הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שלח תגובה
dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי dcohen » 14:49 29/06/2010

הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

gekhtera
הודעות: 5
הצטרף: 18:32 12/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי gekhtera » 18:52 12/10/2010

שלום,
אנה גכטר וביבי קרפל מסכמות תנושא.

noytom
הודעות: 4
הצטרף: 22:55 16/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי noytom » 23:01 16/10/2010

תומר נוי

gekhtera
הודעות: 5
הצטרף: 18:32 12/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי gekhtera » 23:14 19/10/2010

בעולם המודרני הפיסיקאלי אנו נתקלים רבות במושגים: "מהירות", "תנע" ו"מסה". מושגים מוכרים אשר הגדרתם לעיתים אינה ברורה מספיק.
אנו ננסה להגדיר מושגים אלה על ידי רקע ושימוש בדוגמאות.

מהירות
מהירות הינה מידה לתיאור קצב תנועתו של גוף במרחב, המסומנת על ידי האות V בעלת כיוון וגודל.
מהירות היא מושג יחסי ולכן כאשר אנו מודדים אותה עלינו לדעת ביחס למי מהירות זו נמדדת. המהירות היחסית בין שני הגופים מייצגת את קצב ההתקרבות או ההתרחקות של הגופים זה לזה.
בטבע ישנם סוגים שונים של מהירויות. כגון:
1. מהירות ממוצעת- מתארת גוף נקודתי לאורך דרך מסויימת
c961d3dc2282232f39f72631d685902c.png
c961d3dc2282232f39f72631d685902c.png (520 Bytes) נצפה 5835 פעמים
2.מהירות רגעית- מתארת מהירות של גוף מסויים ברגע מסויים. מהירות זו מבחינה מתמטית היא הגבול אליו שואפת המהירות הממוצעת ברגע T לבין הרגע שקרוב אליו שמסומן בT1
d5f3691343c23f0cbbd51f43e3418d55.png
d5f3691343c23f0cbbd51f43e3418d55.png (1.19 KiB) נצפה 5835 פעמים
X- דרך
T-זמן התחלתי
T+T1 - זמן קרוב לזמן התחלתי

על מנת למדוד את המהירות היחסית של גוף נע נשתמש במכשיר השולח גלים אלקטרומגנטיים וקולט אותם חזרה. מכשיר זה יודע לפענח את התיישנות הגלים ועל ידי כך למדוד את מהירותם.
דרך נוספת למדוד מהירות היא לקחת מכשיר השולח אלומות אור המוטלות על הקיר ועוברות דרך שני דיסקים בעלי חור יחיד. על מנת לראות את מהירות האור נסובב את הדיסק השני ולאט לאט נאיץ אותו עד שנגיע למצב שבו האלומה עוברת באופן רציף ולפי המרחק של הדיסקים וקצב הסיבוב ניתן לקבוע מהי מהירות שליחת האור.

מסה
במכניקה של ניוטון F=Ma וזה קובע שיש יחס ישר בין כוח המופעל על הגוף ובין תאוצתו.
ליחס זה קרא ניוטון "מסה".
מסה היא תכונה סגולית של גוף חומרי המציינת את מידת ההתמד שלו. כלומר, מידת התנגדותו לשינויי במהירותו ובכיוונו. המסה מוגדרת כיחס שבין הכוח הפועל על הגוף ובין תאוצתו. מסה היא גם מדד לעוצמתו של משיכת הכבידה בין הגוף לבין גופים אחרים.
מסה היא פרמטר ביחס הדיספרסיה שאיכשהו מאפשר לנו לדעת את המהירות על ידי תנע.

-יחס הדיספרסיה (נפיצה)-
זאת תופעה המתרחשת עקב מעבר גלים בתווך והיא תלוייה במהירות הגלים ואורך הגל. V = dE/dP = P/M
יחס הדיספרסיה הוא בעצם הקשר בין התנע לבין המהירות שניתנת לייצוג על ידי גרף של מהירות כפונקציה של תנע. בגרף זה מתוארת עליית המהירות מראשית הצירים עם שאיפה לכיוון מהירות האור אך ללא חצייתו.
יחס הדיספרסיה הלא רסטביסטית E= P*P/2M = 0.5MV*V

