הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
idanpal
הודעות: 33
הצטרף: 00:06 21/10/2013

הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי idanpal » 12:41 25/01/2015

אם יש לי סדרה שמתכנסת לגבול L, לפי ההגדרה של חדו"א 1, האם כאשר בודקים התכנסות בנורמה (בהנחה שהיא קיימת) הגבול חייב להיות זהה? (לכל אחת מהנורמות)
ואם לא - עבור איזה נורמה זה כן מתקיים?

שאלה נוספת בנושא - בשאלה 3 בבוחן, מצאנו שהסדרה מתכנסת בכל אחת מהנורמות, בנורמת 2 ואינסוף מתכנסת ל-0 ואילו בנורמת 1 מתכנסת ל1. אבל, התשובה שסומנה היא שהסדרה לא שייכת ל-l1 (כלומר לא מתכנסת בנורמת 1). איך יכול להיות שהסדרה לא שייכת ל-l1 אבל כן מתכנסת לגבול סופי ב-l1? (ובהמשך לשאלה ממקודם - האם זה קשור לזה שכאן הגבול שונה?)

תודה מראש

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי cosagi » 14:19 25/01/2015

שאלה קשורה, אם אנחנו כבר פה:
בשאלה 3 מוגדרת Vn סדרה של סדרות.
במקרה הספיציפי הזה, כל אחת מהסדרות (שהיא איבר של Vn) מתכנסת קואורדינטה-קואורדינטה לסדרה אפסים, אז בוודאי שגם במקרה של נורמת אינסוף הסופרמום גם מתכנס לסדרה אפסים כלומר ל0.
אבל אם הייתה לי סדרת סדרות אחרת Vn (של מספרים), איך אני יכול לדעת מהו הסופרמום שלה? כלומר, מהי הסדרה הגדולה ביותר מבין כל הסדרות שלה? הרי אין יחס של גודל בין סדרה אחת לאחרת...
כשיש סדרה של פונקציות אז אני מבין איך מוגדר הסופרמום, הוא יהיה פשוט הפונקציה עם הערך הגבוה ביותר. אבל לא מבין איך זה קורה בסדרות של מספרים.

תודה.

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי RanSharon » 14:34 25/01/2015

מה זה אומר שסדרת פונקציות מתכנסת לגבול לפי הגדרות של חדוא 1?
במרחבי פונקציות Lp, אם יש התכנסות נקודתית או התכנסות בנורמה p כלשהי לפונקציה אחת, לא יכולה להיות התכנסות בנורמה p שונה לאף פונקציה אחרת

בשאלה 3 - לא הראינו שהסדרה מתכנסת לוקטור שהוא הסדרה 1,1,1,1. הראינו שכשאנחנו מחשבים את המרחק של הסדרה מוקטור האפס, הוא נשאר קבוע 1, ולכן אין התכנסות של הסדרה לוקטור האפס.

קוסאגי - זה שיש התכנסות קואורדינטה קואורדינטה זה לא מספיק להתכנסות בנורמת אינסוף, בשביל זה צריך גם שהכל יתכנס באותו קצב. את השאלה שלך אני לא ממש מבין.
אם היתה לך סדרת וקטורים אחרת, מהי הסדרה הגדולה ביותר מבין הסדרות שלה - למה הכוונה?
הסופרמום הוא לא הפונקציה עם הערך הגבוה ביותר... הנורמת אינסוף של כל פונקציה הוא הסופרמום על כל הערכים שהיא מקבלת (בערך מוחלט).
באותו אופן בסדרות, הנורמת אינסוף של כל סדרה הוא הסופרמום על הערכים שהיא מקבלת (בערך מוחלט).

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי cosagi » 14:55 25/01/2015

אני אנסה לחדד כי אני עדיין לא מבין:
במקרה ומדברים על סדרה של פונקציות ואני רוצה לבדוק התכנסות בנורמת אינסוף (ונניח שהפונקציה הגבולית היא 0) - אני צריך לבדוק שהסופרמום של הסדרה fn הזאת הולך ל0 כשn הולך לאינסוף? אם כן, אז האם הסופרמום הזה הוא לא פשוט הפונקציה בעלת הערך הגדול ביותר, או הערך הגבולי הגדול ביותר? (מבין f1,f2,f3...)
ובמקרה ומדברים על סדרה של סדרות של ערכים (כמו בשאלה). שוב יוצא שהסדרה הגבולית (אנלוג לפונקציה גבולית) היא סדרה אינסופית של אפסים ולכן כדי לבדוק התכנסות בנורמת אינסוף אני פשוט צריך למצוא את הביטוי
|sup|Vn (כאשר Vn היא סדרה של סדרות) ולראות אם אותה סדרה מתכנסת לסדרה הגבולית (במקרה הזה, סדרת אפסים). מהו הסופרמום הזה?
נראה לי שיש פה משהו מהותי שאני לא מבין, ואני מעדיף להבין אותו לפני יום שלישי.

תודה רבה!

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי RanSharon » 15:21 25/01/2015

אני מקווה שההסבר המצורף יעזור
קבצים מצורפים
A14.pdf
(77.11 KiB) הורד 298 פעמים

cosagi
הודעות: 11
הצטרף: 12:04 22/01/2015

Re: הגדרת התכנסות ווהתכנסות בנורמה

שליחה על ידי cosagi » 16:08 25/01/2015

הבנתי. תודה רבה!

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”