שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

מנהל: gedalin

שלח תגובה
kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי kramerbenny » 14:54 21/07/2012

כיצד יודעים ש
\(\{ \frac{d}{d \theta}P_{l}(cos \theta) \}_{l}\)
זו מערכת אורתוגונלית?

הצלחתי להגיע לביטוי
\(\int_{0}^{\pi}\frac{d}{d \theta}(P_{l}(cos \theta))\frac{d}{d \theta}(P_{l'}(cos \theta))sin \theta d \theta\)
\(= \int_{-1}^{1}\frac{l(l+1)}{2l+1}\frac{l'(l'+1)}{2l'+1}\frac{1}{1-x^2}(P_{l+1}-P_{l-1})(P_{l'+1}-P_{l'-1})dx\)
אך לא ברור כיצד, אם בכלל, אפשר להמשיך מהכיוון הזה.

תודה מראש,
בני

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי mlstudy » 14:22 23/07/2012

תרגיל נחמד,
אני אראה לך למה זו מע' אורטוגונלית בלי לבצע כמעט שום חישוב מהצורה שהבאת:
תחילה נשים לב, שאם יש לך משטח סגור כלשהו במרחב תלת מימדי (למשל ספירה), אז לכל פונקציה וקטורית \(\vec{F}\)
מתקיים \(\oint_S (\nabla_s \cdot \vec{F}) ds = 0\), כאשר \(\nabla_s \cdot \vec{F}\) הוא הדיברגנס המשטחי שמוגדר
בדרך דומה לדיברגנס הנפחי \(\nabla_s \cdot \vec{F} = \lim_{\Delta s\rightarrow 0} \frac{\oint_L \vec{F}\cdot\hat{n} dl}{\Delta S}\)
כאשר L היא לולאה סגורה במשטח, \(\Delta S\) הוא השטח שסוגרת הלולאה הזו (במשטח עצמו), ווקטור הנורמל נלקח כוקטור נורמל ללולאה, שנמצא בתוך המשטח (ולא מאונך למשטח).
ההוכחה שזה מתאפס דומה להוכחה ש \(\oint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{ds} = 0\).
עכשיו ניקח את S להיות ספירה ברדיוס 1, וF להיות כל פונקציה וקטורית שתלויה רק בזוויות \(\theta, \varphi\) ומכילה רכיבים בכיוונים \(\hat\theta, \hat\varphi\),
כלומר \(\vec{F}=F_\theta (\theta,\varphi)\hat\theta+F_\varphi (\theta,\varphi)\hat\varphi\).
תוכל להיבכך ש \(\nabla_S \cdot \vec F = \nabla \cdot \vec F\) על גבי ספירת היחידה, ולכן:
\(\oint_S \nabla \cdot \vec F ds = 0\).
אם לא השתכנעת מהמשפט הקודם שזה אכן נכון, תוכל פשוט לעשות חישוב ישיר ולגלות שהאינטגרל הזה מתאפס, לכל F שניקח.

עכשיו ניקח \(\vec{F}=Y_{lm}(\theta,\varphi) \vec{\nabla Y}_{l'm'} (\theta,\varphi)\).
הדבר היחיד שנצטרך הוא לדעת ש\(Y_{lm}\) הן פונקציות אורטוגונליות, והן פונקציות עצמיות של אופרטור לפלס: \(\nabla^2 Y_{lm} = \lambda_{lm} Y_{lm} = -l(l+1)Y_{lm}\) על עיגול היחידה.
כעת:
\(0=\oint_S \nabla \cdot \vec F ds = \oint_S \nabla \cdot (Y_{lm} \vec{\nabla Y}_{l'm'}) ds = \oint_S \vec{\nabla Y}_{lm} \cdot \vec{\nabla Y}_{l'm'} + Y_{lm} \nabla^2 Y_{l'm'} ds\)
\(\oint_S \vec{\nabla Y}_{lm} \cdot \vec{\nabla Y}_{l'm'} ds= - \oint_S Y_{lm} \nabla^2 Y_{l'm'} ds= -\lambda_{l'm'} \oint_S Y_{lm} Y_{l'm'} ds= -\lambda_{l'm'} ||Y_{lm}||^2 \delta_{l,l'} \delta_{m,m'}\)

כעת אם ניקח m=m'=0 נקבל:
\(\oint_S \vec{\nabla Y}_{lm} \cdot \vec{\nabla Y}_{l'm'} ds = 2\pi \int_0^{\pi} (\frac{d}{d\theta} P_l(cos \theta) \hat \theta)\cdot(\frac{d}{d\theta} P_{l'}(cos \theta) \hat \theta) sin(\theta) d\theta\)
\(2\pi \int_0^{\pi} (\frac{d}{d\theta} P_l(cos \theta) )(\frac{d}{d\theta} P_{l'}(cos \theta) ) sin(\theta) d\theta = -\lambda_{lm} ||Y_{l0}||^2 \delta_{l,l'} = l(l+1) ||Y_{l0}||^2\delta_{l,l'}\)

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי gedalin » 19:37 26/07/2012

יותר קל לשים לב ש
\(\frac{\partial }{\partial \theta}P_l\propto P_l^{1}\)
ולהשתמש באורטוגונליות של הפולינומים המצומדים.

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי kramerbenny » 22:18 26/07/2012

שאלה בקשר לפיתוח למעלה:
לא הצלחתי לעקוב אחרי כל המעברים (אולי בהנתן קצת יותר זמן פנוי) אבל התוצאה בסוף לא מסתדרת לי.
אם קבוע הפרופורציה הנ"ל הוא 1, כפי שמצאתי, ממשוואה (5) פה:
http://mathworld.wolfram.com/Associated ... omial.html
מתקבל ש -
\(||Y_{l0}||^{2}=\frac{4\pi}{2l+1}\)
אבל הלא הרמוניות ספריות אורתונורמליות?

בדקתי גם נומרית שאכן
\(\int_0^{\pi} (\frac{d}{d\theta} P_l(cos \theta))^2 sin(\theta) d\theta =\frac{2l(l+1)}{2l+1}\)

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי mlstudy » 00:39 27/07/2012

זה לא עקרוני, זה עניין של נרמול.
אני לקחתי \(Y_{lm}(\theta,\varphi) = P_{l|m|}e^{im\varphi}\)
ואז הן לא יוצאות אורטונורמליות. זה גם מה שאתה לקחת, כשהשתמשת באתר שכתבת למלעה.

אם אתה רוצה, אתה יכול לנרמל אותן (כמו שיש בדף נוסחאות באתר), ואז \(Y_{lm}(\theta,\varphi) = C_{lm}P_{l|m|}e^{im\varphi}\)
\(Y_{l,0}(\theta,\varphi) = C_{l,0}P_l(cos(\theta))\)
ואז הנוסחא שרשמתי למלעה צריכה להשתנות קצת (עד כדי מכפלה/חילוק בקבוע)

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: שאלה 325 (ושאלה 2 ממועד א')

שליחה על ידי kramerbenny » 01:14 27/07/2012

אוקיי.. נעבור על זה בזמני הפנוי :)
תודה

שלח תגובה

חזור אל “- אלקטרודינמיקה 1”