בוחן 2013 שאלה 5

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

בוחן 2013 שאלה 5

שליחה על ידי benlavy » 16:31 06/05/2015

שלום,
רציתי בבקשה לדעת בבוחן שצירפתי בשאלה 5 מהי התשובה הנכונה? בתשובות המצורפות אמרו שב' זה התשובה, אבל אני חושב שיוסי בעצמו אמר דווקא שא' היא התשובה, הבעיה שאני לא בטוח שאני זוכר נכון מה יוסי אמר, ועל כן מאוד אודה אם יהיה ניתן לעזור ולומר מה התשובה וגם הסבר על כך יתקבל בברכה.

תודה רבה מראש!
קבצים מצורפים
2013 סמסטר א.pdf
(246.37 KiB) הורד 138 פעמים

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: בוחן 2013 שאלה 5

שליחה על ידי mlstudy » 16:41 06/05/2015

ב' היא התשובה הנכונה.

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: בוחן 2013 שאלה 5

שליחה על ידי benlavy » 19:48 06/05/2015

תודה רבה על המענה, יש אפשרות להסביר למה ב' היא התשובה הנכונה?

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: בוחן 2013 שאלה 5

שליחה על ידי mlstudy » 13:10 07/05/2015

התנאי הוא מספיק:
נניח ש\(I\) הוא קטע סופי, ו \(h\) פונק' רציפה וחיובית.

תהי סידרת פונקציות \(\{f_n\}\) שמתכנסת בנורמת \(||\cdot ||_{2,h}\)
נראה שהיא גם מתכנסת בנורמת \(||\cdot ||_{1,h}\).
\(|| f_n-f||_{1,h}=\int_I |f_n(x)-f(x)|h(x)dx = \int_I |f_n(x)-f(x)|\cdot 1 \cdot h(x)dx\)
שזו המכפלה הפנימית בין שתי פונקציות: הפונקציה \(|f_n(x)-f(x)|\) והפונקציה הקבועה 1.
מאי שוויון קושי שוורץ נובע ש:
\(\int_I |f_n(x)-f(x)|\cdot 1 \cdot h(x)dx =<|f_n-f|,1>\leq || \left(|f_n-f|\right) ||_{2,h}\cdot ||1||_{2,h}\)
\(=||f_n-f||_{2,h}\cdot ||1||_{2,h}\)
נשים לב שהביטוי \(||1||_{2,h}\) הוא מספר סופי בגלל ש\(I\) הוא קטע סופי, ו\(h\) רציפה:
\(||1||_{2,h}=\sqrt{\int_I 1^2 \cdot h(x)dx} < \infty\)
בנוסף, נתון ש\(\{f_n\}\) מתכנסת ל\(f\) בנורמת \(||\cdot ||_{2,h}\), ולכן \(||f_n-f||_{2,h}\rightarrow 0\) כאשר \(n\rightarrow\infty\).
מסקנה: \(||f_n-f||_{1,h}\rightarrow 0\) כאשר \(n\rightarrow\infty\), ולכן \(\{f_n\}\) מתכנסת ל\(f\) בנורמת \(||\cdot ||_{1,h}\).


התנאי הכרחי:
נראה שאם \(I\) הוא קטע אינסופי, אז הטענה לא נכונה.
הטענה אומרת שלכל \(h\) שניקח, התכנסות בנורמת 2 תגרור התכנסות בנורמת 1.
ניקח אם כן את \(h\) להיות הפונקציה הקבועה 1, ונמצא סידרת פונקציות שמתכנסת בנורמת 2 אבל לא בנורמת 1.
ניקח למשל סידרת פונקציות \(f_n(x)\) להיות שווה ל\(\frac{1}{n}\) בקטע שאורכו \(n\), ובשאר התחום להיות אפס. (אפשר לקחת סידרה כזאת מכיוון שהקטע \(I\) הוא אינסופי, ולכן תמיד נוכל למצוא תת קטע באורך \(n\)).
הגבול הנקודתי הוא פונקציית האפס.
עכשיו תוכל להראות בעצמך שיש התכנסות לפונקציית האפס בנורמה 2 אבל לא בנורמה 1.

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”