הרכבת סיבובים

מנהל: dcohen

שלח תגובה
ddani
הודעות: 545
הצטרף: 22:50 21/02/2010

הרכבת סיבובים

שליחה על ידי ddani » 14:57 30/12/2019

נשאלתי בשיעור על הרכבת סיבובים, אציג את הדרך השגויה ואחר אתקן.
עבור הדוגמא שפתרנו בתרגול: סיבוב סביב ציר \(y\) ואז סיבוב סביב ציר \(z\), כלומר מדובר על \(R=R_zR_y\).
בנוסף אמרנו שהפעולה של סיבוב פונקציית גל שקולה לפעולה הבאה:
\(R\psi(\vec r) =\psi\left( \left(R^{E}\right)^{-1} \vec r\right)\).

פה נשאלתי מה יקרה אם ניקח את התוצאה האחרונה ונבצע אותה שלב שלב, כלומר:
\(R\psi(\vec r) =R_z \psi\left( \left(R_y^{E}\right)^{-1} \vec r\right)\stackrel{?}{=}
\psi\left( \left(R_z^{E}\right)^{-1} \left(R_y^{E}\right)^{-1} \vec r\right)\)

מנגד אנו אומרים ש:
\(\left(R^{E}\right)^{-1}=\left(R_z^{E}R_y^{E}\right)^{-1}=\left(R_y^{E}\right)^{-1}\left(R_z^{E}\right)^{-1}
\)

אם השיוון עם הסימן שאלה נכון זה אומר שמטריצות סיבוב הן קומוטטיביות, אבל הם לא, לכן השיוון שגוי.
נבצע את הפעולה ביתר זהירות, ונגדיר פונקציית עזר: \(f(\vec r)= \psi(\left(R_y^{E}\right)^{-1} \vec r)\).
נחשב שוב:
\(R\psi(\vec r) =R_z \psi\left( \left(R_y^{E}\right)^{-1} \vec r\right)=R_zf(\vec r)=f(\left(R_z^{E}\right)^{-1} \vec r)=
\psi\left( \left(R_y^{E}\right)^{-1} \left(R_z^{E}\right)^{-1}\vec r\right)\)


וזה מתיישב עם כל מה שאנחנו מצפים.

אני מודה על השאלה, נהנתי לתעסק עימה.
דניאל דהן

lirar
הודעות: 6
הצטרף: 14:30 01/06/2019

Re: הרכבת סיבובים

שליחה על ידי lirar » 17:29 30/12/2019

לפי דעתי הסיבה לבלבול נובעת מנוטציה שאינה חד משמעית: כשכותבים \(f(\vec{r})\) לא ברור האם הכוונה לפונקציה או לערך שלה בנקודה \(\vec{r}\).
כשמסובבים פונקציה מקבלים פונקציה ולכן ברור למה הכוונה כשכותבים \(R\psi(\vec{r})\), זה הערך של הפונקציה המסובבת \(R\psi\) בנקודה \(\vec{r}\). הערך הזה שווה, לפי כלל "הקרוסלה מסתובבת אחורה", ל-\(\psi((R^E)^{-1}\vec{r})\).
כאשר מרכיבים סיבובים מתחילים להבין שהיעדר הבחנה בין הפונקציה והערך שלה יוצר נזק - איך מסובבים את \(\psi((R^E)^{-1}\vec{r})\)? מסובבים את ה-\(\vec{r}\) הפנימי או את כל הארגומנט?
בכתיב ללא ארגומנט פנימי, השוויון שצריך להתקיים בין פונקציות נראה כך: \((R_zR_y)\psi=R_z(R_y\psi)\). שוויון בין פונקציות משמעותו שוויון לכל ערך \(\vec{r}\), כלומר צריך להתקיים: \(((R_zR_y)\psi)(\vec{r})=(R_z(R_y\psi))(\vec{r})\). נראה שזה אכן המצב:

\(((R_zR_y)\psi)(\vec{r})=\psi((R_zR_y)^{-1}\vec{r})=\psi(((R_y)^{-1}(R_z)^{-1})\vec{r})=\psi((R_y)^{-1}((R_z)^{-1}\vec{r}))=(R_y\psi)((R_z)^{-1}\vec{r})=(R_z(R_y\psi))(\vec{r})\)

בקיצור: אם רק נוסיף סוגריים ונכתוב \((R\psi)(\vec{r})\) לעומת \(R(\psi(\vec{r}))\) לא נוכל להתבלבל - הביטוי הראשון הוא בעל המשמעות שאנחנו מכירים, ואילו הביטוי השני חסר משמעות כי \(\psi(\vec{r})\) זה מספר ואנחנו לא מסובבים מספרים.
לי ההסבר הזה עוזר (בנוסף להסבר שלך, דניאל), אולי הוא יעזור גם לעוד מישהו.
לירן

שלח תגובה

חזור אל “- קוונטים 2”