תנע (מומנטום)
תנע הוא מושג ההומצא על ידי אייזק ניוטון. תנע הוא גודל פיזיקאלי ווקטורי המבטא את כיוון ו"עוצמת" התנועה של אותו גוף. P=MV
צעד חשוב בפיזיקה הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה בורלי הציע השערה שלפיה כל חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל ולא רק אלקטרומגנטית מושפעות על ידי התנע.
ba4a990908bb476038b7e8cabe3a0a9c.png
ba4a990908bb476038b7e8cabe3a0a9c.png (1.23 KiB) נצפה 5835 פעמים
h-קבוע פלאנק
p- תנע
ג- אורך גל
בהמשך לניסויי שבו מדדנו מהירות ניתן גם למדוד תנע על ידי כך שהמרחק בין הדיסקים קטן ועל המסך בו פוגעת אלומת האור נוצרת התהפכות של האלומה המאפשרת מדידת אורך גל ומכך נובע שתנע היא צורה מוזרה לדבר על אורך גל.

יחידות- אנו נוהגים להשתמש במערכת הסטרדרטית SI שבה:
M- קילוגרם Kg
L- מטר
T- שניות
ולכן
מהירות = מטר \ שניה
תנע = קילוגרם*מטר \ שניה

מגישות:
אנה גכטר
ביבי קרפל

dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי dcohen » 09:18 20/10/2010

הסיכום הזה בעיתי ממספר בחינות

(1) הוא לא משקף את הנושא כפי שהועבר בהרצאה
(2) הסטודנטים התחמקו מכתיבת נוסאות בצורה הראויה וזאת בניגוד להנחיות.

לדוגמה: \(E = \frac{1}{2M}p^2 = \frac{1}{2} Mv^2\)

הערות ספציפיות:
- כל העסק של הגדרת מהירות רגעית מיותר ולא לעניין
- אין דיון (נוסחא) להגדרת מהירות באמצעות דיסק מסתובב. ביקשתי שיהיה.
- ההגדרה הקלאסית של המסה אינה נכונה - איפה הדיון בהתנגשויות של שני גופים.
- ההגדרה של תנע במכניקה קוונטית אינה מוצגת. במקום זה יש קטע "היסטורי".
- ההגדרה של מסה במכניקה קוונטית אינה מופיעה, וגם היחידות לא מוסברות.
- הדיון ביחס הדיספרסיה הרטיביסטי לא מופיע.

בקיצור -
עושה רשום שהסטודנטים לא היו בהרצאה.
במקרה כזה עדיף שיתחלפו עם סטודנטים אחרים שכן היו,
ושיקחו על עצמם נושא עצמאי שאינו מבוסס על ההרצאה.
אפשרות נוספת שאני מוכן לאפשר (לפנים משורת הדין) -
לצרף סטודנט שלישי שהיה בהרצאה או לפצל את הנושא לשני זוגות.

gekhtera
הודעות: 5
הצטרף: 18:32 12/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי gekhtera » 20:37 20/10/2010

נשמח לקבל את האפשרות לנסות לשפר את הסיכום ובו זמנית לנסות למצוא שותף שלישי

dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי dcohen » 07:17 21/10/2010

אני מצפה לגרסא חדשה בשבוע הבא.
אגב, החומר בצורה קצת יותר מדי "מתקדמת" מופיע בפרק הראשון של
http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/qmc_ARC.pdf

amitaid
הודעות: 16
הצטרף: 13:12 16/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי amitaid » 23:59 23/10/2010

יחס הדיספרסיה

ביחסות, אנרגיה, תנע ומסת חלקיקים קשורים יחדיו דרך משוואת קליין-גורדון:

\(E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\)

עבור חלקיק חופשי, יחס הנפיצה (דיספרסיה) הוא

\(E = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} = \frac{\hbar k^{2}}{2m}\)

כאשר k מייצג את מספר הגל

\(k = \frac{2\pi}{ \lambda}\)

כאשר מודדים את היחס בין מהירות חלקיק לתנע שלו מתקבל יחס שנקרא "יחס הדיספרסיה". במהירויות נמוכות (לא יחסותיות), היחס הינו בקרוב לינארי

\(v=\frac{1}{m} p\)

יחס הדיספרסיה היחסי של איינשטיין נתון ע"י פיתוח טיילור של משוואת קליין-גורדון (ביחידות c=1)

\(E = \sqrt {m^{2} + p^{2}} = m + \frac{p^{2}}{2m}+...\)

במקרה שהתנע שווה ל-0 מתקבלת אנרגיית המנוחה של החלקיק.
יחס הדיספרסיה לפי תנע-

\(v = \frac{p}{\sqrt{m^{2}+p^{2}}}\)

תמונה

יחס זה מגדיר את המסה ואת היחידות שלה.

