תרגול 4

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
razle
הודעות: 4
הצטרף: 13:12 27/10/2013

תרגול 4

שליחה על ידי razle » 10:30 31/05/2015

שלום מקס
אני עובר כעת על תרגול 4, עלתה לי שאלה לגבי תרגיל 4.
נתונה פונקציה 1/n^2 עבור Xים בתחום מסוים ואפס אחרת.
מתבקש שם למצוא האם הפונקציה מתכנסת בנורמה L1, אך אני לא מבין מה הלך שם. ממה שאני רואה נראה שסכמת את כל הפונקציות עבור כל הNים הטבעיים וביצעת אינטגרל על כולן?
האם כך בודקים התכנסות בנורמה?
אשמח אם תבהיר לי את העניין
תודה רבה!

razle
הודעות: 4
הצטרף: 13:12 27/10/2013

Re: תרגול 4

שליחה על ידי razle » 10:34 31/05/2015

ובנוסף לזאת, בתרגיל 1 בחישוב התכנסות בנורמה- מדוע בחרת את f(x) בקטע זה להיות דווקא 0 ולא 1? האם לנקודה בה f(x) היא זהותית 1 אין משמעות בגלל שמדובר על נקודה אחת באינטגרל או שזה משהו אחר?

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: תרגול 4

שליחה על ידי mlstudy » 16:25 31/05/2015

בסעיף א' שאלו האם הפונקציה שייכת למרחבים \(L^1\) ו \(L^2\), ולא אם היא מתכנסת בנורמה.
לא להתבלבל בזה! אלו שני דברים שונים לחלוטין:

פונקציה שייכת למרחב \(L_{PC}^p (a,b)\) אם היא רציפה למקוטעין ובנוסף \(\int_a^b |f(x)|^pdx < \infty\)

סידרת פונקציות \(\{f_n(x)\}\) מתכנסת בנורמת \(L^p\) אם קיימת פונקציה גבולית \(f(x)\) כך ש
\(\lim_{n\rightarrow\infty} || f_n-f||_p = 0\)

כעת לתרגיל 4 עצמו, הפונקציה המדוברת בתרגיל משורטטת בציור המצורף. כדי לבדוק אם היא שייכת למרחב \(L^1\) אני בודק אם
\(\int_{-\infty}^\infty |f(x)|dx<\infty\)
החישוב של האינטגרל הוא בדיוק השטח שמתחת לגרף הפונקציה (כלומר השטח הכולל מתחת למלבנים). כשבודקים אם הפונקציה שייכת למרחב \(L^2\) צריך לבדוק אם
\(\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx<\infty\)
כלומר קודם כל מעלים את הפונקציה בריבוע ואז מחשבים את השטח שמתחת לגרף שלה.


בקשר לתרגיל 1 - הפונקציה שווה לאפס בכל הקטע פרט לנקודה בודדת. נקודה בודדת לא משפיעה על האינטגרל, כלומר אני יכול לשנות את הפונקציה במספר סופי של נקודות איך שבא לי, והאינטגרל עליה לא ישתנה כתוצאה מזה.
בחרתי לשנות אותה בנקודה x=1 להיות אפס (במקום 1). כאמור, השינוי הזה לא משפיע על האינטגרל, ולכן מותר לעשות אותו.
שים לב שאם אני בודק התכנסות במידה שווה אז אסור לי לשנות את הפונקציה הגבולית (גם בנקודה בודדת), מכיוון שבמקרה כזה לא מחשבים שום אינטגרל.
קבצים מצורפים
func.png
הפונקציה מתרגיל 4 בתרגול 4
func.png (22.55 KiB) נצפה 1185 פעמים

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”