שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

מנהל: gedalin

שלח תגובה
bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי bigbang » 12:42 28/04/2012

http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Electr ... x_0261.pdf
http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Electr ... 0261_s.pdf

בפתרון מקבלים: \(\Phi=-E_0rcos\theta+\frac{\Phi_0R}r +\frac{E_0R^3}r^2 cos\theta\)
כאשר \(\Phi_0\) הוא פוטנציאל על פני המוליך - שרירותי לכאורה.
griffiths פותר את אותה הבעיה - דוגמא 3.8 , אך הוא קובע ש \(\Phi_0=0\) ומקבל את אותו הפתרון בלי האיבר האמצעי.

נראה לי שישנה חוסר עקביות אם אנו רוצים למצוא את השדה (שניתן למדידה), באחד מהפתרונות יש איבר שיורד כמו \(1/r^2\) ובשני אין...בנוסף הערך של \(\Phi_0\) לא ידוע...

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי gedalin » 15:28 28/04/2012

האיבר הזה אינו אפס כאשר המטען הכולל על הכדור המוליך אינו אפס.

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי bigbang » 15:40 28/04/2012

נדמה לי שב-2 המקרים הכדור הוא נייטרלי...
(אני מניח שהפתרון שצירפתי בהודעה הראשונה שגוי?)

מצאתי בנוסף פתרון של הבעיה כאן בעמוד 11: http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Electr ... ro1_03.pdf
מה בפתרון היה משתנה אילו הספירה לא הייתה נייטרלית?

שאלה נוספת היא מדוע אם אנו מוסיפים קבוע לפוטנציאל, מקבלים תוצאה שהיא שונה פיזיקלית?

תודה.

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי gedalin » 20:03 28/04/2012

הפתרון שפורסם יותר כללי וכולל את המקרה כאשר הכדור טעון. הקשר בין המוען לפוטנציאל נובע מכיול הפוטנציאל שנבחר בפתרון: פוטנציאל חיצוני =0 כאשר z=0.

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי bigbang » 20:59 28/04/2012

זה עדיין לא כל כך ברור לי - בין אם הכדור המוליך טעון ובין אם לאו, אני יכול לכאורה לקבוע את הפוטנציאל על השפה שלו. אני יכול לקבוע אותו בתור אפס או בתור קבוע שרירותי אחר. כעת, אני אקבל תוצאות שונות לשדה החשמלי - עם או בלי איבר שיורד כמו \(1/r^2\) - שזה לא כל כך הגיוני...

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי gedalin » 22:01 28/04/2012

תמיד אפשר להוסיף קבוע לפוטנציאל. האיבר שאתה נדבר עליו נראה כך:
a+b/r
קבוע b נקבע ע"י המטען הכולל ו a משמש לקביעת הפוטנציאל על הכדור. בפתרון שפורסם הונח כי הפוטנציאל על הכדור הינו אפס בלי אם הוא ניטרלי ואילו תוספת הפוטנציאל בגלל המטען בלבד. מאחר ואין לקבוע משמעות פיזיקלית אין כל בעיה בהנחה זו. אם אתה לא אוהב את הבחירה תוסיף קבוע ותקבל כל ערך של פוטנציאל שאתה רוצה.

bigbang
הודעות: 455
הצטרף: 20:21 12/10/2010

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי bigbang » 22:21 28/04/2012

לא לזה התכוונתי...
כאן:
Capture.JPG
Capture.JPG (29.68 KiB) נצפה 2902 פעמים
דורשים שהפוטנציאל על הכדור הוא \(\Phi_0\) - קבוע שרירותי כלשהו. איך שזה נראה, באותה מידה היינו יכולים לבחור שהפוטנציאל על פני הכדור יהיה אפס, ואז לא היינו מקבלים את האיבר המדובר... כמו כן, אני לא רואה איך הקבוע הזה משתנה כתלות במטען על הכדור (ברור לי שפיזיקלית באינסוף האיבר הזה הוא כמו מטען נקודתי, אך אני לא רואה את זה במהלך הפתרון מתמטית).

