דף 1 מתוך 1

משוואה דיפרנציאלית

נשלח: 16:01 29/12/2017
על ידי dan2019
היי, תוכלו בבקשה להסביר לנו בכמה שלבים כיצד לפתור משוואה דיפרנציאלית?

תודה

Re: משוואה דיפרנציאלית

נשלח: 11:09 30/12/2017
על ידי nagaryo
שלום
הנה עיקרי החומר הנלמד בתרגול:

פתרון משוואה דיפרנציאלית
א.
כאשר אתם מקבלים משוואה דיפרנציאלית (עם נגזרת) מהצורה נגזרת של גודל שווה לאותו הגודל כפול קבוע:
\(\frac{df}{dt}=-\gamma f\)
כאשר \(\gamma\) זה קבוע כלשהו וכאן בחרנו נגזרת בזמן שבקיצור מסמנים כך: \(\frac{df}{dt}=\dot{f}\)
הפתרון שלה הוא:
\(f(t)=A e^{-\gamma t}\)
כלומר דעיכה אקספוננצילית (אם \(\gamma\) חיובי).ו-A קבוע שניתן למצוא מתנאי ההתחלה הנתון. למשל אם בt=0 הפונקציה שווה ל-2:
\(2=f(t=0)=A e^{-\gamma 0}=A\)

ב.
כאשר אתם מקבלים משוואה דיפרנציאלית מהצורה:
\(\frac{df}{dt}=-\gamma f+b\)
כאשר \(\gamma\) ו-b הם קבועים כלשהם
הפתרון שלה הוא:
\(f(t)=A e^{-\gamma t}+\frac{b}{\gamma}\)
כאשר A קבוע שניתן למצוא מתנאי התחלה

איך ידעת שזה הפתרון?
ניחשתי: איזה פונקציה כשאני גוזר אותה אני מקבל את עצמה? אקספוננט!
לכן ניחשתי פתרון מהצורה:
\(f(t)=A e^{-Bt}+C\)
והצבתי חזרה במשוואה הדיפרנציאלית. למשל ב..\(\frac{df}{dt}=-\gamma f\)
במקרה זה (חלק א) גיליתי ש \(B=\gamma\) ו- \(C=0\). כדי שזה יהיה פתרון מתאים.


איך נוצרת משוואה דיפרנציאלית במעגלים החשמלים?
כאשר ישנם שני נעלמים (כאן I-הזרם ו-q המטען) ומשוואה אחת וכאשר יש קשר בין הנעלמים מהצורה של נגזרת ( כאן \(I=\frac{dq}{dt}\) )
קחו למשל מעגל חשמלי פשוט עם כא"מ נגד וקבל, משוואת המתחים במעגל:
(משוואה 1) :
\(\epsilon=IR+\frac{q}{C}\)
אם נציב במקום I הזרם את הנגזרת נקבל:
\(\epsilon=\frac{dq}{dt}R+\frac{q}{C}=\dot{q}R+\frac{q}{C}\)
\(\dot{q}=-\frac{1}{RC}q+\frac{\epsilon}{R}\)
נקבל משוואה דיפרנציאלית למטען q, כלומר נגזרת של המטען שווה לקבוע כפול המטען + עוד קבוע
שפתרונה כפי שראינו בהתחלה:
\(q=A e^{-t/RC}+\frac{\epsilon}{C}\)
את A נמצא לפי תנאי התחלה למטען. למשל נתון שבt=0 המטען הוא \(q_0\)
\(q_0=A+\frac{\epsilon}{C}\)
או \(A=q_0-\frac{\epsilon}{C}\)
ולכן (משוואה 2):
\(q=(q_0-\frac{\epsilon}{C}) e^{-t/RC}+\frac{\epsilon}{C}\)

דרך אחרת נגזור את משוואה 1:
\(0=\frac{dI}{dt}R+\frac{dq}{dt}\frac{1}{C}=\dot{I}R+\frac{I}{C}\)
\(\dot{I}=-\frac{1}{RC}I\)
שפתרונה:
\(I=A e^{-t/RC}\)
את הקבוע A נמצא על-ידי הצבת תנאי התחלה לזרם:
למשל, הזרם בt=0 או המטען בt=0. אם נתון המטען בהתחלה \(q_0\) אז נוכל לקשר לזרם בהתחלה לפי משוואה 1.
\(I_0=\frac{\epsilon}{R}-\frac{q_0}{C}\)
ולכן: \(A=\frac{\epsilon}{R}-\frac{q_0}{C}\)
והפתרון הוא (משוואה 3): \(I=(\frac{\epsilon}{R}-\frac{q_0}{C}) e^{-t/RC}\)

אם מצאנו את הפתרון למטען ונדרש למעשה הפתרון של הזרם ולהפך, מה עושים?

אם נגזור את הפתרון של המטעו נקבל את הזרם:
\(I=\frac{dq}{dt}\)
בדקו שאם את גוזרים את משוואה 2 אתם מקבלים את 3
ולהפך, אם נבצע אינטגרציה לפתרון של הזרם נקבל את המטען. בדקו.

מה המשמעות של \(\gamma\) ?

היא מופיעה בתוך האספוננט (היא חזקה ביחד עם t הזמן) ולכן אסור לחזקה להיות בעלת יחידות. לכן היא חייבת להיות בעלת יחידות של אחד חלקי זמן.
כלומר \(\frac{1}{\gamma}=\tau\) זהו קבוע הדעיכה והוא מתאר לי כמה מהר הפונקציה תדעך, או במקרה זה הזרם/המטען.