מסה

בעבר מסה הוגדרה ע"י שימוש במאזניים (מסת הכבידה – מסה גרביטציונית) הנמדדת כפונקציה של כח המשיכה. עם התקדמות הפיסיקה החלו להשתמש
יותר בהגדרה של מסה אינרציאלית המוגדרת על ידי תוצאת התנגשות של שני גופים.

\(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}\)

\(\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{u_{2}-v_{2}}{v_{1}-u_{1}}\)

הבעיה בהגדרה זו של מסה היא שעל מנת למדוד מסה אחת יש לדעת מראש את המסה של הגוף השני. לשם כך נבחר גוף שרירותי במשקל 1kg כמסת
הייחוס על מנת שניתן יהיה למצוא את מסת שאר הגופים ע"י ביצוע התנגשות בו. בגלל שהמסה שבחרנו הינה שרירותית, יש לבצע המרה כלשהי על מנת
לקבל יחידות שבהן ניתן להשתמש. ההמרה פה היא פשוט מכפלה בקבוע פלאנק המצומצם

\(M[kg] = \hbar m \left [\frac{second}{meter^{2}}\right ] \ \ \ \ \left( \hbar = \frac{h}{2\pi} \right )\)

מהירות

מהירות הינה מידה לתיאור קצב תנועתו של גוף במרחב, המסומנת על ידי האות V בעלת כיוון וגודל.
יחידות המהירות הן

\([v] = \left[\frac{L}{T}\right] = \frac{meter}{second}\)

בעבר מדענים היו רואים ברק בשמיים ורק לאחר כמה שניות שומעים את הרעם. עד המאה ה-17 ההנחה המקובלת הייתה שבגלל שלקול מהירות מוגבלת
ואילו מהירות האור אינסופית, האור מגיע לפני הקול. הנחה זו עורערה ע"י גלילאו שהצליח להראות שלאור ישנה מהירות סופית, אך לא הצליח למדודה בדיוק
כלשהו אלא רק לציין שהיא גדולה לפחות פי 10 ממהירות הקול. בשנת 1849 פיסיקאי בשם פיזו (Fizeau) ביצע ניסוי שבו שלח קרן אור בין הרווח בין שתי
שיניים בגלגל שיניים מסתובב, דרך מראות, לאורך חמישה מייל ובחזרה לאותו גלגל שיניים.

תמונה

פיזו הצליח לסובב את הגלגל מספיק מהר עד שהקרן חזרה עד אליו ונתקעה בשן הגלגל במקום לעבור שוב דרך החריץ. ע"י מדידת מהירות הגלגל ואורך
המסלול הצליח פיזו לחשב את מהירות האור כ-313,300 ק"מ לשניה. בסופו של דבר חושבה מהירות האור בדיוק גדול יותר לערך של 299,792,458 מטר/שניה.

תנע בקוונטים

תנע קלאסי מוגדר כמכפלה של מהירות גוף במסה שלו

\(p = mv\)

תנע של חלקיקים ניתן למדוד גם ע"י ניסוי שני הסדקים – מעבירים אלומת חלקיקים דרך שני סדקים צמודים. על המסך מעבר לסדקים נוצרת תמונת התאבכות,
ועם מדידת המרחקים בין נקודות השיא ומידיעת המרחק בין הסדקים ועד למסך ניתן לחשב את אורך גל דה-ברולי (De-Broglie) של החלקיק וממנו את התנע,
לפי הנוסחה

\(p = \frac{2\pi} {\lambda}\)

אורך גל דה-ברולי ניתן ע"י:

\(p = \frac{h} {\lambda} \ \rightarrow \ \lambda = \frac{h} {p}\)

המושג תנע בתורת הקוונטים מוגדר כאופרטור במשוואת הגל. עבור חלקיק בודד, אופרטור התנע נכתב כך:

\(p = \frac{\hbar}{i}\bigtriangledown = -i\hbar \bigtriangledown\)

כאשר המשולש מציין את אופרטור הגרדיאנט (וקטור המורכב מנגזרות חלקיות בכיווני הצירים xyz).

מגישים:
אנה גכטר
ביבי קרפל
אמתי דגני

מקורות:
1. תנע במכניקת קוונטים - http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum#M ... _mechanics
2. מידע מתומצת על מכינקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIV ... qmech.html
3. סיכומי הרצאה במכניקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/qmc_ARC.pdf
4. איך מדדו את מהירות האור - http://news.nana10.co.il/Article/?ArticleID=157635

dcohen
הודעות: 2070
הצטרף: 10:13 22/02/2007
מיקום: פיסיקה, חדר 310
יצירת קשר:

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי dcohen » 07:32 24/10/2010

יפה. עכשיו זה נראה טוב. יש לי מספר הערות ספצפיות.
מבחינה לוגית יש להתחיל בהגדרות ולהמשיך בטענות.
ויש גם כמה ניסוחים שיש לתקן.

