פונקציית חלוקה של גז אידאלי

[gadi]

שאלה מהמייל:

אהלן גדי!

1.מדוע כאשר מחשבים בצורה אינטגרלית את פונקציית החלוקה יש צורך לנרמל את האינטגרל?
2. נראה לי מוזר לדחוף את קבוע פלאנק (בנרמול). כי יכול להיות שאני מתעסק בגז אידיאלי בתחום הקלאסי ואז למה צריך לצוץ לי קבוע פלאנק?
3. מדוע האינטגרציה רצה גם על הנפח? אם יש לי רק תנע בהימלטוניאן לא צריך להריץ את האינטגרל רק על dp?

******************************************************************************************************************

שלוש שאלות, תשובה אחת:

ההגדרה של פונקציית החלוקה היא סכום על כל המצבים של אקספוננטת בולצמן:

\(Z=\sum_{\{\vec{r}_i,\vec{p}_i\}_N}e^{-\beta H\(\{\vec{r}_i,\vec{p}_i\}\)}\)

בשביל לעבור מסכום לאינטגרל נכפול ונחלק ב- \(\(\Delta x \Delta p\)^d\), כאשר \(d\) הוא המימד של הבעיה. כלומר-

\(Z=\frac{1}{\(\Delta x \Delta p\)^d}\sum_{\{\vec{r}_i,\vec{p}_i\}_N}e^{-\beta H\(\{\vec{r}_i,\vec{p}_i\}\)}\(\Delta x \Delta p\)^d\)

ניקח כעת את הגבול \(\Delta x, \Delta p\rightarrow 0\) אבל נשמור על המכפלה שלהם, לפי עקרון אי הוודאות, קבועה (\(\Delta x \Delta p=h\)). כלומר-

\(Z\rightarrow\frac{1}{(2\pi \hbar)^{d}}\int d\vec{r}d\vec{p}e^{-\beta H\(\{\vec{r}_i,\vec{p}_i\}\)}\)

גדי.