שאלה 4305_2 - גזירה של אינטגרל הבהרה מתמטית (למי שמעוניין)

שלח תגובה
sara
הודעות: 505
הצטרף: 19:59 25/10/2009

שאלה 4305_2 - גזירה של אינטגרל הבהרה מתמטית (למי שמעוניין)

שליחה על ידי sara » 12:13 29/04/2014

נשאלתי לגבי הדקות המתמטית בגזירה של אינטגרל עבור מציאת צפיפות נפחית בתחום בו \(r>R_2\):

המשפט היסודי של האלגברה אומר:
\(\int_a^b f(r) dr = F(b)-F(a)\) שים לב איך זה מתבטא במשוואה שלנו:

\(\epsilon_0 \oint \vec E \cdot \vec{dS}=Q_{in}\)
\(4\pi \epsilon_0 E(r) r^2 = \sigma_2 S + \int_{R_2} ^r \rho(r')4\pi r'^2 dr'\)

נרשום מפורשות את המטען על הקליפה וניעזר במשפט היסודי כדי לקבל:
\(4\pi \epsilon_0 E(r) r^2 = \sigma_2 S + 4\pi \left[F(r)-F(R_2)\right ]\)

אבל \(\sigma_2 S\) ו-\(F(R_2)\) הם קבועים, אז כאשר נגזור את המשוואה לפי \(r\): \(\frac{d}{dr}\) נקבל:
\(\frac{d}{dr}\left( r^2 E(r) \right) = F'(r)=r^2\rho(r)\)

שזה בדיוק מה שקיבלנו בפיתוח בתרגול.
נערך לאחרונה על ידי sara ב 16:54 02/05/2014, נערך 2 פעמים בסך הכל.
שרית

omayerg
הודעות: 14
הצטרף: 18:31 30/03/2014

Re: שאלה 4305_2 - גזירה של אינטגרל הבהרה מתמטית (למי שמעוניין)

שליחה על ידי omayerg » 16:38 02/05/2014

בשרוה החמישית:
למה באגף ימין לא התייחסת גם לסגמה1 כפול S1 ולצפיפות הנפחית שמצאנו מקודם כפול נפח הכדור הפנימי? כי הם ייתאפסו כמו שסגמה2 כפול S מתאפס?
ואיך הגבול מ R2 עד ל-r? ברור שאין שם מטענים!, כלומר אני לא מבין איפה כל צפיפות "נמצאת", כי יצא לנו 3 רו, הראשונה מתייחסת לנפח הכדור הפנימי, השנייה הנפח שנמצא בין הכדור הפנימי לחיצוני, אז איפה הרו השלישית נמצאת?

sara
הודעות: 505
הצטרף: 19:59 25/10/2009

Re: שאלה 4305_2 - גזירה של אינטגרל הבהרה מתמטית (למי שמעוניין)

שליחה על ידי sara » 17:09 02/05/2014

סליחה, שכחתי לרשום שנשאלתי לגבי חישוב הצפיפות עבור \(r>R_2\), עכשיו הוספתי את ההערה.
omayerg כתב:בשרוה החמישית:
למה באגף ימין לא התייחסת גם לסגמה1 כפול S1 ולצפיפות הנפחית שמצאנו מקודם כפול נפח הכדור הפנימי? כי הם ייתאפסו כמו שסגמה2 כפול S מתאפס?
בעיקרון היה עליי להוסיף את המטען הכולל מצפיפות מטען נפחית בתחום \(\rho\left(r<R_1\right)\) וצפיפות מטען משטחית ברדיוס \(r=R_1\)
אבל כיוון שהם מקזזים אחד את השני:
\(\int_0^{R_1} \rho(r<R_1) dV=\rho(r<R_1)\cdot \frac{4\pi}{3}R_1^3 = - \sigma_1\cdot 4\pi R_1^2\)

אנחנו מקבלים שהסכום שלהם הוא אפס ולכן הוספתי רק את הצפיפות המשטחית ב-\(r=R_2\) ואת כמות המטען עד רדיוס \(r\) מצפיפות המטען \(\rho(r>R_2)\).
omayerg כתב: ואיך הגבול מ R2 עד ל-r? ברור שאין שם מטענים!, כלומר אני לא מבין איפה כל צפיפות "נמצאת", כי יצא לנו 3 רו, הראשונה מתייחסת לנפח הכדור הפנימי, השנייה הנפח שנמצא בין הכדור הפנימי לחיצוני, אז איפה הרו השלישית נמצאת?
מאיך שהשדה נראה בכל תחום (קפיצה בשדה/רציפות) ידענו לדעת איזו סוג צפיפות עלינו לצפות בכל תחום.
חוק גאוס הוא כזה שאגף ימין שלו מכיל רק את המטען בתוך המעטפת שנבחרה!, לכן:
1. בצפיפות \(\rho_1=\rho(r<R_1)\) - התרומה ל-\(Q_{in}\) נבעה רק מהכדור הפנימי וכך מצאנו אותו.
2. בצפיפות \(\rho_2=\rho(R_1<r<R_2\) - התרומה ל-\(Q_{in}\) נבעה מסך המטען של הכדור הפנימי וסך המטען על גבי המשטח ב- \(R_1\) שמקזזים אחד את השני גם ככה.
3. בצפיפות \(\rho_3=\rho(r>R_2)\) - התרומה ל-\(Q_{in}\) נבעה רק מצפיפות המטען הנפחית באזור זה (יש שם שדה שהוא לא הולך כמו \(1\r^2\) ) וצפיפות על גבי המשטח ב- \(R_2\).

אין סיבה לחשוב שבתחום 3 אין מטענים, ובכל מקרה אם לא היה שם מטענים - היינו מקבלים זאת מאגף שמאל (בחלק של הגזירה).
שרית


שלח תגובה

חזור אל “- פיסיקה 2א (במקור להנדסת חשמל)”