דף 1 מתוך 1

תשובות לשאלות שנשאלתי

נשלח: 22:22 03/06/2019
על ידי yoav3
שלום לכולם,
אני רוצה להתייחס לכמה שאלות שנשאלתי.

1. האם תמיד קו פנימי בדיאגרמת פיינמן מייצג חלקיק וירטואלי? איך זה מתקשר לזה שיש דיאגרמות פיינמן ש"אפשר לחתוך אותן באמצע ולקבל 2 תהליכים"? לדוגמה, אלקטרון ופוזיטרון שמתפזרים ל-זד , הזד מתפרק לאלקטרון ופוזיטרון - האם הזד "אמיתי" או וירטואלי?

2. למה אלמנט המטריצה של תהליך (בסדר ראשון) נלקח להיות בראשית הצירים, \(\mathcal{M}=\langle \beta|\mathcal{H}_I(0)|\alpha\rangle\)? שאלה שקשורה בזה - מאיפה מגיעה פונקציית הדלטא-4 על התנעים בביטוי של חתכי פעולה וקצבי דעיכה?

3. למה באנרגיות הולכות וגדלות, מצאנו שחתך הפעולה של פיזור שני חלקיקים סקלריים הולך וקטן?

אשתדל לענות בצורה בהירה למטה.

1. בתנאי מסוים, קו פנימי מייצג חלקיק וירטואלי ולא ניתן לחתוך את הדיאגרמה ל-2 חלקים. התנאי הוא ש
\(p^2 = -E^2+|\vec{p}|^2 \neq -m^2.\)
במערכת מרכז המסה, זה אומר שאנרגיית מרכז המסה (שיש לנו שליטה בה במאיצים, עד לאנרגיה מקסימלית של 13.6 TeV היום בLHC) צריכה להיות שונה ממסת החלקיק. זה לא לגמרי מדויק כפי שאסביר למטה.
אני מצרף קישור לתמונה של גרף חתך הפעולה של אלקטרון ופוזיטרון כתלות באנרגיית מרכז המסה. המוטיבציה היא להבין האם חלקיק ה-זד שנמצא בקו פנימי בתהליך הינו וירטואלי.
https://i.stack.imgur.com/LeR5G.png
בתמונה, ניתן לראות שיש לחתך הפעולה פיק במסת של~91 ג'יגה אלקטרון וולט, שמתאימה למסת ה-זד.
מצד שני, הדיאגרמה שאני מצרף
תמונה
נותנת ערך שונה מאפס בכל אנרגיה. זה אומר שכל עוד אנרגיית מרכז המסה היא מחוץ לסביבת הפיק שממורכז ב- 91GeV, ה-זד בדיאגרמה הוא וירטואלי ; וכל עוד מסתכלים בדיאגרמה בסביבות 91 GeV , ה-זד שנוצר הוא "אמיתי". במקרה האחרון ניתן לדבר על 2 תהליכים נפרדים: אלקטרון ופוזיטרון מתנגשים והופכים ל-זד. ה-זד מתפרק ל מיואון ואנטי מיואון.
אני משתמש במילה "בסביבות" כי התנאי ל"חלקיק אמיתי" הוא
\(|p^2 +m^2| \sim < \Gamma \times m.\)
פאקטור קצב הדעיכה נותן את רוחב הפיק, וזה מוכפל במסת החלקיק שמיוצג ע"י קו פנימי. האי-שוויון האחרון, זה כבר חומר יותר מתקדם מהקורס שלנו...

