שאלה כללית בנוגע לטור פוריה

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

שאלה כללית בנוגע לטור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 10:09 14/06/2015

מקסים שלום!
רציתי בבקשה לשאול האם כל טור פוריה הוא טור מתכנס בהכרח(הכוונה להתכנסות רגילה במובן שאם עושים מהטור סדרת סכומים חלקיים אז לסדרה זו יש גבול, ולא מבחינת מתכנס בנורמה 2 שזה ברור שכן)? כן שאם אני מראה שטור מסוים הוא אינו טור מתכנס(לפי ההתכנסות הרגילה שציינתי הרגע) אזי הוא בהכרח לא טור פוריה?

תודה רבה!

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: שאלה כללית בנוגע לטור פוריה

שליחה על ידי mlstudy » 17:56 14/06/2015

כשיש לך טור של מספרים, אפשר איכשהו לומר "התכנסות רגילה", אבל כשיש טור של פונקציות, חייבים להגיד באיזה מובן הטור מתכנס/לא מתכנס.
אני מניח שכשאתה אומר התכנסות רגילה, הכוונה היא להתכנסות נקודתית, כלומר שאם אני מקבע x כלשהו, אני מקבל טור מספרים שמתכנס.

אז התשובה היא שטור פורייה לא בהכרח מתכנס נקודתית. יתכן אפילו שהוא יתבדר בקבוצה אינסופית של נקודות (אפילו כזאת שהיא לא בת מנייה).
עם זאת, יש משפט שמבטיח שאם \(A\subset [-\pi,\pi]\) היא קבוצת כל הנקודות "הבעיתיות" (שבהן טור הפורייה לא מתכנס נקודתית לפונקציה שלו), אז ל\(A\) יש אורך (מידה) אפס. אני לא נכנס להגדרת המושג "אורך (מידה) של קבוצה", אבל אתה יכול לקרוא כאן על קבוצות עם מידה אפס:
https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7 ... 7%A4%D7%A1
אינטואיטיבית זה אומר שאם תיקח סרגל ותנסה למדוד את האורך של הקבוצה, תראה שהוא אפס.
זה אומר שטור פורייה בהכרח מתכנס נקודתית "כמעט" בכל נקודה (בכל נקודה פרט לקבוצה עם אורך אפס).

שים לב שבקורס הבאנו משפט: אם \(f\) רציפה למקוטעין עם נגזרת רציפה למקוטעין, אז טור פורייה של \(f\) מתכנס נקודתית בכל נקודה ל \(\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}\).

benlavy
הודעות: 260
הצטרף: 22:44 12/11/2012

Re: שאלה כללית בנוגע לטור פוריה

שליחה על ידי benlavy » 22:00 14/06/2015

תודה רבה על התשובה המפורטת!

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”