שאלה 0081

[danikap]

רותם, שלום רב!
בשאלה דנן נתבקשנו להוכיח/למצוא את פונקציית גרין למשוואת לפלס הדו-מימדית. אך כאן עולה קושי מסוים, משום במישור לא ניתן לנחש עוד פתרון מהצורה:

\(G(\vec{r})=\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}\),
שכן עבורו מתקיים, למשל, בקואורדינטות קרטזיות:
\(\vec{\nabla}^2 G = \frac{\partial ^2 G}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 G}{\partial y^2}=\frac{1}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{r^{3}}\)
ופתרון זה אינו שווה לאפס בכול נקודה שאיננה (0,0), דבר שלא מקיים את תכונות פונק' גרין.
שאלתי אפוא, האם השאלה כיוונה לכך שהאופרטור(והפונקצייה) תלת-מימדיים, אך המטען ממוקם ב-x,y=(0,0), ו-"אינסופי"(הלכה למעשה) ב-z?
כלומר: \(\rho = \delta(x)\delta(y)\) וכול Z, ואילו, \(\vec{\nabla}^2 = \frac{\partial ^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 }{\partial z^2}\)
בתודה רבה,
דניאל

[rotemk]

נדבר על זה מחר.
בגדול, במקרה הזה פונקצית גרין סימטרית לסיבובים ולכן תלויה ב-r. יש לפתור את המשוואה על r ולקבוע את הקבוע ע"י תנאי שפה.

רותם.