דף 1 מתוך 1

תנודות תנועה מסביב לפלנטה

נשלח: 20:41 27/01/2013
על ידי preger
שלום,

בקלפנר, עמוד 389, הם מתייחסים לתנועה של לווין מסביב לכדוה"א כאוסצילטור הרמוני, כאשר k הוא הנגזרת השניה לפי r של \(U_{eff}\).
שתי שאלות:
1. איך הם הגיעו לזה?
2. נניח שזה נכון... איך מזה מסיקים ש \(\omega = \frac{l}{mr_0^2}\)?

פונה אליכם לאחר שניסיתי לגזור ולהציב בכל מיני דרכים...

תודה,
אמרי

Re: תנודות תנועה מסביב לפלנטה

נשלח: 00:39 28/01/2013
על ידי ukeshet
שלום רב,
תודה על השאלה - זה תרגיל נחמד המדגים בקירוב כיצד סטיה מהמסלול המעגלי מביאה למסלול אליפטי. תזכורת: תנועה קשורה (כלומר E<0) בפוטנציאל האפקטיבי פירושה תנודות של r בין הערכים r_min, r_max המתאימים לאותה אנרגיה (ראו תרשים בעמוד 389). ככלל, מדובר בתנודות לא הרמוניות ב-r, המתרגמות לתנועה אליפטית במישור r-phi. באנרגיה E=-E_0 יש מינימום לפוטנציאל, מתקיים r_min=r_max=r_0, והאליפסה מתנוונת למעגל. כזכור, הכוח הוא F=-dU/dr, כלומר מתאפס במינימום ומתנהג ככוח הוק סביב המינימום. לכן ליד המינימום התנודות הן בקירוב הרמוניות, בתדר הקשור לנגזרת השניה של הפוטנציאל (ראו למשל עמוד 178). במקרה דנן המסה האפקטיבית היא בקירוב m, כך שמתקבל \(\omega^2=\frac{k}{m}=\frac{U''(r_0)}{m}=\frac{1}{m}\frac{d^2}{dr^2}\left(-\frac{GMm}{r}+\frac{l^2}{2m r^2}\right)_{r_0}=-\frac{2GM}{r_0^3}+\frac{3l^2}{m^2r_0^4}=\frac{GM}{r_0^3}=\frac{l^2}{m^2r_0^4}\), כאשר השתמשנו בקשר \(r_0=\frac{l^2}{GMm^2}\). מסתדר עכשיו?
בברכה,
אורי

Re: תנודות תנועה מסביב לפלנטה

נשלח: 01:52 28/01/2013
על ידי preger
עכשיו האסימון נפל! תודה.
אם אתה כבר עובד באמצע הלילה... :twisted: תוכל להעלות את ההוכחות שדיברת עליהן בסוף שיעור 21?
לגבי כך שהשמש היא אחד ממרכזי האליפסה, U=-2K וכו'..

Re: תנודות תנועה מסביב לפלנטה

נשלח: 02:57 28/01/2013
על ידי ukeshet
ניתוח המסלול האליפטי הועלה לאתר בשעתו, תחת Extra - חפש Central Motion HO.

לגבי המשפט הויריאלי - ראינו מקרה פרטי אך לא הוכחנו את המקרה הכללי. ההוכחה פשוטה (לא בחומר המבחן):
\(2K+\sum_j \vec{r}_j\cdot \vec{F}_j=\sum_j\left( m_j v_j^2+\vec{r}_j\cdot \vec{F}_j\right)=\sum_j\left(\dot{\vec{r}}_j\cdot \vec{p}_j+\vec{r}_j\cdot \dot{\vec{p}}_j\right)=\frac{d}{dt}\sum_j \vec{r}_j\cdot \vec{p}_j\), כשהסכימה על החלקיקים במערכת.
הממוצע של אגף ימין (נגזרת מלאה!) על זמן ארוך מתאפס אם המערכת סגורה: \(\langle \frac{dA}{dt}\rangle=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\frac{dA}{dt}\,dt=\frac{A(t_0+T)-A(t_0)}{T}\underset{T\to\infty}{\longrightarrow} 0\).
עבור פוטנציאל מרכזי מהצורה \(U_j\propto r_j^n\), מתקיים \(\vec{r}_j\cdot \vec{F}_j=-n U_j\), ואזי מיצוע המשוואה הראשונה נותן \(\langle 2K\rangle=\langle nU\rangle\), מש"ל.

בברכה,
אורי