כמה שאלות בסיסיות.

מנהלים: gedalin, gedalin

שלח תגובה
darshap
הודעות: 7
הצטרף: 11:51 08/12/2012

כמה שאלות בסיסיות.

שליחה על ידי darshap » 20:47 06/01/2013

היי,
בשיעור מה-27/12 ידברנו על תנועה שכוללת הזזה וסיבוב גם יחד. כתבנו שהתנע הזוויתי של גוף שווה, כמו בהגדרה, למכפלה הוקטורית של וקטור ההעתק שלו מראשית הצירים בתנע שלו, אבל בנוסף לכך הוספנו גם את מכפלת מומנט ההתמד שלו במהירות הזוויתית שלו. בפועל, לא מדובר פה בהכפלה? לפי מה שאני מבינה הוספנו פעמיים את אותו הביטוי...

כמו כן, באותו השיעור, כתבנו שהאנרגיה הקינטית של הגוף היא, כמובן, מחצית מכפלת המסה שלו במהירותו בריבוע, אבל גם פה, הוספנו את מחצית המכפלה של מומנט ההתמד שלו במהירות הזוויתית שלו בריבוע - למה זה?

בנוסף, יש לי קצת פער בהבנה הבסיסית של המונחים הללו - מומנט ותנע. אפשר לקבל הגדרה שתעזור לי להבין אותן בצורה פשוטה יחסית, רעיונית ולא מתמטית?

תודה!

ukeshet
הודעות: 185
הצטרף: 17:27 04/01/2012

Re: כמה שאלות בסיסיות.

שליחה על ידי ukeshet » 01:23 07/01/2013

תודה על השאלות.

לגבי הגדרת תנע זוויתי (תנ"ז) ומומנט: ההגדרה המדוייקת היא המתמטית.
אפשר לחשוב על תנ"ז כמודד סיבוב סביב ציר: אם ביחס לנקודה \(Q\) למערכת יש תנ"ז \(\vec{L}\), אזי נטייתה להסתובב סביב ציר \(\vec{\omega}\) העובר דרך \(Q\) היא פרופורציונית ל-\(|\vec{L}|\), וליתר דיוק כרוכה באנרגיה \(\vec{\omega}\cdot\vec{L}/2\).
אך תנ"ז מודד לא רק סיבובים של ממש (אפילו לא סיבובים רגעיים). למשל, לחלקיק הנע לפניך, מימין לשמאל, יש תנ"ז כלפי מעלה ביחס אליך, בין אם החלקיק מסתובב סביבך או נע בקו ישר. אם החלקיק נע בקו ישר, התנ"ז ישאר קבוע וכלפי מעלה ביחס אליך, גם אחרי שהחלקיק מתרחק ועוזב את הגלקסיה. לכן אין תחליף לתרגול ההגדרה המתמטית.
את המומנט קל להבין ביחס לתנ"ז, שכן המומנט הוא האחראי לשינוי התנ"ז, כשם שהכוח הוא האחראי לשינוי התנע הקווי. כדי להאיץ מערכת בקו ישר יש להפעיל כוח באותו כיוון. כדי לסובב את המערכת סביב ציר מסויים, יש להפעיל מומנט בכיוון הציר. בכיתה הראיתם לי שכדי לסובב גוף (למשל הסרגל שהחזקתי) צריך להפעיל כוח, אך במרחק מסויים מהציר ובניצב לקו המחבר את הציר עם נקודת הפעלת הכוח, וזה בדיוק תיאור המומנט.

לגבי פירוק תנועה של גוף צפיד לשני רכיבים, כלומר לתנועת מרכז המסה ולסיבוב סביב ציר העובר דרך מרכז המסה.
ראשית, שימו לב שהתנ"ז והאנרגיה אינם יכולים להיות תלויים רק במיקום ובמהירות של מרכז המסה. למשל: אפשר להחזיק שני גלגלים נייחים באוויר, אחד מסתובב ואחד לא. מרכזי המסה שלהם מתנהגים בצורה דומה, אך לגלגל המסתובב יש יותר אנרגיה. ניתן לראות זאת כשמניחים את הגלגלים על הרצפה: רק הגלגל המסתובב יאיץ את עצמו למשל קדימה, תוך המרת אנרגית סיבוב לאנרגיה קינטית של תנועה קווית.
בכיתה חישבנו את התנ"ז והאנרגיה של גוף צפיד ע"י סכימה על כל אלמנטי המסה המרכיבים את הגוף. גילינו כי גם התנ"ז וגם האנרגיה מתפרקים באופן טבעי כל אחד לשני הרכיבים המוזכרים לעיל. אני מסביר זאת ביתר פירוט להלן.
זיכרו כי התנ"ז של תנועת מרכז המסה תלוי בנקודת הייחוס, בשעה שהתנ"ז של הסיבוב סביב מרכז המסה (כלומר הספין) אינו תלוי בנקודת הייחוס, אפילו אם היא מואצת קווית.

