סדרת קושי

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

סדרת קושי

שליחה על ידי benlavy » 19:00 15/02/2015

שלום,
האם במידה והראתי כי סדרה מסוימת היא סדרת קושי במרחב מסויים, אז היא תהיה סדרת קושי גם בכל המרחבים האחרים שבהם היא מוכלת( מרחבים שבהם כל איברי הסידרה מוכלים) ?
או שזה יהיה נכון מידית רק במרחבים שעליהם מוגדרת אותה הנורמה ואותן הפעולות של חיבור וכפל בסקלר כמו במרחב המסויים שבו הוכחתי שהסדרה היא סדרת קושי?
תודה,

RanSharon
הודעות: 175
הצטרף: 10:39 11/11/2014

Re: סדרת קושי

שליחה על ידי RanSharon » 20:33 15/02/2015

רק במרחבים בהם הנורמה היא אותה נורמה (כאשר מצמצמים אותה להפרשים בין איברי הסדרה).
סדרת קושי היא סדרה שהאיברים בה נהיים קרובים אחד לשני יותר ויותר. אתה שם אותם במרחב אחר, שבו אולי מודדים את המרחקים אחרת (אולי הנורמה שונה) ושואל האם זו עדיין סדרת קושי.
התשובה היא שאם המרחקים נשארים קטנים אז כן, ואם מודדים פתאום את המרחקים בדרך אחרת, אז לא בהכרח.
אני אתן לך דוגמה:
אם אתה זוכר, כשדיברנו על למה המרחב \(C[-1,1]\) עם נורמה 1 אינו שלם, הבאנו דוגמה לסדרה של פונקציות רציפות, המתכנסת בנורמה 1 לפונקציה לא רציפה (והיא סדרת קושי כי היא מתכנסת במרחב גדול יותר).
לאחר מכן, הוכחנו שאותו מרחב, עם נורמת האינסוף הוא כן שלם.
אם הסדרה שהשתמשנו בה כדי להוכיח שהמרחב עם נורמה 1 אינו שלם היתה סדרת קושי גם בנורמת אינסוף, היינו מקבלים שגם עם נורמת אינסוף המרחב אינו שלם.
מה שקורה בפועל, הוא שאיברי הסדרה קרובים אחד לשני מאוד בנורמה 1, אבל רחוקים מאוד בנורמת אינסוף.

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”