קונבולוציה

[benlavy]

שלום,

ההגדרה של קונבולוציה מכילה את x וt בדרך כלל, מי מביניהם מסמל את המשתנה בקונבולוציה ומי מביניהם מסמל את הנק' שבה אנו רוצים את הקונבולוציה? ומה המשמעות של קונבולוציה בנק' מסויימת?

תודה רבה!

[mlstudy]

המשתנה שמסמל את משתנה האינטגרציה הוא הזה שמופיע ליד האות d בסוף האינטגרל.
למשל, אם בסוף האינטגרל כתוב \(dx\) אז משתנה האינטגרציה הינו \(x\), ואז \(t\) הוא פרמטר בתוך האינטגרל (ואז הקונבולוציה היא פונקציה של \(t\)).

אם בסוף האינטגרל כתוב \(dt\) אז משתנה האינטגרציה הינו \(t\), ואז \(x\) הוא פרמטר בתוך האינטגרל (ואז הקונבולוציה היא פונקציה של \(x\)).

קונבולוציה היא פונקציה לכל דבר (מכיוון שהאינטגרל תלוי בפרמטר, אז היא פונקציה של אותו פרמטר). אם למשל עושים אינטגרל לפי x, אז t הוא הפרמטר החופשי באינטגרל, והקונבולוציה תהיה פונקציה של t. ניתן להציב t ספציפי כלשהו (למשל t=3.7), ולקבל את הקונבולציה בנקודה t=3.7 (בדיוק כמו שניתן להציב \(t=t_0\) ספציפי בפונקציה כלשהי \(f(t)\) ולקבל מספר \(f(t_0)\)).

[benlavy]

הי מקסים,

1)רציתי בבקשה לוודא האם כאשר אנו עושים קונבולוציה של (g*f) אז חובה שg ו f תהיינה פונק' של בדיוק אותו משתנה ושיהיה להן אותו הארגומנט כלומר בהכרח גם (f(x וגם (g(x ? או שייתכן למשל מצב שבו (f(-x ו (g(x? ואפילו ייתן מצב שבו (g(y ו(f(x?
2) האם במצב ש שבו (f(-x ו (g(x אז הקונבולוציה שלהן תיראה כמו בתמונה שצירפתי?

תודה רבה!

[mlstudy]

יתכן כל מה שאמרת. לא חושב שהמשתנה יהיה אותו משתנה.
השם של המשתנה ממש לא חשוב, עושים קונבולוציה בין 2 פונקציות, והשם של המשתנה לא נכנס לתוך הפונקציה.
למשל, פונקציה שעושה סינוס אפשר לכתוב כ \(f(x)=sin(x)\) או כ \(f(y)=sin(y)\). זו אותה פונקציה, ושם המשתנה לא חשוב.
בגלל זה עדיף לכתוב \(f*g\) במקום \(f(x) * g(x)\).

אם רוצים לבצע קונבולוציה בין g לבין \(f(-x)\) אז אפשר להגדיר פונקציית עזר \(h(x)=f(-x)\) ואז לכתוב
\(h*g\). אם תכתוב \(f(-x) * g(x)\) אז עדיין נבין למה אתה מתכוון..

לגבי מה שכתבת בקובץ - זה בסדר גמור.

[elyoni]

יש לי בעיה בהבנה של הפיתוח, אני מגיע לפיתוח שונה
קיים לנו הביטוי \((f(-x)*g(x))(x_0)\)
נגדיר\(f(-x)=h(x)\) ונקבל \((h(x)*g(x))(x_0)\)
לכן נקבל \(\int_{-\infty}^{\infty}h(x_0-x)g(x)dx\) כעת נחזור חזרה ל\(f(x)\) המקורית נקבל
\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x-x_0)g(x)dx\)

והביטוי הזה לא שווה ל \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x_0+x)g(x)dx\)
לפי מה שאני מבין ההזזה היא חלק מהארגומנט של הפונקציה

[mlstudy]

מה שכתבת נכון. אבל אם תחשב את הקונבולוציה בנקודה \(-x_0\) ולא בנקודה \(x_0\) תקבל:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x+x_0)g(x)dx\)

[elyoni]

אוקי תודה אני חשוב שהבנתי אז הפיתוח צריך להיראות כך
\((f(-x)*g(x))(x_0)=(h(x)*g(x))(-x_0)=\)
\(=\int h(-x_0-x)g(x)dx=\int f(x_0+x)g(x)dx\)

בגלל ששיניתי את \(f(-x)\) ל \(h(x)\) הנק' בעצם זזה מ\(x_0\) ל\(-x_0\)

[mlstudy]

כדי שזה יהיה נכון, האיבר הראשון בשוויון אמור להיות
\(\left(f(-x) * g(x) \right) (-x_0)\)
ולא
\(\left(f(-x) * g(x) \right) (x_0)\)

[michaeler]

קונבולוציה של פונק' רציפות למקוטעין היא בעצמה רציפה בכל נקודה?

[mlstudy]

אם הפונקציות במקור היו ב\(L^2_{PC}(\mathbb{R})\) אז התשובה היא כן.
אם אחת מהפונקציות ב\(L^1_{PC}(\mathbb{R})\) אבל לא ב\(L^2_{PC}(\mathbb{R})\), אז הקונבולוציה לא בהכרח תהיה פונקציה רציפה.