מבנה: סדר הסעיפים צריך להיות:
- הגדרת מהירות
- הגדרת תנע
- יחס הדיספרסיה
- דיון במושג מסה

הסעיף על המהירות צריך להיות בסגנון: "נניח שיש לנו אלומה של אלקטרונים אז אפשר למדוד את המהירות של האלקטרונים בשיטה של גלגל מסתובב". רק בהמשך יש לציין "מתברר שגם לאלומת אור (פוטונים) יש מהירות סופית כפי שגילה פיזו". ניתן גם לציין שההתמקדות בסיכום זה היא באלקטרונים שיש להם מסה סופית, אבל אפשר גם להתיחס לפוטונים כמקרה פרטי של חלקיקים בעלי מסה אפס.

הסעיף של התנע: יש לפשט אותו. באופן מכוון רציתי להסביר את המושג ללא נגזרות וגם ללא איזכור של ההגדרה הקלאסית. בהתאם אני מבקש לקצר ולרשום שאלומה של אלקטררונים אפשר לאפין על ידי גודל שנקרא "אורך גל" שאותו שאפשר למדוד כמתואר בסיכום על ניסוי שני סדקים. כך שהנוסחא היחידה שיש לרשום היא \(p=\frac{2\pi}{\lambda}\).
כל שאר הנוסחאות רק מבלבלות. אפשר (כדאי) להוסיף שתנע במכניקה קוונטית זה מה שבפיסיקה של גלים קוראים לו בשם המוזר "מספר גל".

הסעיף של יחס הדיספרסיה: נא להתחיל בקביעה שניתן למדוד באופן ניסיוני את הקשר בין מהירות לבין תנע, אשר נקרא "יחס דיספרסיה". לאלקטרונים ניתן לתת תנע גדול כרצוננו על ידי הפעלת כוח חשמלי לפרק זמן מתאים (התנע שהאלקטרונים יקבלו יהיה שווה לכוח המופעל כפול הזמן). התוצאה הנסיונית נראית כמו בציור. היא מתוארת באמצעות יחס הדיספרסיה
\(v = \frac{p}{\sqrt{...+...}}\)
שאותו מקובל לרשום בצורה
\(v = \frac{dE}{dp}\)
באשר
\(E = \sqrt{...+...}\)

במהיריות נמוכות ניתן לפתח בטור... (כמו שרשמתם, אבל בבקשה תוציאו את ההתיחסות למשוואת קליין גורדון מהסיכום, זה בכלל לא קשור. אלקטרונים לא מתוארים על ידי המשוואה הזו). במהיריות נמוכות יש יחס דיספרסיה לינארי... (כפי שרשמתם)

דיון במושג מסה:
החלק הראשון כתוב בסדר וצריך להסתיים במשפט "לשם כך נבחר גוף שרירותי במשקל 1kg כמסת הייחוס על מנת שניתן יהיה למצוא את מסת שאר הגופים ע"י ביצוע התנגשות בו"

עכשיו תפתחו פסקה חדשה ורישמו "במכניקה קוונטית המסה מוגדרת כפרמטר ביחס הדיספרסיה שהוסבר לעיל. מהסתכלות בנוסחא אנו רואים שהיחידות שלה הן \(sec/merter^2\) . אם אנו רוצים לקבל את המסה ביחידות הקלאסיות של ק"ג עלינו להשתמש בנוסחת ההמרה הבאה: ...

amitaid
הודעות: 16
הצטרף: 13:12 16/10/2010

Re: הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

שליחה על ידי amitaid » 20:41 25/10/2010

מהירות

מהירות הינה מידה לתיאור קצב תנועתו של גוף במרחב, המסומנת על ידי האות V בעלת כיוון וגודל.
יחידות המהירות הן

\([v] = \left[\frac{L}{T}\right] = \frac{meter}{second}\)

נניח שיש לנו אלומה של אלקטרונים. את מהירותם ניתן למדוד בשיטה של גלגל מסתובב, באמצעות מכשיר השולח אלומת אלקטרונים על קיר העוברת דרך שני
דיסקים בעלי חור יחיד בכל אחד. על מנת לחשב את מהירות האלקטרונים נסובב את הדיסקים ולאט לאט נאיץ אחד מהם עד שנגיע למצב שבו האלומה עוברת
באופן רציף ולפי המרחק של הדיסקים וקצב הסיבוב ניתן לקבוע מהי מהירות האלקטרונים.

