תרגיל 0223 וניחוש פתרון

מנהל: gedalin

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 10:04 11/04/2012

http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Electr ... x_0223.pdf

בחצי המרחב התחתון אני מנחש פתרון מהצורה \(\Phi_-=f(z)cos(\vec k \vec r)\). הכל עובד יפה עד שאני לא מצליח למצוא פתרון לחצי המישור העליון כך שיקיים את משוואת לפלס, יהיה רציף באפס, ושהנגזרת לפי z תהיה רציפה ב-0.
אני מתאר לעצמי שהפתרון שניחשתי הוא לא נכון. השאלה היא מה השיקולים שאמורים להוביל אותי לצורה הנכונה?

תודה.

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 10:24 11/04/2012

מהו הפתרון שלך לחצי הריק ?

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 10:26 11/04/2012

זו הבעיה - אין לי כזה שמסתדר... מה שנראה לי הכי קרוב זה \(\Phi_+=g(z)cos(k_x x+k_y y)\)

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 10:29 11/04/2012

למה שווה
g(z ?

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 10:30 11/04/2012

ומה חסר בפתרון שלך בחצי המלא ?

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 10:39 11/04/2012

משום מה עכשיו נראה לי שזה מסתדר (לא יודע למה אתמול זה לא עבד...)

תודה.

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 10:41 11/04/2012

מה מסתדר ? פרט.

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 10:58 11/04/2012

\(\Phi_-=(Ae^{kz}+\frac{4\pi\rho_0}{k^2})cos(\vec k \vec r)\)
\(\Phi_+=Be^{-z\sqrt{k_x^2+k_y^2}}cos(k_xx+k_yy)\)
\(B=A+\frac{4\pi\rho_0}{k^2}\)
\(-\sqrt{k_x^2+k_y^2}B=kA+\frac{4\pi\rho_0}{k^2}\)

אני מניח שיש טעות?

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי mlstudy » 11:42 11/04/2012

לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי שהפתרון שלך לא מקיים את משוואת פואסון הדרושה (\(\nabla^2 \Phi_-\) יכיל איבר עם סינוס, שלא אמור להופיע).

אבל למה שלא תניח ש \(\rho = \rho_0 e^{ik_z z} e^{ik_x x + ik_y y} (1_{z<0})\), תנחש פתרון מהצורה \(f=g(z)e^{ik_x x + ik_y y}\)
ולבסוף תיקח רק את החלק הממשי?

נראה לי יותר פשוט..

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 11:56 11/04/2012

mlstudy כתב:לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי שהפתרון שלך לא מקיים את משוואת פואסון הדרושה (\(\nabla^2 \Phi_-\) יכיל איבר עם סינוס, שלא אמור להופיע).
צודק - צריך לחזור על החומר של גזירה פעמיים...

אבל למה שלא תניח ש \(\rho = \rho_0 e^{ik_z z} e^{ik_x x + ik_y y} (1_{z<0})\), תנחש פתרון מהצורה \(f=g(z)e^{ik_x x + ik_y y}\)
ולבסוף תיקח רק את החלק הממשי?

נראה לי יותר פשוט..
אולי. הבעיה היא שאני לא רואה מראש שום דבר שיגרום לי לעבור לצפיפות מרוכבת, ולנחש פתרון שאינו מכיל z באקספוננט...

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי mlstudy » 12:20 11/04/2012

האמת שאפשר לנחש עם Z באקספוננט, זה לא ישנה הרבה (מפני שאפשר להגדיר \(g(z)=h(z)e^{ik_z z}\)). הרעיון היה להדגיש שהתלות בX ובY תהיה רק דרך האקספוננט,
בעוד שלZ זה לא בהכרח כך (מפני ש\(\rho(x,y,z)\) תלוי בZ לא רק כמכפלה באקספוננט).

הרעיון לעבור לאקספוננט מרוכב, הוא משני סיבות:
א. יותר קל לבצע פעולות אלגבראיות עם אקספוננט מאשר עם סינוס וקוסינוס
ב. אקספוננט מרוכב כדוגמת \(e^{jk_x x}\) הוא פונקציה עצמית של אופרטור לפלס, ולכן הפתרון בהכרח יהיה מהצורה \(f(y,z)e^{jk_x x}\).
האמת שגם הקוסינוס הוא פונקציה עצמית של הלפלסיאן, אבל אקספוננט הוא פונקציה עצמית של כל אופרטור ליניארי SPACE INVARIANT (למשל אופרטור שמכיל נגזרות), בזמן שהקוסינוס הוא לא כזה.

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 13:58 11/04/2012

רמז: פתרון של משוואת פואסון מורכב מפתרון פרטי + פתרון של משוואת לפלס (בשני החצאים).

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 14:14 11/04/2012

^ אם עוברים למשוואת לפלס, נראה לי שנשארים בלי תנאי שפה כלשהם...

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי gedalin » 15:46 11/04/2012

ב
z=0
יש לך תלות

\(e^{ik_xx+ik_yy}\)

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: תרגיל 0223 וניחוש פתרון

שליחה על ידי bigbang » 16:05 11/04/2012

^ לא הבנתי...

שלח תגובה

חזור אל “- אלקטרודינמיקה 1”