האם ברור קצת יותר? מדובר בנושאים לא אינטואיטיביים, וצריך לתרגל אותם כדי שייעשו מובנים.

בברכה,
אורי

______________________

השאלות לגבי התנ"ז והאנרגיה של גוף צפיד שקולות. נתחיל באנרגיה, מכיוון שלרובנו קל יותר להבינה.

האנרגיה של כל אלמנט מסה \(m\) נתונה ע"י הביטוי \(mv^2/2\), כאשר \(v\) מהירות האלמנט.
ניתן לחשב את האנרגיה הקינטית הכוללת של גוף צפיד, אפילו גוף מסובך, פשוט ע"י סכימת האנרגיה של כל אלמנטי המסה המרכיבים את הגוף.
אולם אין פירוש הדבר שהתשובה שווה לביטוי \(MV^2/2\), כאשר M ו-V הם המסה והמהירות של מרכז המסה! מתברר שזו לא כל הארגיה.
אינטואיטיבית, בגוף נייח מסתובב, חצי מהאלמנטים נעים ימינה וחצי שמאלה. מכיוון ש-\(v^2\geq 0\), האנרגיה הכוללת גדולה, אך מכיוון שהאלמנטים נעים בכיוונים שונים, \(V^2\) עשוי להיות קטן ואפילו אפס.
חישוב קצר מראה כי סך האנרגיה של כל אלמנטי המסה מתפרק בצורה טבעית לשני רכיבים: \(MV^2/2\), ובנוסף אנרגית הסיבוב סביב הציר, \(I\omega^2/2\):
\(K=\sum\left(\frac{1}{2}m_j\vec{v}_j^2\right)=\frac{1}{2}\sum_j m_j\left( \vec{V}+\vec{v}_j' \right)^2 = \frac{1}{2} (\sum_j m_j) V^2+\frac{1}{2} [\sum_j m_j \vec{v}_j' ] \cdot\vec{V}+\frac{1}{2}\sum_j m_j (\vec{\omega}\times \vec{r}_j')\cdot\vec{v}_j'=\frac{1}{2} M V^2 +\frac{1}{2} \omega\cdot \normalsize\{ \sum_j m_j(\vec{r}_j'\times \vec{v}_j') \normalsize\} = \frac{1}{2}M V^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 .\)
כאן השתמשנו ב-\(m,\vec{r},\vec{v}\) לציון מסת, מיקום, ומהירות כל אלמנט מסה במערכת המעבדה, וב-\(\vec{r}',\vec{v}'=\vec{\omega}\times\vec{r}'\) לגדלים במערכת מרכז המסה. בכיתה הוכחנו שהביטוי בסוגריים מרובעים מתאפס, ושהביטוי בסוגריים מסולסלים הוא \(I\omega\).
בהמשך הראינו שהנ"ל נכון רק לסיבובים סביב ציר ראשי. לגוף מורכב, יש להחליף את \(I\omega^2/2\) בביטוי כללי יותר, \(\vec{\omega}\cdot\vec{L}/2\).

לגבי תנ"ז. בהינתן נקודת ייחוס, התנ"ז של כל אלמנט מסה שווה למכפלה הווקטורית של העתק האלמנט עם וקטור התנע הקווי שלו, \(\vec{r}\times m\vec{v}\).
לכן ניתן לחשב את התנ"ז של גוף צפיד, אפילו גוף מסובך, פשוט ע"י סכימת התנע הזוויתי של כל אלמנטי המסה המרכיבים את הגוף.
אולם אין פירוש הדבר שהתשובה שווה למכפלה הווקטורית \(\vec{R}\times M\vec{V}\) של ההעתק והתנע הקווי של מרכז המסה! מתברר שזה לא כל התנ"ז.
בכיתה מצאנו שסכום התנ"ז של כל אלמנטי המסה מתפרק בצורה טבעית לשני רכיבים: \(\vec{R}\times M\vec{V}\) ובנוסף תנ"ז של סיבוב סביב ציר, \(I\vec{\omega}\).
כאן \(I\) הוא טנזור האינרציה, שניתן להחליף בסקלר רק כאשר \(\vec{\omega}\) בכיוון ציר ראשי.
החישוב מופיע בשיעור 17, ובספר הלימוד בפרק 6.7.

__________________________________

שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 1 לסטודנטים של פיסיקה”