מישור משיק

שלח תגובה
guerin
הודעות: 106
הצטרף: 19:13 17/01/2011

מישור משיק

שליחה על ידי guerin » 18:07 14/03/2011

מישהו יכול להסביר לי איך מוצאים מישור משיק לפונקציה?
יש דוגמא המסבירה את זה בשיפרין, אבל אני לא מצליח להבין למה זאת הרך למצוא מישור משיק..
קבצים מצורפים
tangent.png
tangent.png (10.9 KiB) נצפה 1651 פעמים

avners
הודעות: 280
הצטרף: 01:41 20/04/2007

Re: מישור משיק

שליחה על ידי avners » 22:03 14/03/2011

אני מתכנן לדבר על הדוגמא הזאת מחר, בתקווה שזה יעזור
"התמדה זה הכול,
אין שום סיבה להפסיק..."
"איזה כיף", הדג נחש מסבירים את החוק הראשון של ניוטון

klgamit
הודעות: 55
הצטרף: 18:12 17/11/2009

Re: מישור משיק

שליחה על ידי klgamit » 17:26 15/03/2011

Ohai.

Suppose you have
\(z = f(x,y)\)
We want the tangent plane to the point \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)
We define the function:
\(g(x,y,z) = z-f(x,y)\)
The normal to the plane is given by the gradient of this function at \((x_0,y_0)\)
\(\hat{n} = \nabla{g}(x_0,y_0) = (-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0),-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0),1)\)
The vector from \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) to any point \((x,y,z)\) on the plane must be perpendicular to the normal (definition of a plane):
\(\nabla{g}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-f(x_0,y_0)) = 0\)
\(-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)(x-x_0)-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)(y-y_0)+z-f(x_0,y_0) = 0\)
\(\Rightarrow z=f(x_0,y_0) + \nabla{f(x_0,y_0)}\cdot(x-x_0,y-y_0)\)

VaultTec
הודעות: 47
הצטרף: 00:18 24/10/2010

Re: מישור משיק

שליחה על ידי VaultTec » 14:55 20/03/2011

klgamit כתב:
Ohai.

Suppose you have
\(z = f(x,y)\)
We want the tangent plane to the point \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)
We define the function:
\(g(x,y,z) = z-f(x,y)\)
The normal to the plane is given by the gradient of this function at \((x_0,y_0)\)
\(\hat{n} = \nabla{g}(x_0,y_0) = (-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0),-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0),1)\)
The vector from \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) to any point \((x,y,z)\) on the plane must be perpendicular to the normal (definition of a plane):
\(\nabla{g}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-f(x_0,y_0)) = 0\)
\(-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)(x-x_0)-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)(y-y_0)+z-f(x_0,y_0) = 0\)
\(\Rightarrow z=f(x_0,y_0) + \nabla{f(x_0,y_0)}\cdot(x-x_0,y-y_0)\)
למה הגרדיאנט של הפונקציה בנקודה(Xo,Yo) הוא הנורמל למישור?

klgamit
הודעות: 55
הצטרף: 18:12 17/11/2009

Re: מישור משיק

שליחה על ידי klgamit » 15:05 20/03/2011

Ohai again.
While writing the above I did not include an explanation of why the gradient of the defined function \(g(x,y,z)\) is indeed normal to the surface at the point \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\). Since I did not know the explanation at the time I had no way to include it. Now however, I think I found a suitable proof of this, hehe:

Let us look at very small changes \(\Delta x\) and \(\Delta y\) from the point \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\), and form 2 vectors that have their origins in this point and are pointing in the directions of change. Since we can assume \(f\) is smooth enough we can understand that these two vectors will define together a tangent plane to the surface at the given point. In order to obtain the normal to the surface from it, all we need to do is to take their cross product. So let's do it:

\(\vec{v_1} = (x_0+\Delta x,y_0,f(x_0+\Delta x,y_0))-(x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(\Delta x,0,f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0))\)
\(\vec{v_2} = (x_0,y_0 + \Delta y,f(x_0,y_0+\Delta y))-(x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(0,\Delta y,f(x_0,y_0+ \Delta y)-f(x_0,y_0))\)

Since \(\Delta x , \Delta y\) are small enough we can write:


\(\vec{v_1} = (\Delta x,0,\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x)\)
\(\vec{v_2} = (0,\Delta y,\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y)\)

\(\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),1)\Delta x \Delta y\)

Which you can see is proportional to \(\nabla g\) from before and hence we've shown that \(\nabla g\) is also normal to the surface at \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).

VaultTec
הודעות: 47
הצטרף: 00:18 24/10/2010

Re: מישור משיק

שליחה על ידי VaultTec » 18:06 20/03/2011

מעניין.. אני אצטרך להתעמק בזה עוד קצת

תודה רבה,

דן.

שלח תגובה

חזור אל “- חדו"א של פונקציות מרובות משתנים”