אינדקסים

מנהל: gedalin

שלח תגובה
kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

אינדקסים

שליחה על ידי kramerbenny » 22:31 10/07/2011

http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Physic ... ture8b.pdf
נוסחא (22)
\(\oint x_i dx_j = S \varepsilon_{ijk} n_k\)

בהוכחה של הנוסחא במקרה פרטי של עיגול במישור x-y (\(\vec n = (0,0,1)\)) , בסימן השווה האחרון רשום:
\(\pi r^2 = S \varepsilon_{123} n_3\)

מהי המשמעות של ההוספה של \(\varepsilon_{123} n_3\) לערך סקלרי במקרה הזה?
וכיצד זה בא לידי ביטוי במקרה הכללי?

תודה,
בני

gideonc
הודעות: 31
הצטרף: 21:46 12/11/2007

Re: אינדקסים

שליחה על ידי gideonc » 00:21 11/07/2011

e123n3=1
זאת מכיוון שהווקטור n הוא בכיוון z והרכיב ה-3 שלו הוא 1.
ומכאן יוצא ש
S=pi*r^2
ומכיוון שזה מה שאמור לצאת אתה מסיק שהמקרה הכללי (הביטוי הכללי) עובד עבור המקרה הפרטי הזה

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: אינדקסים

שליחה על ידי kramerbenny » 14:54 11/07/2011

הבנתי שאין במקרה הזה חשיבות ל \(\varepsilon_{123}n_3 = 1\),
אבל אני מתקשה לראות מהדוגמה הזאת כיצד אפשר להסיק מסקנה על המקרה הכללי.
האם יש מקום בו אפשר לקרוא על הנושא לעומק?
פרופ' גדלין משתמש בזהות הזאת בשלוש הוכחות שקראתי עד כה וזה מעיק לקחת אותה כמובן מאיליו..

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: אינדקסים

שליחה על ידי mlstudy » 17:02 11/07/2011

נסמן \(T_{ij}=\oint X_i dX_j\) עבור לולאה כלשהי. אז

\(T_{ij}=\oint X_i dX_j=\oint X_i \hat {x_j} \cdot \vec{dl}\)

כי \(dX_j = \hat{x_j}\cdot\vec{dl}\)

עכשיו נשתמש במשפט סטוקס:

\(T_{ij}=\oint X_i dX_j=\oint X_i \hat {x_j} \cdot \vec{dl}=\int\int \nabla\times (X_i \hat{x_j}) \cdot \vec{ds}\)

אבל \(\nabla\times (X_i \hat{x_j})=\nabla(X_i)\times\hat{x_j}+X_i\nabla\times\hat{x_j}\) (גזירה בחלקים)

ובנוסף \(\nabla\times\hat{x_j}=\vec{0}\) וגם \(\nabla(X_i)=\hat{x_i}\)
לכן \(\nabla\times (X_i \hat{x_j})=\hat{x_i}\times\hat{x_j}\)


נציב את זה למשוואה:
\(T_{ij}=\int\int \nabla\times (X_i \hat{x_j}) \cdot \vec{ds}=\int\int (\hat{x_i}\times\hat{x_j})\cdot \vec{ds}\)
נשתמש בכלל המכפלה המעורבת: \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})\)

\(T_{ij}=\int\int (\hat{x_i}\times\hat{x_j})\cdot \hat{n}ds=\int\int \hat{x_i}\cdot(\hat{x_j}\times\hat{n})ds=\int\int \hat{x_i}\cdot\sum_{klm}(\eps_{klm}\hat{x_k} (\hat{x_j})_l (\hat{n})_m) ds\)

נזכור ש
\(\hat{x_i}\cdot\hat{x_k}=\delta_{ik}\) ו \((\hat{x_j})_l = \delta_{jl}\)

ולכן

\(T_{ij}=\sum_{klm} \int\int \eps_{klm}\delta_{ik}\delta_{jl}(n_m) ds = \int\int (\sum_{m} \eps_{ijm} n_m) ds\)

עבור משטח קטן, או כזה ש\(\sum_{m}\eps_{ijm} n_m\) קבוע לאורכו, אז ניתן לכתוב \(T_{ij}= \sum_{m}\eps_{ijm} n_m S\)


מצטער שיצא קצת ארוך.. ניסיתי לא לקצר.

