יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שלח תגובה
danikap
הודעות: 29
הצטרף: 23:03 09/03/2013

יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי danikap » 23:17 07/01/2014

רותם, שלום!
לבקשתך, מעלה אני את השאלה שהצבתי בפנייך בתרגול האחרון: מתי יש ליישם את האילוצים בלגרנג'יאן, טרם מציאת ההמילטוניאן?
להדגמת הדילמה, נביא את השאלה הראשונה בתרגיל 9. הלגרנג'יאן:
\(\mathcal{L} = T(\dot{q})+\frac{m\dot{\theta}^2h^2}{2}+V(q)\)
ע"י יישום האילוצים(במקרה זה, \(\dot{\theta}=\omega\)) נקבל: \(\mathcal{L'} = T(\dot{q})+\frac{m\omega^2 h^2}{2}+V(q)\) ולכן, ההמילטוניאן בשני המקרים:
\(\begin{align} \mathcal{H}=T(p_q)+\frac{{p_\theta}^2} {2mh^2} +V(q) \\ \mathcal{H'{= T(p_q)-\frac{m h^2{\omega}^2} {2m} \end{align}\)
ניתן לראות כי במקרה הראשון(ללא יישום האילוצים), ההמילטוניאן הוא פונ' האנרגייה, ונשמר. במקרה \(\mathcal{H'}\), בו נעשה יישום האילוצים(ו-אומגה נלקח כקבוע) ההמילטוניאן אינו מייצג את האנרגיה, ואין הוא נשמר.
מה הפתרון לסוגיה זו? כיצד עלינו לנהוג במקרה הכללי? האם ישנה כאן בחירה לייצוג?
בתודה רבה,
דניאל

rotemk
הודעות: 671
הצטרף: 12:32 10/11/2007

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי rotemk » 07:18 08/01/2014

במקרה בו האילוץ מקשר בין שתי קואורדינטות (למשל אילוץ אורך) אז חייבים ליישם את האילוץ מכיוון שהקואורדינטות תלויות (אחרת לא ניתן לבצע טרנספורם לז'אנדר).
במידה והאילוץ תלוי בזמן בלבד, כלומר ידוע לנו כיצד כוח חיצוני מכניס/מוציא אנרגיה אז לאחר יישום האילוץ ההמילטוניאן יהיה תלוי בזמן ויכלול ביטוי שמזוהה עם האנרגיה החיצונית.

רותם.

lazarr
הודעות: 2
הצטרף: 03:17 26/11/2012

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי lazarr » 21:00 08/01/2014

רותם לא הבנתי מהתשובה שלך מה לעשות.
האם במקרה כמו השאלה שהוצגה יש ליישם את האילוצים או לא?

rotemk
הודעות: 671
הצטרף: 12:32 10/11/2007

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי rotemk » 21:21 08/01/2014

ליישם.

רותם.

eladbenj
הודעות: 99
הצטרף: 21:42 09/10/2011

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי eladbenj » 16:17 10/01/2014

אהלן רותם, שאלה נוספת באותו נושא:
אם יש לי לגרנג'יאן, ואני מבין שיש לי קבועי תנועה (כי לדוגמה יש לי קורד' ציקליות), אני צריך להציב את הביטויים של המהירויות המתאימות לקורד' הציקליות לפני חישוב ההמילטוניאן?
לפי התרגול נראה כאילו לא צריך אבל אני לא מבין למה: הביטויים למהירויות האלה הם בד"כ תלויים באחת מהקורד' האחרות וצריך שכל הקורד' בהמילטוניאן יהיו ב"ת.

אלעד.

rotemk
הודעות: 671
הצטרף: 12:32 10/11/2007

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי rotemk » 12:48 11/01/2014

לא. אם קואורדינטה ציקלית אז התנע הצמוד שלה קבוע. זה לא אומר שהיא תלויה בקואורדינטה אחרת.
כדאי לקרוא את תת הפרק על קואורדינטות ציקליות בהמליטוניאן בגולדשטיין.

רותם.

eladbenj
הודעות: 99
הצטרף: 21:42 09/10/2011

Re: יישום אילוצים ומציאת ההמילטוניאן

שליחה על ידי eladbenj » 12:59 11/01/2014

תודה רבה!

שלח תגובה

חזור אל “- מכניקה אנליטית”