מבקש הסבר לחלק השני של תרגיל 3 שנפתר בהרצאה

מנהל: gedalin

שלח תגובה
bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

מבקש הסבר לחלק השני של תרגיל 3 שנפתר בהרצאה

שליחה על ידי bigbang » 19:46 20/10/2010

איך הגענו לזה ש:
\(\epsilon_{ijm}\epsilon_{klm}=A(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})\)

כדי שהאיברים המתקבלים יהיו שונים מ-0, צריך ש- i,j,k,l יהיו שונים מ-m, (כמובן גם \(i\neq j,k\neq l\)) מה שמשאיר אותנו עם האפשרויות i=k ו- j=l או i=l ו- j=k. איך ממשיכים הלאה?

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: מבקש הסבר לחלק השני של תרגיל 3 שנפתר בהרצאה

שליחה על ידי mlstudy » 22:25 20/10/2010

\(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{klm}\)= ביטוי כלשהו שתלוי ב i,j,k,l.
כמו שאמרת, הוא מתאפס כמעט עבור כל הערכים של i,j,k,l פרט למקרים בהם: i=k וגם j=l או i=l וגם j=k.

אם i=k וגם j=l, נמצא למה הביטוי שווה: \(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{ijm}=\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm}^2=A_{ij}\). כאשר A מספר כלשהו (חיובי, כי סכמנו איברים חיוביים!). שים לב! לכאורה A יכול להיות תלוי בi ו\או בj. אבל בוא נמצא למה הוא שווה:
\(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm}^2=\epsilon_{ij1}^2+\epsilon_{ij2}^2+\epsilon_{ij3}^2\). בגלל שi שונה מj, שניים מהאיברים מהסכום הזה יתאפסו (רק באחד מהם יתקיים: i שונה מj ושונה מm). האיבר הנותר (שלא מתאפס) הוא \((1)^2\) או \((-1)^2\), ולכן בכל מקרה \(\epsilon_{ij1}^2+\epsilon_{ij2}^2+\epsilon_{ij3}^2=1\). מכאן שA שווה ל1, ולא תלוי בi או בj.

אם i=l וגם j=k, הביטוי ישווה ל: \(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{jim}=\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} (-\epsilon_{ijm})=-\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{ijm}=-\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm}^2=-A\).

בכל מקרה אחר, \(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{klm}=0\).

עכשיו שים לב לביטוי \(A(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})\). אם i=k וגם j=l, הביטוי שווה לA. אם i=l וגם j=k, אז הביטוי שווה ל מינוס A.
בכל מקרה אחר, הביטוי מתאפס.

מכאן שהביטויים זהים: \(\sum_{m=1}^3 \epsilon_{ijm} \epsilon_{klm}=A(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})=(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})\)

שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 1 לסטודנטים של פיסיקה”