תרגיל כיתה #5 שאלה 2

שלח תגובה
avrysh
הודעות: 146
הצטרף: 13:16 11/03/2012

תרגיל כיתה #5 שאלה 2

שליחה על ידי avrysh » 23:05 25/11/2012

עבור סטודנטים בקבוצת תרגול של יום ראשון. פתרון של הבעיה דרך מציאת שדה \(\vec{E}\) ושימוש בהגדרת הפוטנציאל \(\Phi=-\int_{1}^{2}\vec{E}\cdot d\vec{r}\).
אלמנט שדה בנק כלשהיא על ציר \(\hat{z}\),
\(d\vec{E}=\frac{k\cdot dq}{R^{2}+z^{2}}\frac{\left(z\right)}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\) כאשר הצבתי \(\hat{r}=\frac{\left(-\vec{R},z\right)}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\), ולקחתי בחשבון שרק הרכיב בכיוון ציר \(\hat{z}\) שורד
נציב את \(dq=\lambda Rd\theta\) ונבצע אינטגרציה על הזוית.
\(E_{z}=\int_{0}^{2\pi}\frac{k\lambda R}{R^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}d\theta\)
\(\rightarrow E_{z}=\frac{2\pi k\lambda R}{R^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\) והבצבת \(Q=2\pi R\lambda\) נקבל
\(\rightarrow E_{z}=\frac{kQ}{R^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\)
שלב אחרון, נמצא את הפוטנציאל (על ציר \(\hat{z}\) מאינסוף לנקודה \(z\) כלשהי).
\(\Phi=-\int_{\infty}^{z}E_{z}\cdot dz\)
\(\Phi=-\int_{\infty}^{z}E_{z}\cdot dz=-\int_{\infty}^{z}\frac{kQ}{R^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\cdot dz=-\int_{\infty}^{z}\frac{kQ\cdot z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}dz=\frac{kQ}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\)
כאן השתמשתי באינטגרל מדף נוסחאות \(\int\frac{x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}dx=-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}+C\)
לכן התשובה בדרך הזאת \(\Phi_{\infty\rightarrow z}=\frac{kQ}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\) אותה תשובה כמו בדרך השניה. תהנו

שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 2ג (במקור למדעי החיים)”