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי mlstudy » 23:39 28/04/2012

ככלל כשפותרים בעיה אלקטרוסטטית שיש בה מוליכים, לא מספיק לקבוע שהפוטנציאל על כל מוליך הוא קבוע.
בלי דרישות נוספות, נקבל שיש אינסוף פתרונות לבעיה האלקטרוסטטית (תסתכל בהוכחה של משפט היחידות,
ותראה שכדי לקבל פתרון יחיד, אנחנו צריכים לדעת ממש למה שווה הפוטנציאל על כל מוליך).

זה נכון גם, שהפוטנציאל בבעיות פיזיקליות נקבע עד כדי קבוע, אבל מותר להוסיף רק קבוע אחד,
וכל שאר הפוטנציאלים נקבעים ביחס אליו.
כך לדוגמא, אם יש כמה מוליכים בבעיה, ובאחד מהם נבחר הפוטנציאל כאפס, אז בשאר המוליכים
לא נוכל לקבוע את הפוטנציאל בצורה שרירותית (הפוטנציאל בהם יהיה המתח בין המוליכים האלה, לנקודת הייחוס).

בדרך כלל, נקודת הייחוס (אפס של הפוטנציאל) נקבע לא באחד המוליכים, אלא באינסוף, ואז הפוטנציאל על כל מוליך לא נקבע יותר באופן שרירותי.
שים לב גם, שקביעת הפוטנציאל על פני המוליכים, קובעת את המטען שיצטבר על כל מוליך (המטען על כל מוליך
תלוי ליניארית בכל אחד מהפוטנציאלים שעל פני המוליכים)

בבעיה הספציפית הזאת, לבחור פוטנציאל ביחס לאינסוף זה בעייתי, מפני שהשדה החשמלי החיצוני הוא לא פיזיקלי (יוצר פוטנציאל שמתפוצץ באינסוף).
אבל שים לב - כבר בבחירה שהפוטנציאל החיצוני הוא מהצורה \(\Phi_{ext}(x,y,z)=-E_0 z\) דרשנו שהפוטנציאל יתאפס על המישור XY באינסוף.
יכולנו גם לבחור \(\Phi_{ext}(x,y,z)=-E_0 z+C\) ואז הפוטנציאל היה מתאפס בנקודת ייחוס אחרת.
בכל מקרה, כל אחת מהבחירות הללו, ביחד עם הבחירה שהפוטנציאל שיצור הכדור המוליך יתאפס באינסוף, קובעת את נקודת הייחוס של הפוטנציאל, ולכן
הבחירה של \(\Phi\) על פני המוליך כבר לא שרירותית!

במילים אחרות, אם אתה רוצה לקבוע \(\Phi=0\) על פני המוליך, וגם אתה בוחר שהפוטנציאל יתאפס על המישור XY באינסוף אתה מוסיף נתון נוסף שלא היה בשאלה: המתח בין הכדור, לנקודת הייחוס, וזה כבר לא משהו שרירותי.

ד"א, בנוגע לשאלה שלך (איך הקבוע משתנה כתלות במטען על הכדור), אתה יכול למצוא את הקבוע (אם המטען על הכדור ידוע) בעזרת חוק גאוס:
\(Q=\frac{1}{4\pi}\oint \vec{E}\cdot\vec{ds}=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta [-\frac{\partial \Phi}{\partial r} r^2 sin(\theta)]\) ובכך למצוא את הקבוע \(\Phi_0\)

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: שאלה 0261 וחופש בבחירה של פוטנציאל

שליחה על ידי gedalin » 18:40 29/04/2012

נכון. בקצרה: הביטוי לפתרון בצורת הטור אשר סרקת אמור לכלול גם איבר קבוע שרירותי (מותאם לתנאי שפה). במקום זה הקבוע השרירותי הועבר לצד ימין, לתוך פוטנציאל שרירותי של המוליך. אינך יכול לאפס את שניהם שרירותית בבת אחת אלא רק אחד מהם.

שלח תגובה

חזור אל “- אלקטרודינמיקה 1”