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: אינדקסים

שליחה על ידי kramerbenny » 17:44 11/07/2011

mlstudy כתב: מצטער שיצא קצת ארוך.. ניסיתי לא לקצר.
חשבתי בכיוון של קישור אבל תודה רבה על ההשקעה!
הוכחה חביבה למדי... מסוג הדברים שהייתי מצפה ללמוד בחדו"א 2 במקום מה ששרפנו עליו זמן.

יש לי שאלה נוספת שעלתה לפני כן באותו הסגנון:
הנוסחא שהזכרת:
\(A \cdot (B \times C) = C \cdot (A \times B)=B \cdot (C \times A)\)
לא מסתדרת עם נוסחא וקטורית אחרת שהשתמשנו בה למשפט פוינטינג
\(div(A \times B) = Brot(A)-Arot(B)\)
לפי הנוסחא הראשונה ניתן לצפות ל -
\(div(A \times B) = \nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) = Brot(A)\)
מה אני מפספס פה?

שוב תודה,
בני

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: אינדקסים

שליחה על ידי mlstudy » 17:59 11/07/2011

מה שאתה מפספס הוא ש\(\nabla\) איננו ממש וקטור.

יש לו המון תכונות של וקטור, פרט למקרה שבו הוא פועל על מכפלה.
בדיוק כמו לאופרטור גזירה רגיל:
\(\frac{d}{dx}\) איננו ממש סקלר, אבל יש לו תכונות כמו של סקלר, כי \(\frac{d}{dx}(f+g)=\frac{d}{dx}f+\frac{d}{dx}g\)

אבל כשהוא פועל על מכפלה, אתה מקבל \(\frac{d}{dx}(fg)=(\frac{d}{dx}f)g+f(\frac{d}{dx}g)\)

אתה יכול לאומת זאת, להשתמש בסימון של פיינמן, כלומר, כל פעם שיש לך מכפלה, לכתוב את האופרטור גזירה כסכום של 2 אופרטורים, כאשר הראשון פועל רק על פונקציה אחת, והשני רק על פונק' השנייה: \(D=D_f+D_g\) כך ש \(D(fg)=(D_f+D_g)fg = D_f fg+D_g fg\)
עכשיו, האופרטור \(D_g\) פועל כמו סקלר, כלומר \(D_g fg = f D_g g = f*g'\)
ולכן \(D(fg)=f'g+fg'\)

במקרה של \(\nabla\) שפועל על מכפלה, גם פה אפשר להציג אותו כסכום של 2 אופרטורים:

\(\nabla \cdot (\vec{A}\times\vec{B}) =(\nabla_A+\nabla_B) \cdot (\vec{A}\times\vec{B}) = \nabla_A \cdot (\vec{A}\times\vec{B}) +\nabla_B \cdot (\vec{A}\times\vec{B})\)

עכשיו אפשר להשתמש בזהויות וקטוריות:

\(\nabla_A \cdot (\vec{A}\times\vec{B}) = (\nabla_A \times \vec{A})\cdot \vec{B}\)
\(\nabla_B \cdot (\vec{A}\times\vec{B})=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\nabla_B)=-\vec{A}\cdot(\nabla_B\times\vec{B)\)

במקרה כזה, מקבלים
\(\nabla \cdot (\vec{A}\times\vec{B}) =(\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{B}-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\)

תוכל למצוא יותר מידע על "סימון פיינמן" כזה בספר של פיינמן בפרק שהוא מדבר על שימור אנרגיה ווקטור פוינטינג.

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: אינדקסים

שליחה על ידי kramerbenny » 18:04 11/07/2011

שוב תודה!
הרבה יותר מובן עכשיו :)

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: אינדקסים

שליחה על ידי mlstudy » 18:17 11/07/2011

kramerbenny כתב:שוב תודה!
הרבה יותר מובן עכשיו :)
:wink:

שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 2 לסטודנטים של פיסיקה”