2. הטענות המוזכרות בשאלה נובעות מחישוב אלמנט מטריצה של אופרטור האבולוציה בתורת הפרעות תלויה בזמן במכניקת הקוונטים. יש מצב התחלתי של חלקיקים חופשיים ומצב סופי גם של חלקיקים חופשיים (לדוגמה: אלקטרונים). ההסתברות לעבור בין מצב התחלתי למצב סופי לאחר זמן t (שזה פרופורציונלי לחתך הפעולה ולקצב הדעיכה של תהליכים) הוא אלמנט המטריצה בריבוע של אופרטור האבולוציה:
\(P(\alpha \to \beta)=|\langle \beta|U(t,t_0)|\alpha\rangle|^2.\)
ניתן לעבוד בתמונת האינטרקציה בה אופרטורים בתמונת הייזנברג מוכפלים מימין ומשמאל במטריצות אוניטריות של אבולוציה ללא הפרעה (אסמן באינדקס תחתון I). בתורת הפרעות מסדר ראשון,
\(U_I(t,t_0)=1-i\int H_I (t')dt'\)
כאשר "1" הוא אופרטור היחידה וגבולות האינטגרציה הם מ טי0 עד טי. אלה נלקחים להיות מ- מינוס אינסוף עד אינסוף. H_I היא ההפרעה. בתורת שדות, ההמילטוניאן נתון ע"י אינטגרל מרחבי של צפיפות ההמילטוניאן:
\(H_I = \int d^3x \mathcal{H}_I\)
ולכן
\(U_I(t,t_0)=1-i\int \mathcal{H}_I (x)d^4x.\)
ניתן להשתמש באופרטור הזזה כדי להזיז את צפיפות ההמילטוניאן לראשית:
\(\mathcal{H}_I (x)=e^{i P\cdot x} \mathcal{H}_I (0) e^{-i P\cdot x}\)
[הערה: הראשית היא לא נקודה חשובה, ניתן להזיז לכל נקודה במרחב זמן x0.]
כאשר מסנדווצ'ים את U_I מצב התחלתי ומצב סופי, מקבלים עבור אופרטור היחידה 0, כי מניחים שהמצב הסופי וההתחלתי הם אורתוגונליים (עבור התפרקות, ברור שהמצב ההתחלתי אורתוגונלי למצב הסופי אחרי הרבה זמן, מדובר בחלקיקים מסוג שונה. עבור פיזור ניתן גם לחשב הסתברות ל"שרוד" את המצב ההתחלתי, אך אותנו מעניין מעבר בין מצבים שונים.) עבור האיבר הלינארי בהמילטוניאן:
\(\langle \beta | U_I|\alpha\rangle ^{[1]}=-i\int d^4 x \langle \beta|e^{i P\cdot x} \mathcal{H}_I (0) e^{-i P\cdot x} |\alpha\rangle\)
אופרטור התנע ייתן את הערך העצמי של המצב, למשל
\(e^{-i P\cdot x} |\alpha\rangle=e^{-i (p_1+..p_n)\cdot x}|\alpha.\)
לכן
\(\langle \beta | U_I|\alpha\rangle ^{[1]}=-i\int d^4 x \langle \beta|e^{i P_{\beta}\cdot x} \mathcal{H}_I (0) e^{-i P_{\alpha}\cdot x} |\alpha\rangle\)

האינטגרל על המרחב-זמן נותן דלטא:
\(\langle \beta | U_I|\alpha\rangle ^{[1]}=-i \langle \beta| \mathcal{H}_I (0) |\alpha\rangle (2\pi)^4 \delta^4 (p_{\alpha}-p_{\beta})\)
קיבלנו את אלמנט המטריצה בביטוי הזה,
\(\mathcal{M}=\langle \beta| \mathcal{H}_I (0) |\alpha\rangle.\)
[שוב, 0 היא לא נקודה חשובה במרחב זמן, הזזה ל- \(x_0\) הייתה מובילה לפאקטור נוסף של \(e^{-i (p_{\beta}-p_{\alpha})\cdot x_0}\). זה הופך ל-1 בגלל פונקציית הדלטא שמופיעה בביטוי להסתברות].
ההסתברות פרופורציונלית לערך מוחלט בריבוע של זה.
זה מסביר מאיפה בא הדלטא-פונקציה ולמה צפיפות המילטוניאן-האינטרקציה נלקחת בנקודה מסוימת. ניתן להכליל את הדיון הנ"ל לתורת הפרעות עם טור אינסופי שמכיל מכפלות של צפיפויות-המילטוניאן (עושים את הטריק של ההזזה רק עבור אחד מצפיפויות ההמילטוניאן שמופיעות).

מה שעוד נובע מהחשבון הזה, זה שאם מתחילים עם לגרנז'יאן-אינטרקציה שמכיל קבוע צימוד g וכפל של שדות, אז ההמילטוניאן שהולך כמו מינוס הלגרנז'יאן נותן g- , ואלמנט המטריצה נותן g-. לכן,
\(-i\mathcal{M}\sim i g\). בתרגול האחרון שלי עשיתי טעויות עם פאקטור ה-i הזה. למשל בתאורייה עם אינטרקציה (בלגרנז'יאן) \(-\lambda \phi^4\), אלמנט המטריצה נותן
\(-i \mathcal{M}=i (-\lambda)\times 4!\), ואני השמטתי את ה-i באגף ימין. אותו הדבר עשיתי עם \(\mathcal{L}_I=-g\phi \chi_1 \chi_2\). זה לא משפיע על התוצאה הסופית במקרים האלה; אך חשוב להקפיד על הסימנים אם יש כמה אינטרקציות שתורמות לתהליך מסוים.

