » 12:08 24/01/2015

בנוגע לשאלה 4,
f' אינה רציפה, לכן היא גם אינה גזירה, אז מדוע 1 לא נכון?

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 12:22 24/01/2015

הבעיה היא לא ש \(f\) אינה גזירה פעמיים באפס, אם היא לא היתה גזירה פעמיים אבל הנגזרות החד צדדיות (הראשונות) היו שוות היינו יכולים להפעיל את המשפט.
הבעיה פה היא שהנגזרת מצד ימין ומצד שמאל שונות, ואז יש ממש קפיצה בנגזרת בנקודה \(x=0\).
אם היינו לוקחים נגיד את הפונקציה \(f\left(x\right)=xe^{-|x|}\) לא היינו נתקלים בבעיה הזו, למרות שהיא לא גזירה פעמיים באפס.

noamman
הודעות: 5
הצטרף: 11:11 26/10/2013

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי noamman » 13:18 24/01/2015

בשאלה 3 לדעתי יש לך טעות בשימוש בנוסחה של התמרה של e^-ax^2 : הכפלת בשורש שני פאי במקום לחלק, ולכן עדיין אף תשובה לא נכונה אבל יוצאת התשובה של סעיף a עם סימן מינוס.

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 15:33 24/01/2015

איפה הטעות? לפי מה שיש אצלי, הנוסחה היא \(\hat{g_{c}}\left(\omega\right)=\sqrt{\frac{\pi}{c}}e^{-\frac{\omega^{2}}{4c}}\) כאשר \(g_{c}\left(x\right)=e^{-cx^{2}}\)
ואז ההתמרה של \(g_{2}\left(x\right)=e^{-2x^{2}}\) היא \(\hat{g_{2}}\left(\omega\right)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{\omega^{2}}{8}}\) כמו שרשמתי.
אני מפספס משהו לדעתך?

בעקבות כמה בקשות, אני מוסיף הסבר בעברית לשאלה 1:
קל לראות שהקבוצה הזאת היא לא אורתוגונלית (מספיק לקחת שני אינדיקטורים של קטעים חופפים), לכן תשובה א לא נכונה.
עכשיו בעצם כל שאר הסעיפים זה:
ב) הקבוצה היא "יוצרת" בנורמה 2
ג) הקבוצה לא "יוצרת" בנורמה 1
ד) הקבוצה "יוצרת" בנורמה אינסוף.

כלומר צריך להחליט ביחס לאיזה נורמות הקבוצה היא יוצרת ביחס לאיזה היא לא.
נתחיל מלהראות שהיא יוצרת בנורמה 1 ו-2. בשביל להראות את זה צריך לקחת פונקציה שרירותית ולקרב אותה באופן שרירותי ע"י צירופים סופיים מהקבוצה.
ניקח פונקציה \(f\in L^2_{PC}[0,1]\) כלשהי. כבר ראינו בכיתה שאפשר לקרב אותה במידה שווה ע"י פונקציות קבועות למקוטעין, ולכן ניתן גם לקרב אותה בנורמה 1,2 ע"י פונקציות קבועות למקוטעין (כי אנחנו בקטע סופי).
אז לקחנו פונקציה רציפה למקוטעין והראינו שאפשר לקרב אותה ע"י פונקציות קבועות למקוטעין, אבל לא סיימנו בזה, כי אולי הפונקציות האלה הן בעלות נקודות קפיצה אי-רציונליות, ואין לנו פונקציות כאלה בקבוצה.
לכן אנחנו צריכים לעשות צעד נוסף, ולהראות שאפשר לקרב פונקציה קבועה למקוטעין ע"י פונקציה קבועה למקוטעין עם נקודות קפיצה רציונליות.
מכיוון שמה שאפשר לקרב זה תת-מרחב, מספיק להראות שאפשר לקרב פונקציית אינדיקטור כלשהי, כי כל הפונקציות הקבועות למקוטעין הן צירופים של אינדיקטורים.
ניקח פונקציית אינדיקטור, ונזיז את הקצוות שלה טיפה פנימה ככה שיפלו על מספרים רציונלים (תיאור פורמלי לאיך עושים את זה יש בקובץ שצירפתי בהתחלה). אז נגיע לקירוב שלה בנורמות 1 ו-2 (אבל לא בנורמת אינסוף) ע"י פונקציות מהקבוצה שלנו.
לסיכום, עם צירופים של פונקציות מהקבוצה שלנו אפשר לקרב כל פונקציה קבועה למקוטעין, וכל פונקציה רציפה למקוטעין ניתן לקרב ע"י קבועה למקוטעין, ולכן ניתן לקרב עם צירופים של פונקציות מהקבוצה שלנו כל פונקציה רציפה למקוטעין, ולכן ב' נכון וג' לא נכון.

נשאר להפריך את ד'. הדוגמה שהשתמשתי בה בתשובה שלי היא אינדיקטור של קטע עם קצוות אי רציונליים. מכיוון שיש לנו בקבוצה רק פונקציות עם נקודות קפיצה רציונליות, אי אפשר לקרב במ"ש פונקציה כזאת.

אני מקווה שזה עוזר לפזר את הערפל.

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי cosagi » 16:56 24/01/2015

רן, בקשר לשאלה 3:
בתרגול עם אנה נאמר שההתמרה של exp(-ax^2) היא:
[1/2sqrt[a*pi והביטוי הזה כפול אותו אקספוננט שגם יצא לך (בחזקת מינוס אומגה בריבוע חלקי 4a).

