גל כדורי

מנהל: gedalin

שלח תגובה
kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

גל כדורי

שליחה על ידי kramerbenny » 14:17 01/07/2012

מדוע בפיתוח שעשינו בהרצאה בחרנו לחפש פתרון מהצורה של
\(\bar{A} = rot(\bar{r}f)\) ?

gedalin
הודעות: 1534
הצטרף: 18:16 12/04/2007

Re: גל כדורי

שליחה על ידי gedalin » 21:20 01/07/2012

ניחוש אשר הוביל למשוואה סקלרית.

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: גל כדורי

שליחה על ידי kramerbenny » 12:49 02/07/2012

בפיתוח שהשארת לתרגיל בית יצא לי:
\(\Delta A_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{m}}\frac{\partial}{\partial x_{m}}(\varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_{j}}(x_{k}f))=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_{j}}(\frac{\partial}{\partial x_{m}}\frac{\partial}{\partial x_{m}}(x_{k}f))\)
החלק בתוך הסוגריים החיצוניים:
\(\frac{\partial}{\partial x_{m}}\frac{\partial}{\partial x_{m}}(x_{k}f)=\frac{\partial}{\partial x_{m}}(\delta_{mk}f+x_{k}(\frac{\partial}{\partial x_{m}}f))=2\delta_{mk}\frac{\partial}{\partial x_{m}}f+x_{k}\Delta f=(2\frac{\partial}{\partial x_{k}}+x_{k}\Delta )f\)
כשאמור לצאת לפי מה שאמרת בכיתה
\(x_{k}\Delta f\)

מה לא בסדר פה?
או שלחלופין, יש סיבה שהאיבר הבא יתאפס?
\(\varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\frac{\partial}{\partial x_{k}}f\)

ושאלה נוספת:
כדי למצוא את התלות הרדיאלית של f הצבנו l=0 וקיבלנו ביטוי \(u(r)\)
האם נכון גם באופן כללי הפתרון
\(f(r,\theta,\varphi)=u(r) Y_{lm}(\theta,\varphi)\)?

תודה,
בני

mlstudy
הודעות: 354
הצטרף: 12:53 02/12/2009

Re: גל כדורי

שליחה על ידי mlstudy » 00:13 03/07/2012

האיבר \(\sum_{jk}\eps_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_k}f\) אכן מתאפס, מפני ש:
\(\sum_{jk}\eps_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_k}f=\eps_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_k}f+\eps_{ikj}\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial}{\partial x_j}f+..\)
אבל אם נזכור שאפשר להחליף סדר גזירה, וש \(\eps_{ijk}=-\eps_{ikj}\) נקבל את המבוקש.
אפשר לראות את זה גם כ\(\sum_{jk}\eps_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_k}f=(\nabla \times \nabla f)_i\)

לגבי השאלה השנייה: אני לא בטוח מה פתחתם בהרצאה, אבל עם קצת אלגברה, הצלחתי להגיע לביטוי הבא:
\(\nabla^2 \vec{A}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \vec{A}\)
\(\nabla^2 \vec{A}=\nabla \times (\vec{r}\nabla^2 f) = \nabla (\nabla^2 f)\times \vec{r} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \vec{A} = \nabla \times (\frac{1}{c^2} \frac{\partial f ^2}{\partial t^2} \vec{r}) = \nabla (\frac{1}{c^2} \frac{\partial f ^2}{\partial t^2}) \times \vec{r}\)
ולכן
\(\nabla ( \nabla^2 f - \frac{1}{c^2} \frac{\partial f ^2}{\partial t^2} ) \times \vec{r} = \vec{0}\)
ולכן
\(\nabla^2 f - \frac{1}{c^2} \frac{\partial f ^2}{\partial t^2} = g(\theta,\varphi,t) = \sum_{l,m} C_{lm}(t) Y_{lm}(\theta,\varphi)\)
את f גם אפשר לפתח לטור כזה \(f=\sum_{l,m} u_{lm}(r,t) Y_{lm}(\theta,\varphi)\)
ואחרי הצבה במשוואה נקבל
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial}{\partial r}u_{lm})-\frac{l(l+1)}{r^2}u_{lm}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_{lm} = C_{lm}(t)\)
כאשר \(C_{lm}(t)\) פונקציות שרירותיות של הזמן.
אפשר להמשיך מפה, אבל ייתכן שעשיתם הנחות מסוימות שמפשטות את הפיתוח (כמו תלות הרמונית בזמן).

kramerbenny
הודעות: 88
הצטרף: 21:46 18/10/2010

Re: גל כדורי

שליחה על ידי kramerbenny » 00:54 03/07/2012

תודה!
לגבי השאלה השנייה:
אכן הנחנו ש
\(f\sim e^{-i\omega t}\)
והגענו בסופו של דבר למשוואה
\((\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r} r^{2}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{L^{2}}{r^{2}}+\frac{\omega^2}{c^{2}})f =0\)
בשלב זה הנחנו תלות של
\(f_{l,m}(r,\theta,\varphi,t)=u_{lm}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)e^{-i\omega t}\)
והצבנו l=0 כדי למצוא
\(f_{0}=\frac{c}{r}e^{i \omega (\pm\frac{r}{c}-t)}\)
השאלה היא האם התלות הרדיאלית שמצאנו נכונה רק למקרה ש l=0, או ש \(u_{lm}(r)\) למעשה לא תלוי ב l,m?
(כי ניתן הרושם בהרצאה שהביטוי שהגענו אליו כללי לגל כדורי)


שלח תגובה

חזור אל “- אלקטרודינמיקה 1”