במקרה הפרטי של פוטונים (חלקיקים בעלי מסה 0), קיימות שיטות שונות למדידת המהירות. בשנת 1849 פיסיקאי בשם פיזו (Fizeau) ביצע ניסוי שבו שלח קרן
אור בין הרווח בין שתי שיניים בגלגל שיניים מסתובב, דרך מראות, לאורך חמישה מייל ובחזרה לאותו גלגל שיניים.

תמונה

פיזו הצליח לסובב את הגלגל מהר מספיק עד שהקרן חזרה עד אליו ונתקעה בשן הגלגל במקום לעבור שוב דרך החריץ. ע"י מדידת מהירות הגלגל ואורך
המסלול הצליח פיזו לחשב את מהירות האור כ-313,300 ק"מ לשניה. בסופו של דבר חושבה מהירות האור בדיוק גדול יותר לערך של 299,792,458 מטר/שניה.


תנע בקוונטים

תנע של חלקיקים ניתן למדוד ע"י ניסוי שני הסדקים – מעבירים אלומת חלקיקים דרך שני סדקים צמודים. על המסך מעבר לסדקים נוצרת תמונת התאבכות,
ועם מדידת המרחקים בין נקודות השיא ומידיעת המרחק בין הסדקים ועד למסך ניתן לחשב את אורך גל דה-ברולי (De-Broglie) של החלקיק וממנו את התנע,
לפי הנוסחה

\(p = \frac{2\pi} {\lambda}\)

במכניקה קוונטית, תנע נקרא בשם "מספר הגל", וקיים כמקדם במשוואת הגלים.

יחס הדיספרסיה

את הקשר בין מהירות לבין תנע ניתן למדוד באופן ניסיוני ולבטא איתו יחס הנקרא "יחס הדיספרסיה". לאלקטרונים ניתן לתת תנע גדול כרצוננו על ידי הפעלת כח
חשמלי לפרק זמן מתאים. התנע שהאלקטרונים יקבלו יהיה שווה לכח המופעל כפול משך הפעלת הכח. התוצאה הנסיונית נראית כמו בציור.

תמונה

היא מתוארת באמצעות יחס הדיספרסיה

\(v = \frac{p}{\sqrt{m^{2}+p^{2}}}\)

את היחס מקובל לרשום כך:

\(v=\frac{dE}{dp}\)

באשר:

\(E= \sqrt{m^{2} + p^{2}}\)

במהירויות נמוכות (לא יחסותיות), היחס הינו בקרוב קו לינארי.

\(v=\frac{1}{m}p\)

יחס זה מגדיר את המסה ואת היחידות שלה.

מסה

בעבר מסה הוגדרה ע"י שימוש במאזניים (מסת הכבידה – מסה גרביטציונית) הנמדדת כפונקציה של כח המשיכה. עם התקדמות הפיסיקה החלו להשתמש
יותר בהגדרה של מסה אינרציאלית המוגדרת על ידי תוצאת התנגשות של שני גופים. לשם כך נבחר גוף שרירותי במשקל 1kg כמסת הייחוס על מנת שניתן
יהיה למצוא את מסת שאר הגופים ע"י ביצוע התנגשות בו.

\(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}\)

\(\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{u_{2}-v_{2}}{v_{1}-u_{1}}\)

במכניקה קוונטית המסה מוגדרת כפרמטר ביחס הדיספרסיה שהוסבר לעיל. מהסתכלות בנוסחא אנו רואים שהיחידות שלה הן:

\(\left [M\right ] = \left [\frac{second}{meter^{2}}\right ]\)

אם אנו רוצים לקבל את המסה ביחידות הקלאסיות של ק"ג עלינו להשתמש בנוסחת ההמרה הבאה:

\(M[kg] = \hbar m \left [\frac{second}{meter^{2}}\right ] \ \ \ \ \left( \hbar = \frac{h}{2\pi} \right )\)


מגישים:
אנה גכטר
ביבי קרפל
אמתי דגני

מקורות:
1. תנע במכניקת קוונטים - http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum#M ... _mechanics
2. מידע מתומצת על מכינקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIV ... qmech.html
3. סיכומי הרצאה במכניקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/qmc_ARC.pdf
4. איך מדדו את מהירות האור - http://news.nana10.co.il/Article/?ArticleID=157635

שלח תגובה

חזור אל “מבוא לפיסיקה מודרנית”