איחך מוכיחים שפונקציה בעל תומח סופי ב L2 היא גם ב L1

מנהל: RanSharon

שלח תגובה
hananb
הודעות: 6
הצטרף: 11:39 08/04/2015

איחך מוכיחים שפונקציה בעל תומח סופי ב L2 היא גם ב L1

שליחה על ידי hananb » 11:28 20/07/2015

והאם זה נכון בכלל?
תודה

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: איחך מוכיחים שפונקציה בעל תומח סופי ב L2 היא גם ב L1

שליחה על ידי mlstudy » 13:23 20/07/2015

נניח שf נתמכת בקטע \([a,b]\), ונמצאת ב\(L^2(\mathbb{R})\).
אז:
\(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx = \int_{a}^{b} |f(x)|\cdot 1 dx = \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| \cdot \mathbb{1}_{[a,b]} dx\)
כאשר \(\mathbb{1}_{[a,b]}\) היא פונקציה ששווה ל1 בקטע \([a,b]\) ואפס בשאר התחום.
אם כך:
\(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx = \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| \cdot \mathbb{1}_{[a,b]} dx = <|f|,\mathbb{1}_{[a,b]} > \leq || (|f|) ||_2 \cdot ||\mathbb{1}_{[a,b]} ||_2\)
כשאי השוויון נובע מקושי שוורץ. עכשיו תראה בעצמך ש
\(||\mathbb{1}_{[a,b]} ||_2<\infty\)
ובנוסף בגלל שf בL2 מתקיים
\(|| (|f|) ||_2 < \infty\)

ולכן
\(||f||_1 \leq || (|f|) ||_2 \cdot ||\mathbb{1}_{[a,b]} ||_2 <\infty\)

שלח תגובה

חזור אל “- אנליזת פורייה להנדסת חשמל”