פונקציית גרין

מנהל: gedalin

שלח תגובה
orentab
הודעות: 16
הצטרף: 12:03 17/04/2010

פונקציית גרין

שליחה על ידי orentab » 23:20 29/03/2011

פרופ' שלום.

יש לי שאלה לגבי פונקציית גרין .
כמו שהבנתי את הפונטציאל במרחב ניתן למצוא ע"י פיתוח מולטיפולי או חישוב ישירות
במידה ונרצה לחשב ישירות נוכל להשתמש בפונקציית גרין.
לגבי פונקציית גרין, עברתי על חומר ההרצאות והספרים ואני עדיין לא מבין במדוייק מה זה "פונקציית גרין", בספרים מדובר על פונקציה שעוזרת לפתור משוואות דיפרנציאליות - וההסברים נשארים ברמת הפירוט הזאת. בהקשר של אלקטרוסטטיקה/מגנטוסטטיקה הבנתי בגדול (ואולי אני טועה וכאן המקום לתקן אותי) שפונק' גרין , מתארת (במקרה שלנו) את הפונטציאל בנק' r שמייצר מטען נקודתי במרחב('r), וחישוב הפונטציאל שמייצרת התפלגות מטען באותה נקודה (r) יהיה אינטגרל על אוסף המטענים.

האם זאת אומרת שפונקציית גרין תמיד תהיה (כאשר q התפלגות מטען חד מימדית/משטחית/נפחית )
\(q/|r-r'|\)

באחת ההרצאות שלך ציינת שמציאת פונקציית גרין מקלה את החישוב של הפונטציאל , אם כן מתי נעדיף להשתמש בפונק' כזאת (או שזאת פשוט הייתה השיטה עבור פיסיקה 2 ונעדיף להמנע ממנה)?

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: פונקציית גרין

שליחה על ידי mlstudy » 02:09 30/03/2011

אומנם אני לא פרופ' גדלין אבל אנסה לעזור :)
פונקציית גרין באמת מתארת תגובה ל"מטען נקודתי", וע"י זה שאתה יודע את התגובה למטען נקודתי, אתה יכול למצוא תגובה לכל "התפלגות מטען" במרחב.
איך? אתה יודע שמשוואות מקסוול הן "סימטריות להזזה במרחב", כלומר אם תזיז את המטען שלך לנק' אחרת במרחב, הוא יצור את אותו השדה, רק מוזז. מכאן אתה יכול למצוא את השדה שיוצר מטען נקודתי בודד איפה שתבחר לשים אותו.
עכשיו, בשביל לדעת מה השדה שיוצרת התפלגות מטענים כלשהי, אתה פשוט סוכם את השדות שיוצר כל מטען בנפרד (כי משוואות מקסוול הן ליניאריות).

עבור התפלגות מטען רציפה, הסכום הופך לאינטגרל.

למעשה פונק' גרין זה הרבה יותר ממשהו שעוזר לפתור משוואות דיפרנציאליות חלקיות, אלא זו פונק' שקיימת (כמעט) לכל מערכת
ליניארית שקבועה במרחב,בזמן..

נניח שיש לך מערכת כלשהי שמקבלת פונק' כניסה (לשם פשטות של משתנה אחד) \(x(t)\) ומוציאה פונקציית מוצא \(y(t)\).

המערכת תיקרא ליניארית אם: לשתי כניסות \(x_1(t),x_2(t)\) מתאימים שתי מוצאים \(y_1(t),y_2(t)\), אז לכניסה
\(a*x_1(t)+b*x_2(t)\) יתאים המוצא \(a*y_1(t)+b*y_2(t)\).

המערכת תיקרא "קבועה במרחב" (בוא נניח שלמשתנה t יש יחידות של מרחק) אם לכניסה \(x_1(t-\tau)\) בטוח יתאים המוצא \(y_1(t-\tau)\).

למשל, מערכת שפותרת בעיה אלקטרוסטטית (מקבלת התפלגות מטענים ומוציאה פוטנציאל חשמלי) היא מערכת ליניארית שקבועה במרחב (אתה יכול לבדוק בעצמך שאופרטור לפלסיאן הוא אופרטור ליניארי, וקבוע ביחס להזזה במרחב).

למה אני מספר לך את כל זה? כי קיים משפט, ש(כמעט) לכל מערכת ליניארית שקבועה במרחב, קיימת פונקציית "גרין" כך שאת המערכת ניתן לייצג כך:
\(y(t)=\int_{-\infty} ^\infty x(t') G(t-t') dt'\).
את הפונק' גרין נוכל למצוא ע"י זה שנכניס במבוא המערכת את פונקציית דלתא:
\(G(t)=\int_{-\infty} ^\infty \delta(t') G(t-t') dt'\).

ד"א, שים לב שזה בדיוק מה שקורה באלקטרוסטטיקה:אם מה שאתה מכניס למערכת שלך התפלגות המטען \(\rho(\vec{r})\) והמערכת פותרת את משוואת פואסון, אז הפתרון הכללי למשוואת פואסון הוא \(\Phi=\int_{R^3} \rho(\vec{r'}) \cdot \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|} dv'\)

אני מקווה שלא סיבכתי יותר מדי :roll:

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: פונקציית גרין

שליחה על ידי gedalin » 07:53 30/03/2011

http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Electr ... o1_05a.pdf
יש לבדוק את הסימנים ומקדמים בביטויים כי לא הספקתי.

שלח תגובה

חזור אל “- אלקטרודינמיקה 1”