מועד א' 2011 שאלה 3

[ArielE]

שאלה 3 סעיף א', לא ברור לי איך קבעו את האנרגיות המותרות, מדוע זה בלתי תלוי ב-n? איך הערכים של Lz קשורים לאנרגיה?
בנוסף בסעיף ב' בוחרים n מסוים, בפתרונות בחרו לסמן וקטורים הפוך ממה שנהגנו בתרגול ( m=-1 בפתרונות הוא 1 ברכיב השלישי ולא הראשון), וכשהצגתי את ההמילטוניאן בבסיס הזה קיבלתי ערכים עצמיים שונים מאלה שתיארו בסעיף א'

[alonyan]

האנרגיה נתונה ע"י
\(H = \hbar^{-1}\Omega(\hat{n}\cdot\vec{L})^2\)

כלומר, בחר את רכיב התנע הזוויתי בכיוון הוקטור \(n\), העלה בריבוע, הכפל באומגה וחלק בהבאר.

עבור \(l=1\) המצבים האפשריים עבור כל רכיב תנע ספציפי שהוא הם \(0, \pm\hbar\). תשתמש בע"ע האלה ותקבל שהאנרגיות האפשריות הן \(\hbar\Omega\) עם ניוון 2( שמתאימים לע"ע \(\pm\hbar\) של רכיב התנע הרלוונטי) ו0 בלי ניוון.

לגבי בחירת בסיס, שים לב שאתה מציג גם את אופרטורי התנע הזוויתי השונים בבסיס שאתה בוחר. אם אתה קונסיסטנטי זה אמור לצאת.

[eligudi]

כנראה שיש משהו בסיסי שאני מפספס פה. כשפיתחנו את הפתרון לפוטנציאל המרכזי החלטנו ללכסן את Lz כי הוא היה מהצורה הפשוטה יותר, או משהו כזה. אם היינו מחליטים ללכסן לפי Lx או Ly האם היינו מקבלים אותם ע"ע? ז"א האם לLz וLx וLy יש אותם ע"ע תמיד?
ובנוגע לשאלה, אם הגענו לזה שע"ע של כל רכיב של התנ"ז הוא \(0, \pm\hbar\) איך זה רומז לנו על הע"ע של ההמילטוניאן?

[alonyan]

מדובר בבעיות עם סימטריה כדורית(שימור ת"ז וכו') ולכן בחירת הבסיס היא בחירה שרירותית.

מקובל לקרוא לרכיב הת"ז המלוכסן \(L_z\) אבל זו בסה"כ קונוונציה. אפשר באותה מידה לעבוד בבסיס שבו \(L_x\) מלוכסן ושאר הרכיבים יסתדרו בהתאם לבחירה הזו.

היות והבעיה סימטרית, לבחירת הבסיס(שהיא שרירותית) מין הסתם אין השפעה על הפיזיקה של הבעיה(שמתבטאת בע"ע של הרכיבים השונים). כך שהע"ע האפשריים של כל אחד מרכיבי התנע הם זהים.

עכשיו לגבי הקשר לאנרגיה, בתרגיל הספציפי היה נתון המילטוניאן, והאנרגיות שמתאימות להמילטוניאן הזה הן כמו שכתבתי בתגובה הקודמת.

[eligudi]

תגיד לי אם הבנתי אותך לא נכון. אנחנו מקבלים וקטור n ואז מסובבים את מערכת הצירים ככה שאחד הצירים (z לדוגמא) יהיה בכיוון n. ואז שואלים מה הערך העצמי של ההמילטוניאן (שיוצא תלוי רק בLz) ויוצא שהוא קשור באופן ישיר לLz.
או שעשיתי משהו לא חוקי?

[alonyan]

בגדול זה נכון.

יותר מזה, מספיק להבין שהכיוון שהחלטת לקרוא לו \(z\) הוא שרירותי, ולכן לא משנה על איזה רכיב אתה מסתכל של הת"ז - הע"ע זהים, היות ובחירה שרירותית של נערכת צירים לא יכולה להשפיע על הפיזיקה.

[kramerbenny]

משהו לא ברור לי בניסוח של השאלה...
אם נתונים לנו מצבי הבסיס שהם מצבים עצמיים של Lz, זה לא אומר שהבסיס נקבע מראש? וגם עצם העובדה שהבסיס ידוע מבטיחה שבמקרה זה \(\hat{n}\) יהיה בכיוון פלוס מינוס z(אולי בנוסף לכיוונים מסויימים אחרים אבל בטח לא כיוון כללי)?

[alonyan]

קבעת בסיס מסוים ולכוון מסויים קראת \(z\). לאחר מכן, בחרת כיוון כלשהו \(\hat{n}\) ביחס לבחירה שלך. תנסה להסביר באיזה חלק אתה נתקע.

[kramerbenny]

... אנחנו מקבלים וקטור n ואז מסובבים את מערכת הצירים ככה שאחד הצירים (z לדוגמא) יהיה בכיוון n...

בגדול זה נכון.

אבל זה לא בדיוק מה שהסברת כרגע. קודם נבחר ציר z ובהתאם אליו מקבלים את הקואורדינטות של n, או שקובעים את ציר z בהתאם לכיוון n?

בשאלה רשום

משתמשים במצבי בסיס שהם מצבים עצמיים של Lz

לפי מה שאני הבנתי נתון לנו סט של מצבים שפורשים את המרחב, והוא לא מקיים סימטריה כדורית אלא רק גלילית
(כי יש ציר שאם נמדוד את התנע הזוויתי שלהם לפיו נקבל ערכים \(m\hbar\)).
ז"א שציר z נקבע בהנתן אותו סט של מצבים, ואין קשר באופן כללי בינו לבין וקטור כללי \(\hat{n}\)

אם זה המקרה אז אני פשוט לא מבין למה הפתרון לא לוקח בחשבון את n