3. הסקלאה היחידה עם יחידות של שטח, ביחידות טבעיות, היא \(1/E_{C.M.}^2\) בבעיה שפתרנו. כשמגדילים את האנרגיה, סקלאת השטח הזאת קטנה , ואיתה גם חתך הפעולה שפרופורציונלי אליה - "השטח שממנו השטף ההתחלתי מתפזר" הולך וקטן. אגב, גם לחתך הפעולה מפיזור רת'רפורד (חלקיקים טעונים מתפזרים על פוטנציאל קולון) שאני חושב שלמדתם, יש התנהגות כזאת (הולך כמו אחד חלקי האנרגיה הקינטית בריבוע).
הקבוע \(\lambda\) הוא חסר יחידות מהסיבה הבאה: לפעולה יש יחידות של הייצ'-באר, שזה 1 ביחידות טבעיות. את הפעולה ניתן להביע באמצעות צפיפות הלגרנז'יאן
\(S=\int d^4 x \mathcal{L}\). לכן היחידות של צפיפות הלגרנז'יאן הן אחד חלקי מרחק ברביעית. ביחידות טבעיות זה מסה בחזקה רביעית. לשדה הסקלארי יחידות של מסה: \(\mathcal{L} \sim m^2 \phi^2\). לכן מ- \(\mathcal{L}\sim \lambda \phi^4\) נובע ש-למבדא חסר יחידות.

יואב

Re: תשובות לשאלות שנשאלתי

נשלח: 13:27 06/06/2019
על ידי guyzis
תודה רבה על התשובות המפורטות!

Re: תשובות לשאלות שנשאלתי

נשלח: 01:06 18/06/2019
על ידי yoav3
שלום לכולם,

בתרגול האחרון נשאלתי למה אלמנט המטריצה הוא אינווארינטי-לורנץ. התשובה שלהלן מתבססת על ההודעה הראשונה שכתבתי.

התשובה היא שזה נובע מההנחה שהפעולה של התהליכים היא אינווריאנטית לורנץ. אסביר למטה איך נובע מכך שאלמנט המטריצה \(\mathcal{M}\) אינווריאנטי לורנץ.
אלמנט המטריצה נבנה מתוך אופרטור האבולוציה.
אני מצרף משוואה של האופרטור הזה, שכתבתי בהודעה הראשונה בשרשור זה
\(U_I = 1-i\int d^4 x \mathcal{H}_I(x)+...\)
אם צפיפות הלגרנז'יאן קשור לצפיפות ההמילטוניאן ע"י:
\(\mathcal{H}_I=-\mathcal{L}_I.\)
[זה יכול לקרות במקרים בהם לגרנז'יאן האינטקציה לא כולל נגזרות של שדות. במקרים בהם זה קורה, טרנספורם לז'נדר שמקשר בין לגרנז'יאן להמילטוניאן נהיה הכפלה ב 1-.]
אז:
\(U_I = 1+i\int d^4 x \mathcal{L}_I(x)+...\)
הפעולה, שהיא אינוואריאנטית לורנץ,
\(S_I=\int d^4 x \mathcal{L}_I(x)\)
לכן
\(U_I=1-iS_I+...\)
ה-3 נקודות ... גם הן לורנץ-אינווריאנטיות, הן מכילות בהתחלה מכפלות של המילטוניאנים שהופכים למינוס לגרנז'יאנים , והכל באינטגרלים על המרחב-זמן.
משוואה נוספת שכתבתי היא אמפליטודת המעבר בין מצב אלפא למצב בטא, בסדר ראשון בתורת ההפרעות:
\(\langle \beta | U_I|\alpha\rangle=-i \mathcal{M} (2\pi)^4 \delta^4 (p_{\alpha}-p_{\beta}).\)

כדי להסיק שאלמנט המטריצה לורנץ-אינווריאנט, אסביר למה במשוואה הזאת, (1) אגף שמאל וגם (2) פונקציית הדלטא הן לורנץ-אינוואריאנטיות.

(1) כאשר עושים טרנספורמציית לורנץ, המצבים הקוונטיים של החלקיקים ההתחלתיים והסופיים משתנים כ-
\(\langle \beta |\rightarrow \langle \beta |U^{\dagger} (\Lambda)~,~|\alpha\rangle\rightarrow U(\Lambda)|\alpha\rangle.\)
כאשר האופרטור \(U(\Lambda)\) מפעיל טרנספורמציית לורנץ על מצבים במרחב הילברט.
לכן
\(\langle \beta | U_I|\alpha\rangle \rightarrow \langle \beta| U^{\dagger}(\Lambda) U_I U(\Lambda)|\alpha\rangle = \langle \beta | U_I|\alpha\rangle\)

כאשר השוויון האחרון נובע מהמשוואה ממה שהסברתי למעלה, שהאופרטור \(U_I\) אינווריאנטי לורנץ.

(2) פונקציית -4-דלטא היא לורנץ אינווריאנטית מהסיבה הבאה.

\(\int d^4 p \delta^4(p-p_{\beta})=1.\)
אגף ימין אינווריאנטי, וגם המידה \(d^4p\) אינווריאנטית , כי היא כוללת יעקוביאן שיוצא דטרמיננט של מטריצת לורנץ , ששווה ל-1 (זכרו את החומר הראשוני בקורס). לכן גם פונקציית הדלטא אינווריאנטית לורנץ.
המסקנה היא שבמשוואה בה מופיע אלמנט המטריצה של התהליך \(\mathcal{M}\) , כל הגדלים אינווריאנטים ולכן גם אלמנט המטריצה חייב להיות אינווריאנטי.