מה הנוסחא הנכונה של ההתמרה?
כי אני גם ראיתי בעוד כמה מקומות שזה כמו שראינו בכיתה, וזה נראה לי מאוד קריטי בגלל שהמבחן מורכב משאלות אמריקאיות.

תודה.

barhe
הודעות: 14
הצטרף: 19:42 20/10/2013

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי barhe » 18:02 24/01/2015

רן בקשר לשאלה 3 זאת לא הנוסחא

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 18:14 24/01/2015

צודקים, השתמשתי בנוסחה לא נכונה...
הסתמכתי על איזה תרגול משנים קודמות ששכחו לחלק שם ב \(2\pi\).
הנוסחה הנכונה היא היא כמו ש cosagi רשם.
עדיין התשובה הנכונה יוצאת e בגלל שצריך לחלק ב-i ולא לכפול ב-i.
אני מעדכן את הקובץ.
תודה

tamirz
הודעות: 12
הצטרף: 13:06 25/10/2013

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי tamirz » 19:47 24/01/2015

רן,תקן אותי אם אני טועה,אבל חלוקה בi זה כמו הכפלה במינוס i
לכן כמו שרשמו למעלה,זה נראה כאילו התשובה היא a עם טעות של מינוס..
למרות שהתשובה יכולה להיות באותה מידה e,פשוט כי חסר המינוס הזה ואז גם a לא נכון..

אה,ואם אתה יכול להסביר איך גזרת את f(x) בשאלה 3 לפי x,ובכללי כשיש לך נגזרת לפי משתנה שנמצא גם בגבולות
ואיך היית גוזר לדוגמא אם הנגזרת הייתה לפי t?

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 21:23 24/01/2015

אתה צודק... התשובה היתה a אם לא היה המינוס הזה. אני חושב שאולי דני לא עשה את זה בכוונה, אני מחכה לתשובה ממנו.
אני מצרף לינק שמסביר איך עושים את הגזירה של האינטגרל:
http://www.mathmistakes.info/facts/Calc ... i/doi.html

אף היא לא פונקציה של טי. טי הוא רק משתנה אינטגרציה.

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי cosagi » 22:02 24/01/2015

אפשר סיכום בקשר לתשובה בשאלה 4?
כדי להשתמש בכלל, הפונקציה f צריכה להיות גם רציפה בעצמה וגם גזירה ברציפות n פעמים?
ממה שכתוב לי במחברת, עבור הכלל הרגיל (לא n פעמים) f צריכה להיות רציפה ומספיק שתהיה גזירה ברציפות למקוטעין.
מה אני מפספס פה?

תודה

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 22:09 24/01/2015

רוצים להשתמש בכלל של הגזירה פעמיים.
כלומר רוצים להפעיל אותו גם על הנגזרת של הפונקציה.
ולכן הנגזרת צריכה להיות רציפה וגזירה ברציפות למקוטעין.
להגיד שהנגזרת רציפה זה כמו להגיד שהפונקציה גזירה ברציפות.

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי cosagi » 22:26 24/01/2015

הבנתי, תודה רבה.

tamirz
הודעות: 12
הצטרף: 13:06 25/10/2013

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי tamirz » 11:09 25/01/2015

רן,אתה יכול להסביר בבקשה את הפתרון שלך לתרגיל 2?
לא ממש הבנתי את מה שעשית עם המשולשים,אשמח להבהרה נוספת :)

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: תשובות לשאלות ההכנה

שליחה על ידי RanSharon » 14:20 25/01/2015

אחת הטענות היא שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות בנורמה 2.
בשביל להפריך את זה אני לוקח סדרת פונקציות, שכל פונקציה נראית כמו משולש, כאשר המשולשים האלה הולכים ומתרחבים והולכים ונהיים נמוכים יותר ויותר.
מכיוון שהגובה של המשולשים שואף לאפס, הסדרה הזאת תתכנס במ"ש לפונקציית האפס. בגלל שהם מתרחבים הרבה יותר מהר מהמהירות שהם נהיים נמוכים, השטח ילך לאינסוף ולא תהיה התכנסות בנורמה 2.

טענה אחרת היא שהתכנסות בנורמה 2 גוררת התכנסות במ"ש.
בשביל להפריך את זה ניקח משולשים בגובה קבוע ורוחב ששואף לאפס. אז השטח ישאף לאפס ולכן תהיה התכנסות בנורמה 2, אבל הגובה קבוע ולכן לא תהיה התכנסות במ"ש.

הטענה השלישית היא שאם הסדרה היא חסומה, אז התכנסות בנורמה 2 גוררת התכנסות בנורמה 1. בשביל זה אני לוקח סדרת משולשים בגובה \(\frac{1}{n}\) וברוחב \(2n\) אז השטח שלהם נשאר 1 קבוע, אבל אם אני מעלה אותם בריבוע ואז מחשב את השטח, מקבלים שהשטח שואף לאפס. לכן יש התכנסות בנורמה 2 אבל לא בנורמה 1, מה שמפריך את הטענה.

הטענה הרביעית היא שאם הסדרה חסומה אז התכנסות בנורמה 1 גוררת התכנסות בנורמה 1. זה משהו שהייתם צריכים להוכיח בעבודת בית, ויש לזה פתרון באתר.

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”